8,846 matches
-
sau componentele) vectorului în raport cu baza , iar elemente din . Independența liniară înseamnă că coordonatele sunt unic determinate pentru orice vector din spațiu vectorial. De exemplu, , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori: Coordonatele corespunzătoare , , , sunt coordonatele carteziene ale vectorului. Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din lema lui Zorn, o formulare echivalentă a axiomei alegerii. Date fiind celelalte axiome ale , existența bazelor este echivalentă cu axioma
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Dacă α nu este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este algebric, dimensiunea Q(α) peste Q este infinită. De exemplu, pentru α = π nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent, "f" este atât
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent, "f" este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între "V" și "W", cele două spații se spune că sunt "izomorfe"; acestea sunt, în
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
din dreapta. Analog, având în vedere o pereche ("x", "y"), săgeata care duce "x" spre dreapta (sau spre stânga, dacă "x" este negativ), și "y" în sus (sau în jos, dacă "y" este negativ) se transformă înapoi în săgeata v. Aplicațiile liniare "V" → "W" între două spații vectoriale formează un spațiu vectorial Hom("V", "W"), notat și cu L("V", "W"). Spațiul aplicațiilor liniare de la "V" la "F" se numește "", notat cu "V". Prin intermediul aplicației injective , orice spațiu vectorial poate fi încorporat
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
și "y" în sus (sau în jos, dacă "y" este negativ) se transformă înapoi în săgeata v. Aplicațiile liniare "V" → "W" între două spații vectoriale formează un spațiu vectorial Hom("V", "W"), notat și cu L("V", "W"). Spațiul aplicațiilor liniare de la "V" la "F" se numește "", notat cu "V". Prin intermediul aplicației injective , orice spațiu vectorial poate fi încorporat în "bidualul "său; aplicația este un izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional. Odată fiind aleasă o bază a lui , aplicațiile
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de la "V" la "F" se numește "", notat cu "V". Prin intermediul aplicației injective , orice spațiu vectorial poate fi încorporat în "bidualul "său; aplicația este un izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional. Odată fiind aleasă o bază a lui , aplicațiile liniare sunt complet determinate prin specificarea imaginilor din baza de vectori, deoarece orice element din "V" se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora. Dacă , o între bazele fixe ale lui și dă naștere la o aplicație liniară
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional. Odată fiind aleasă o bază a lui , aplicațiile liniare sunt complet determinate prin specificarea imaginilor din baza de vectori, deoarece orice element din "V" se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora. Dacă , o între bazele fixe ale lui și dă naștere la o aplicație liniară care mapează orice element din baza lui cu un element corespunzător din baza lui . Este un izomorfism, prin definiție. Prin urmare, două spații vectoriale
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
liniare sunt complet determinate prin specificarea imaginilor din baza de vectori, deoarece orice element din "V" se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora. Dacă , o între bazele fixe ale lui și dă naștere la o aplicație liniară care mapează orice element din baza lui cu un element corespunzător din baza lui . Este un izomorfism, prin definiție. Prin urmare, două spații vectoriale sunt izomorfe dacă au aceeași dimensiune și vice-versa. Un alt mod de a exprima acest lucru
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este echivalent cu alegerea unei baze a lui , mapând baza standard a lui cu , prin intermediul lui . Libertatea de a alege o bază convenabilă este deosebit de utilă în context infinit-dimensional, vezi mai jos. "Matricele" sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare. Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice "m"-pe-"n" "A" dă naștere unei aplicații liniare de la "F" la " F", cu următorea lege sau, folosind a lui "A" cu coordonatele vectorului : Mai
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
deosebit de utilă în context infinit-dimensional, vezi mai jos. "Matricele" sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare. Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice "m"-pe-"n" "A" dă naștere unei aplicații liniare de la "F" la " F", cu următorea lege sau, folosind a lui "A" cu coordonatele vectorului : Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui și , "orice" aplicație liniară este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire. Determinantul det("A") al
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
în imaginea din dreapta. Orice matrice "m"-pe-"n" "A" dă naștere unei aplicații liniare de la "F" la " F", cu următorea lege sau, folosind a lui "A" cu coordonatele vectorului : Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui și , "orice" aplicație liniară este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire. Determinantul det("A") al unei matrice pătrate "A" este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
matrice prin această atribuire. Determinantul det("A") al unei matrice pătrate "A" este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul. Transformarea liniară a lui corespunzătoare unei matrice reale "n"-pe-"n" dacă și numai dacă determinantul este pozitiv. , aplicații liniare , sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu , . Orice vector nenul care satisface , unde este
