9,239 matches
-
care formula 126 este o constantă introdusă pentru a face exponențiala adimensională. Schimbarea în amplitudine a undei poate fi reprezentată printr-un număr complex formula 3. Putem rescrie ecuația Hamilton-Jacobi astfel: care este o variantă "neliniară" a ecuației Schrödinger. Invers, plecând de la ecuația lui Schrödinger și de la Ansatzul lui formula 62, obținem: Limita clasică (formula 131) a ecuației Schrödinger de mai sus devine identică cu următoarea variantă a ecuației Hamilton-Jacobi: în care formula 134 sunt componentele contravariante ale tensorului metric, m este masa de repaus a
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
amplitudine a undei poate fi reprezentată printr-un număr complex formula 3. Putem rescrie ecuația Hamilton-Jacobi astfel: care este o variantă "neliniară" a ecuației Schrödinger. Invers, plecând de la ecuația lui Schrödinger și de la Ansatzul lui formula 62, obținem: Limita clasică (formula 131) a ecuației Schrödinger de mai sus devine identică cu următoarea variantă a ecuației Hamilton-Jacobi: în care formula 134 sunt componentele contravariante ale tensorului metric, m este masa de repaus a particulei, iar c este viteza luminii.
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Putem rescrie ecuația Hamilton-Jacobi astfel: care este o variantă "neliniară" a ecuației Schrödinger. Invers, plecând de la ecuația lui Schrödinger și de la Ansatzul lui formula 62, obținem: Limita clasică (formula 131) a ecuației Schrödinger de mai sus devine identică cu următoarea variantă a ecuației Hamilton-Jacobi: în care formula 134 sunt componentele contravariante ale tensorului metric, m este masa de repaus a particulei, iar c este viteza luminii.
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
coordonate x= x(x',x'...x' nesingulară 1-forma Ω devine:formula 13Dacă notăm formula 14 se verifică ușor că:formula 15 ceea ce arată direct că egalitatea (1.6) (D=0) e satisfăcută în orice sistem de coordonate, dacă e îndeplinită într-unul oarecare. Ecuația Ω=0 definește în fiecare punct x=(x,x...x) un plan în „coordonatele” dx...dx . Dacă Ω este o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
x) un plan în „coordonatele” dx...dx . Dacă Ω este o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că planele definite de Ω=0 "infășoară" suprafața F=const. Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu x: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R o curbă C: x(t)...x(t), ecuația Ω=0 devine
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
suprafața F=const. Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu x: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R o curbă C: x(t)...x(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei x(t). Dacă Ω este o diferențială totală atunci, independent de modul în care am ales curba C, punctul (x(t)...x(t),x(t))descrie o curbă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru una din coordonate, de exemplu x: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R o curbă C: x(t)...x(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei x(t). Dacă Ω este o diferențială totală atunci, independent de modul în care am ales curba C, punctul (x(t)...x(t),x(t))descrie o curbă C aflată în întregime pe
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
fi înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci:formula 19 În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
funcție oarecare Ψ(F) și atunci:formula 19 În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt adevărate. Un exemplu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara Ω aceste proprietăți nu sunt adevărate. Un exemplu pentru care neintegrabilitatea poate fi verificată foarte ușor direct este:formula 20integrând ecuația diferențială pentru z(x)obținută din Ω=0 de-a lungul liniei y=x pornind din origine cu condiția inițială z(0,0)=0 obținem z(1,1)=0; integrând de-a lungul parabolelor "y=ax+(1-a)x" obținem
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei ecuații față de x: x=x(x1,x2..xn) și punând x' = x, x'=x...x'=x , x'=x. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu x = const. (Vezi Fig.3) În formularea termodinamicii după Carathéodory principiul al doilea este în mare
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei ecuații față de x: x=x(x1,x2..xn) și punând x' = x, x'=x...x'=x , x'=x. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu x = const. (Vezi Fig.3) În formularea termodinamicii după Carathéodory principiul al doilea este în mare măsură exprimat prin afirmația că forma diferențială DQ care reprezintă cantitatea de caldură schimbată de un sistem ("simplu")cu exteriorul în
