9,239 matches
-
mică a lui z; obținem suprafețe z(x,y,z) care verifică ecuația (2.12) și pentru care z(x,y,z)=z. Pentru ele ∂z/∂z tinde către 1 când x,y tind catre x,y. Deci putem rezolva ecuația z=z(x,y,z) față de z pentru x,y,z suficient de aproape de (x,y,z). Deducem că ecuația (2.12) este satisfăcută pentru orice (x,y,z) în această vecinătate. Condiția (2.12) poate fi scrisă în mod
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y,z)=z. Pentru ele ∂z/∂z tinde către 1 când x,y tind catre x,y. Deci putem rezolva ecuația z=z(x,y,z) față de z pentru x,y,z suficient de aproape de (x,y,z). Deducem că ecuația (2.12) este satisfăcută pentru orice (x,y,z) în această vecinătate. Condiția (2.12) poate fi scrisă în mod simetric fata de coeficienții a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z) (revenind la notațiile inițiale
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și cum se poate construi explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta la fiecare x fixat (dx=0) ecuația diferențială pentru z(x,y):formula 37 care are, într-o vecinătate U a punctului considerat (x,y,z) o soluție z(x,y,z), unde variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pentru z(x,y):formula 37 care are, într-o vecinătate U a punctului considerat (x,y,z) o soluție z(x,y,z), unde variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x fixat, ecuația "z=z(x,y,z)" poate fi rezolvată față de z, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x fixat, ecuația "z=z(x,y,z)" poate fi rezolvată față de z, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
La fiecare x fixat, ecuația "z=z(x,y,z)" poate fi rezolvată față de z, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz este o constantă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe Ω) , rezolvăm întâi Ω=0 punând x=const (dx=0); obținem soluția z(x,y,z)=z/y² (z=z când y=1). În noile variabile x,y,z:formula 43 Soluția ecuației Ω=0 (trebuie să fie independentă de y!) este z(x,z)=z/x³ cu condiția la limită z(1,z)=z Deducem: z = z/(x³y²), deci o funcție F posibilă este:formula 44 Construcția de la paragraful precedent se poate generaliza
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
din egalitatea derivatelor parțiale, vom avea in general C = (n-1)(n-2)/2 condiții, toate însă având aceeași formă ca și (2.12) de mai sus: în loc de z(x,y) căutăm în general o soluție "x(x...,x)" a ecuației Ω = 0. De asemenea forma simetrică (2.13) a condiției de integrabilitate nu poate fi generalizată, deoarece matricii antisimetrice asociată natural cu ∂a/∂x-∂a/∂x (aici am pus x ≡ z) nu îi corespunde un vector cu n componente, pentru
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
fel ca și diferențialele dx:formula 47astfel incât expresiile (3.1) și (3.2) păstrează aceeași formă. Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este: Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a suprafeței integrale, iterând procedura de la sfârșitul paragrafului (începând de la ecuația (2.14)) Condițiile de integrabilitate ale lui Frobenius pot fi exprimate foarte elegant în limbajul modern al formelor diferențiale. Amintim aici numai strictul necesar: Produsul exterior a două 1-forme Ω si Ω este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
z într-un punct x,y. Ca și în § 3, cele două egalități înseamnă că, pentru orice z,z:formula 64O condiție necesară pentru existența unei soluții este ca, analog cu mai sus, ∂z/∂x∂y să fie același, independent de ecuația din care este calculat. Se obțin două condiții (q=1,2) analoge cu (2.12);le reproducem pentru completitudine:formula 65 In cartea sa Henri Cartan dă acestei condiții o formă mai transparentă; aici vrem să ne apropiem de o formulare
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
2), punând "a=-1, a=0; a=0, a=-1:formula 66 și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:formula 67unde "u = (1,0,a, a), v = (0,1,a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
adevărat pentru orice p. Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în cazul unei singure 1-forme: fixăm intâi pe x (dx=0) și obținem soluții z=z(x,y,ζ,ζ) ale ecuațiilor diferențiale corespunzătoare cu variabila independentă y: aici ζ, ζ sunt valorile luate de z într-un punct "inițial" y.Schimbând variabilele la x,y,ζ,ζ coeficienții lui dy dispar complet, și, după ce sistemul a fost rezolvat față de diferențialele dζ
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f(x)=C...,f(x)=C (vezi (5.2)), cu C..,C constante
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f(x)=C...,f(x)=C (vezi (5.2)), cu C..,C constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f(x)=C...,f(x)=C (vezi (5.2)), cu C..,C constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15) admite p soluții "independente" f(x),k=1..p. Prin definiția (5.12
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.Jacobi că: "un sistem de ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale este complet dacă și numai dacă este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.Jacobi că: "un sistem de ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale este complet dacă și numai dacă este închis față de operația de comutare a operatorilor L, adică pentru orice funcție netedă f și orice 1≤q1, q2≤n-p :"formula 75unde b(x) sunt funcții netede
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
adică pentru orice funcție netedă f și orice 1≤q1, q2≤n-p :"formula 75unde b(x) sunt funcții netede de x . Uneori această condiție de închidere este trecută tot sub numele de „condiția lui Frobenius“. Este ușor de arătat că ecuația (5.17) este echivalentă cu condiția lui Frobenius (5.9) din paragraful precedent. Pentru aceasta, este suficient să calculăm explicit comutatorul din (5.17):formula 76 Dacă (5.17) are loc, atunci vectorul C cu componente C, definite în (5.18
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar aceasta nu este posibil decât dacă anumite condiții de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]