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul. Transformarea liniară a lui corespunzătoare unei matrice reale "n"-pe-"n" dacă și numai dacă determinantul este pozitiv. , aplicații liniare , sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu , . Orice vector nenul care satisface , unde este un scalar, se numește "vector propriu" al lui cu "valoarea proprie" . Echivalent, este un element al nucleului diferenței
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
definiția determinantului, expresia din partea stângă poate fi considerată a fi o funcție polinomială în , numită al . Dacă este suficient de mare pentru a conține o rădăcină a acestui polinom (care în mod automat se întâmplă pentru , cum este ) orice aplicație liniară are cel puțin un vector propriu. Spațiul vectorial poate sau nu să posede o bază proprie, bază formată din vectori proprii. Acest fenomen este guvernat de a aplicației. Mulțimea tuturor vectorilor proprii corespunzători unei anumite valori proprii a lui formează
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
propriu" corespunzătoare valorii proprii (și lui ) în cauză. Pentru a ajunge la , declarația corespunzătoare în cazul infinit-dimensional, este nevoie de mecanismele analizei funcționale, a se vedea mai jos. În plus față de exemplele concrete de mai sus, există mai multe construcții liniare algebrice standard care generează spații vectoriale legate de cele date. În plus față de definițiile prezentate mai jos, acestea sunt și ele caracterizate prin , care determină un obiect prin specificarea aplicațiilor liniare de la la orice alt spațiu vectorial. O submulțime nevidă
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
exemplele concrete de mai sus, există mai multe construcții liniare algebrice standard care generează spații vectoriale legate de cele date. În plus față de definițiile prezentate mai jos, acestea sunt și ele caracterizate prin , care determină un obiect prin specificarea aplicațiilor liniare de la la orice alt spațiu vectorial. O submulțime nevidă "W" a unui spațiu vectorial "V" , care este închisă în raport cu adunarea și cu multiplicarea cu un scalar (și, prin urmare, conține vectorul nul din "V") se numește "subspatiu vectorial" al lui
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
subspațiilor conține o anumită mulțime "S" de vectori numită , și acesta este cel mai mic subspațiu al lui "V" care conține mulțimea "S". Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate de elemente din "S". Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o dreaptă vectorială. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un plan de vectori. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un hiperplan de vectori. Într-un spațiu vectorial de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
acesta este cel mai mic subspațiu al lui "V" care conține mulțimea "S". Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate de elemente din "S". Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o dreaptă vectorială. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un plan de vectori. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un hiperplan de vectori. Într-un spațiu vectorial de dimensiune finită , un hiperplan este astfel un subspațiu de dimensiune
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
mulțimea "S". Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate de elemente din "S". Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o dreaptă vectorială. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un plan de vectori. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un hiperplan de vectori. Într-un spațiu vectorial de dimensiune finită , un hiperplan este astfel un subspațiu de dimensiune . Omologul subspațiilor este "spațiul vectorial factor". Dat fiind orice subspațiu , spațiul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este și înmulțirea cu un scalar este dată de . Punctul cheie în această definiție este faptul că diferența dintre v și v se află în "W". Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul "W". Nucleul ker("f") unei aplicații liniare este format din vectorii v care sunt mapați la 0 din "W". Atât nucleul cât și imaginea } sunt subspații ale lui "V" și, respectiv, "W". Existența nucleelor și imaginilor face parte din afirmația că (peste un corp fix "F") este
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
cum ar fi (numită și în termeni de matrice) și a doua și a treia teoremă de izomorfism pot fi formulate și demonstrate într-un mod foarte similar cu situațiile corespunzătoare pentru grupuri. Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare pentru o matrice fixă "A", ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
cu situațiile corespunzătoare pentru grupuri. Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare pentru o matrice fixă "A", ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică și
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
o matrice fixă "A", ca mai sus. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică și pentru orice constantă ) această atribuire este liniară, și se numește . În particular, soluțiile ecuației
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
aceastei aplicații este un subspațiu de vectori x , astfel încât , care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui "A". De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare În aplicația corespunzătoare derivatele funcției "f" apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de "f""("x")). Când diferențierea este o procedură liniară (adică și pentru orice constantă ) această atribuire este liniară, și se numește . În particular, soluțiile ecuației diferențiale formează un spațiu vectorial (peste sau ). "Produsul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]