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
energia internă , care - după principiul intâi - este o funcție univocă de parametrii care descriu starea sistemului. Aceștia sunt x,x... și un parametru intensiv x(în mod obișnuit presiunea p sau temperatura T). Scriind expresia (1.17) am presupus că ecuația U=U(x,x,x..x) este rezolvabilă în raport cu x, și deci că putem să folosim variabila U în locul acestuia. Forma DQ nu are o integrală independentă de drum, dar toate soluțiile ecuatiei DQ=0, adică multimea punctelor (U,x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
prin care se asigură integrabilitatea formei DQ. O formă diferențială care conține numai doi termeni:formula 23 este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x,y), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție unică y(x,y) definită intr-o vecinătate U "X" U a lui (x,y), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y(x,y)=y pentru un y în U. Deoarece ∂y(x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
U "X" U a lui (x,y), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y(x,y)=y pentru un y în U. Deoarece ∂y(x,y)/∂y tinde către 1 când x tinde către x , putem rezolva ecuația y=y(x,y) față de y pentru x și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
x tinde către x , putem rezolva ecuația y=y(x,y) față de y pentru x și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
și y într-o vecinătate suficient de mică a lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
lui (x,y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x'=x) "integrează" 1-forma Ω : soluțiile lui Ω=0
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
anulează. Presupunem că acesta este "c(x,y,z)", astfel incât (impărțind cu c(x,y,z) și renotând a/c cu a, b/c cu b)) este suficient să considerăm formele:formula 30 Prin analogie cu n=2, considerăm intâi ecuația:formula 31care poate fi privită ca o ecuație diferențială pentru z(x) pentru orice fel de alegere a unei functii y(x,y) cu y(x) = y. Soluțiile tuturor acestor ecuații se află pe aceeași suprafață z=z(x,y,z
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y,z)", astfel incât (impărțind cu c(x,y,z) și renotând a/c cu a, b/c cu b)) este suficient să considerăm formele:formula 30 Prin analogie cu n=2, considerăm intâi ecuația:formula 31care poate fi privită ca o ecuație diferențială pentru z(x) pentru orice fel de alegere a unei functii y(x,y) cu y(x) = y. Soluțiile tuturor acestor ecuații se află pe aceeași suprafață z=z(x,y,z) dacă, pentru orice alegere a lui y
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
considerăm formele:formula 30 Prin analogie cu n=2, considerăm intâi ecuația:formula 31care poate fi privită ca o ecuație diferențială pentru z(x) pentru orice fel de alegere a unei functii y(x,y) cu y(x) = y. Soluțiile tuturor acestor ecuații se află pe aceeași suprafață z=z(x,y,z) dacă, pentru orice alegere a lui y(x,y), funcția z(x,y(x,y00),z00) verifică relația (2.8) :formula 32 Cum y(x,y) este arbitrar, aceasta este posibil
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a lui y(x,y), funcția z(x,y(x,y00),z00) verifică relația (2.8) :formula 32 Cum y(x,y) este arbitrar, aceasta este posibil numai dacă:formula 33 pentru orice x,y în vecinătatea lui (x,y)Aceste două ecuații pentru z(x,y,z) pot admite o solutie numai dacă ∂z/∂x∂y este același, indiferent dacă e calculat prin prima sau a doua ecuație. Această condiție este:formula 34 substituind pentru ∂z/∂x,∂z/∂y expresiile (II) obținem condiția
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
numai dacă:formula 33 pentru orice x,y în vecinătatea lui (x,y)Aceste două ecuații pentru z(x,y,z) pot admite o solutie numai dacă ∂z/∂x∂y este același, indiferent dacă e calculat prin prima sau a doua ecuație. Această condiție este:formula 34 substituind pentru ∂z/∂x,∂z/∂y expresiile (II) obținem condiția necesară:formula 35Raționamentul poate fi repetat pentru orice punct (x,y,z), cu z într-o vecinătate suficient de mică a lui z; obținem suprafețe z(x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
substituind pentru ∂z/∂x,∂z/∂y expresiile (II) obținem condiția necesară:formula 35Raționamentul poate fi repetat pentru orice punct (x,y,z), cu z într-o vecinătate suficient de mică a lui z; obținem suprafețe z(x,y,z) care verifică ecuația (2.12) și pentru care z(x,y,z)=z. Pentru ele ∂z/∂z tinde către 1 când x,y tind catre x,y. Deci putem rezolva ecuația z=z(x,y,z) față de z pentru x,y,z suficient
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]