9,239 matches
-
formă cu ecuația Hamilton-Jacobi). Dându-se starea inițială la "t" = 0, putem integra ecuația și obținem starea sistemului la orice timp "t" > 0. În particular, dacă Hamiltonianul este independent de timp, atunci, se obține ecuația: Operatorul exponențal din partea dreaptă a ecuației este definit în mod uzual de seria de puteri corespunzătoare din "H". Să notăm că, luând "polinoame" pentru operatori nemărginiți și nedefiniți peste tot, putem avea surpriza de o obține formulări matematice fără sens, mai puțin pentru seriile de puteri
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
Existența operatorului de simetrie implică conservarea mărimilor observabile. Fie "G" generatorul Hermitian al lui "H": Este ușor de arătat că dacă "U" comută cu "H", același lucru îl face și "G": Prin urmare, Pentru a obține acest rezultat am folosit ecuația lui Schrödinger, precum și dualismul ei: Astfel, valoarea scontată a observabilei " G" este conservată pentru orice stare a sistemului. În cazul unei particule libere cantitatea care se conservă este momentul unghiular. Ecuațiile lui Hamilton din mecanica Hamiltoniană clasică au o analogie
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
Prin urmare, Pentru a obține acest rezultat am folosit ecuația lui Schrödinger, precum și dualismul ei: Astfel, valoarea scontată a observabilei " G" este conservată pentru orice stare a sistemului. În cazul unei particule libere cantitatea care se conservă este momentul unghiular. Ecuațiile lui Hamilton din mecanica Hamiltoniană clasică au o analogie directă în mecanica cuantică. Să presupunem că avem un set de stări de bază formula 23, care nu sunt în mod necesar stări proprii de energie. Pentru claritate, presupunem că ele sunt
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
cât și imaginară. Ne folosim acum de următorul artificiu: în loc să folosim părțile reală și imaginară ca variabile independente, folosim "a(t)" și conjugata complexă "a*(t)" ca variabile independente. Cu această alegere a variabilelor independente, putem calcula derivatele parțiale: Aplicând ecuația lui Schrödinger și folosindu-ne de ortonormalitatea stărilor de bază, aceasta se reduce la: Similar, putem arăta că: Dacă definim variabilele "momentului conjugat π" prin: Atunci, ecuațiile de mai sus devin: care cu sigurantă au forma ecuațiilor lui Hamilton, având
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
variabile independente. Cu această alegere a variabilelor independente, putem calcula derivatele parțiale: Aplicând ecuația lui Schrödinger și folosindu-ne de ortonormalitatea stărilor de bază, aceasta se reduce la: Similar, putem arăta că: Dacă definim variabilele "momentului conjugat π" prin: Atunci, ecuațiile de mai sus devin: care cu sigurantă au forma ecuațiilor lui Hamilton, având formula 35 drept coordonate generalizate, formula 36 drept moment conjugat, iar formula 37 înlocuind Hamiltonianul clasic.
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
derivatele parțiale: Aplicând ecuația lui Schrödinger și folosindu-ne de ortonormalitatea stărilor de bază, aceasta se reduce la: Similar, putem arăta că: Dacă definim variabilele "momentului conjugat π" prin: Atunci, ecuațiile de mai sus devin: care cu sigurantă au forma ecuațiilor lui Hamilton, având formula 35 drept coordonate generalizate, formula 36 drept moment conjugat, iar formula 37 înlocuind Hamiltonianul clasic.
Hamiltonian (mecanică cuantică) () [Corola-website/Science/319827_a_321156]
-
determinarea completă a stării unui sistem alcătuit din mai multe componente, la orice moment, dacă sunt cunoscute interacțiunile (forțele), precum și starea sistemului (coordonatele și impulsurile componentelor) la un moment anterior. În practică însă, condițiile inițiale nu sunt cunoscute, iar integrarea ecuațiilor de mișcare, pentru un număr foarte mare de componente, se lovește de dificultăți de calcul. Tipic, numărul de molecule dintr-o masă macroscopică de gaz, în condiții standard, este de ordinul de mărime al numărului lui Avogadro, adică 10, ceea ce
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
mișcării. Această ipoteză ilustrează punctul de vedere conform căruia forțele neconservative, care produc disiparea energiei sub formă de căldură (cum sunt forțele de frecare), se manifestă doar la scară macroscopică și sunt consecința interacțiunilor la scară microscopică. Este convenabilă scrierea ecuațiilor de mișcare sub "forma canonică" utilizată în mecanica hamiltoniană. Starea unui sistem cu formula 1 grade de libertate microscopice este caracterizată, la orice moment, prin valorile pe care le iau "coordonatele generalizate" formula 2 și "impulsurile generalizate" conjugate formula 3 Dinamica sistemului este
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
sub "forma canonică" utilizată în mecanica hamiltoniană. Starea unui sistem cu formula 1 grade de libertate microscopice este caracterizată, la orice moment, prin valorile pe care le iau "coordonatele generalizate" formula 2 și "impulsurile generalizate" conjugate formula 3 Dinamica sistemului este descrisă de "ecuațiile canonice" ale lui Hamilton: unde punctul deasupra simbolului unei mărimi denotă derivata în raport cu timpul. Funcția formula 6 numită "hamiltoniană", este energia totală a sistemului. În cazul forțelor conservative ea nu depinde explicit de timp, iar din ecuațiile de mișcare rezultă că
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
sistemului este descrisă de "ecuațiile canonice" ale lui Hamilton: unde punctul deasupra simbolului unei mărimi denotă derivata în raport cu timpul. Funcția formula 6 numită "hamiltoniană", este energia totală a sistemului. În cazul forțelor conservative ea nu depinde explicit de timp, iar din ecuațiile de mișcare rezultă că dependența implicită de timp, prin intermediul variabilelor canonice, este doar aparentă, deci într-adevăr energia totală rămâne constantă: În terminologia introdusă de Gibbs, o stare microscopică a sistemului se numește "fază"; ea poate fi reprezentată geometric printr-
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
din spațiul fazelor trece o singură traiectorie. Legea conservării energiei are și ea o reprezentare geometrică simplă: traiectoria punctului reprezentativ este în întregime conținută într-o suprafață de energie constantă, care e o varietate formula 11-dimensională în spațiul fazelor formula 10-dimensional, având ecuația (2). Pentru un sistem în echilibru termodinamic, punctul reprezentativ în spațiul fazelor nu se poate îndepărta la infinit, deci suprafețele de energie constantă nu au pânze care să se îndepărteze la infinit. Fiecare dintre ele e o suprafață închisă, întrucât
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
2). Pentru un sistem în echilibru termodinamic, punctul reprezentativ în spațiul fazelor nu se poate îndepărta la infinit, deci suprafețele de energie constantă nu au pânze care să se îndepărteze la infinit. Fiecare dintre ele e o suprafață închisă, întrucât ecuația (2) reprezintă frontiera regiunii în care se află toate stările cu energie mai mică decât sau egală cu formula 13 Volumul acestei regiuni este unde pentru elementul de volum în spațiul fazelor s-a folosit notația condensată formula 16 formula 17 este o
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
de volum în spațiul fazelor s-a folosit notația condensată formula 16 formula 17 este o funcție monoton crescătoare de formula 18; pentru sisteme cu un număr mare de grade de libertate ea este o funcție foarte rapid crescătoare. O consecință importantă a ecuațiilor canonice, numită "teorema lui Liouville", poate fi enunțată în modul următor: Fie un domeniu arbitrar formula 19 în spațiul fazelor; se consideră totalitatea punctelor formula 20 ca reprezentând stări mecanice ale sistemului la un moment inițial formula 21; se urmărește evoluția acestor stări
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
numită "teorema lui Liouville", poate fi enunțată în modul următor: Fie un domeniu arbitrar formula 19 în spațiul fazelor; se consideră totalitatea punctelor formula 20 ca reprezentând stări mecanice ale sistemului la un moment inițial formula 21; se urmărește evoluția acestor stări, conform ecuațiilor canonice; fie formula 22 pozițiile punctelor considerate la un moment ulterior formula 23; atunci volumul domeniului formula 24 este egal cu volumul domeniului formula 19. Starea unui sistem macroscopic în echilibru termodinamic este caracterizată printr-un număr restrâns de parametri, pe când la scară microscopică
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
probabilităților și exprimă certitudinea că punctul reprezentativ se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul unei traiectorii în spațiul fazelor; se spune că ea e o "integrală primă" a ecuațiilor canonice. Un sistem hamiltonian admite formula 33 integrale prime care nu depind explicit de timp, una dintre ele fiind energia, adică hamiltoniana (2). Densitatea de probabilitate va fi deci o funcție de hamiltoniana formula 34 și de alte formula 35 integrale prime independente de
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
valorile medii ale mărimilor microscopice corespunzătoare, admițându-se existența fluctuațiilor. Mărimile termodinamice "temperatură" și "entropie" urmează să fie definite, în cadrul fiecărei distribuții reprezentative, prin parametrii colectivului statistic asociat sistemului. Odată determinat un potențial termodinamic adecvat situației descrise de colectivul statistic, ecuațiile de stare ale sistemului rezultă prin metode termodinamice standard. Analiza modului în care se stabilește echilibrul termodinamic între două sisteme distribuite microcanonic cu energii formula 88 și formula 89, atunci când sunt aduse în contact termic, arată că produsul formula 90 are un maxim
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
dată de mecanica cuantică. În mecanica cuantică, mărimilor fizice observabile li se asociază operatori. Dinamica e exprimată prin "operatorul hamiltonian" formula 159, care ia locul "funcției hamiltoniene" din mecanica clasică. Stările sistemului sunt statistic determinate prin funcția de undă, care satisface ecuația lui Schrödinger. Atunci când hamiltoniana (operatorul hamiltonian) nu depinde de timp, ea este operatorul asociat observabilei energie, iar stările se determină rezolvând "ecuația lui Schrödinger independentă de timp" formula 160 Valorile parametrului formula 161 pentru care această ecuație are soluții formula 162 acceptabile fizic
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
ia locul "funcției hamiltoniene" din mecanica clasică. Stările sistemului sunt statistic determinate prin funcția de undă, care satisface ecuația lui Schrödinger. Atunci când hamiltoniana (operatorul hamiltonian) nu depinde de timp, ea este operatorul asociat observabilei energie, iar stările se determină rezolvând "ecuația lui Schrödinger independentă de timp" formula 160 Valorile parametrului formula 161 pentru care această ecuație are soluții formula 162 acceptabile fizic reprezintă valorile posibile ale energiei, așa-zise "nivele de energie". Este convenabil ca mulțimea nivelelor, numită "spectrul" energiei, să fie indexată în
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
funcția de undă, care satisface ecuația lui Schrödinger. Atunci când hamiltoniana (operatorul hamiltonian) nu depinde de timp, ea este operatorul asociat observabilei energie, iar stările se determină rezolvând "ecuația lui Schrödinger independentă de timp" formula 160 Valorile parametrului formula 161 pentru care această ecuație are soluții formula 162 acceptabile fizic reprezintă valorile posibile ale energiei, așa-zise "nivele de energie". Este convenabil ca mulțimea nivelelor, numită "spectrul" energiei, să fie indexată în forma unui șir de valori crescătoare formula 163 indicele de ordine poartă numele de
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
magnetic. Sensul forței electromotoare este dat de legea lui Lenz. Această versiune a legii lui Faraday se referă strict doar la un circuit închis format dintr-o spiră infinită și nu este valabilă în toate circumstanțele. Forma modificată, generalizată, numită ecuația Maxwell-Faraday este validă în orice condiții. Michael Faraday a demonstrat experimental apariția tensiunii electromotoare prin mișcarea unui magnet față de o bobină sau reciproc. se poate exprima atât într-o formă globală cât și în una locală. Un câmp magnetic variabil
Legea inducției electromagnetice () [Corola-website/Science/319355_a_320684]
-
electrice se aplică pentru toate circuitele electrice. Acestea sunt: Dacă circuitul conține componente neliniare sau reactive atunci sunt necesare și alte legi, mai complexe. Uneori pentru rezolvarea circuitelor neliniare se folosesc metode de aproximare. Aplicarea aproximărilor generează un sistem de ecuații care pot fi rezolvate manual sau de calculator.
Circuit electric () [Corola-website/Science/315845_a_317174]
-
peretii recipientului, iar dS este entropia pierdută de pereți sau "câștigul de entropie al radiației". ( La sfârșitul secolului XIX noțiunea de "eter", ca suport al undelor electromagnetice, era încă acceptată, astfel incât "obíectul" termodinamic ar fi putut fi material). După ecuațiile lui Maxwell, presiunea exercitată de radiația izotropă și omogenă asupra pereților este p = u/3 . Folosind aceasta relație, condiția ca dS din ecuația (1) să fie o diferențială exactă este:<br>formula 2 Această ecuație permite determinarea funcției u(T) :<br
Entropia radiației electromagnetice () [Corola-website/Science/315884_a_317213]
-
suport al undelor electromagnetice, era încă acceptată, astfel incât "obíectul" termodinamic ar fi putut fi material). După ecuațiile lui Maxwell, presiunea exercitată de radiația izotropă și omogenă asupra pereților este p = u/3 . Folosind aceasta relație, condiția ca dS din ecuația (1) să fie o diferențială exactă este:<br>formula 2 Această ecuație permite determinarea funcției u(T) :<br>formula 3 cu σ o constantă, egalitate care este cunoscută sub numele de legea Stefan-Boltzmann. Funcția S(T,V) se obține acum prin integrarea
Entropia radiației electromagnetice () [Corola-website/Science/315884_a_317213]
-
ar fi putut fi material). După ecuațiile lui Maxwell, presiunea exercitată de radiația izotropă și omogenă asupra pereților este p = u/3 . Folosind aceasta relație, condiția ca dS din ecuația (1) să fie o diferențială exactă este:<br>formula 2 Această ecuație permite determinarea funcției u(T) :<br>formula 3 cu σ o constantă, egalitate care este cunoscută sub numele de legea Stefan-Boltzmann. Funcția S(T,V) se obține acum prin integrarea ecuației (1):<br>formula 4 unde constanta de integrare este zero deoarece
Entropia radiației electromagnetice () [Corola-website/Science/315884_a_317213]
-
1) să fie o diferențială exactă este:<br>formula 2 Această ecuație permite determinarea funcției u(T) :<br>formula 3 cu σ o constantă, egalitate care este cunoscută sub numele de legea Stefan-Boltzmann. Funcția S(T,V) se obține acum prin integrarea ecuației (1):<br>formula 4 unde constanta de integrare este zero deoarece entropia se anulează la T=0 sau V=0. Este natural să numim această funcție entropia radiației electromagnetice . Ea trebuie luata in considerație alături de entropia pereților cavității atunci când se fac
Entropia radiației electromagnetice () [Corola-website/Science/315884_a_317213]