8,846 matches
-
matematicianul Hermann Weyl pentru a desemna "grupul simplectic" formula 1, adică, grupul automorfismelor reale liniare formula 2 care combină înmulțirea cu i prin el însuși. Acest grup a fost numit grup liniar complex, putând produce confuzie de nume cu grupul de automorfisme liniare complexe. Hermann Weyl își justifică alegerea astfel: Mai exact, adjectivul "simplectic" se bazează pe cuvântul greceasc συµπλεκτικoς, traducerea cuvântului latin complexus. Cuvântul latin a dat denumirea de complexitate, de unde derivă și "număr complex", cuvântul latin traducând ideea de întrețesere sau
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
grupului de izometrii afine ale lui "E" peste E^2", și noțiunea de "unghi" . Distanțele și unghiurile definite de un ansamblu de puncte din "E" sunt conservate sub acțiunea unui izometri. De asemenea, este binecunoscut faptul că un izomorfism afin liniar care păstrează volumul, este dat de determinantul +1 sau -1. Din păcate, în "n" dimensional, acesta pierde orice informație cu privire la configurațiile cu mai mult de "n"-1 puncte. Geometria simplectică liniară apare ca o geometrie intermediară, în care pierdem noțiunea
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
De asemenea, este binecunoscut faptul că un izomorfism afin liniar care păstrează volumul, este dat de determinantul +1 sau -1. Din păcate, în "n" dimensional, acesta pierde orice informație cu privire la configurațiile cu mai mult de "n"-1 puncte. Geometria simplectică liniară apare ca o geometrie intermediară, în care pierdem noțiunea de distanță, dar menținem "noțiunea de arie orientată", deci un invariant asociat la 3 puncte. La trei puncte necoliniare A, B și C dintr-un spațiu vectorial real "E", le este
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
Această formă se numește nedegenerată deoarece, pentru toți vectorii "u" există un vector "v" care verifică relația: formula 30. Prin definiție, o formă simplectică pe "E" este o formă biliniară antisimetrică nedegenerată. O astfel de formă este unică pentru izomorfismele aproape liniare, iar existența sa cere ca "E" să fie par, să spunem 2"n". Modelul standard este spațiul C privit ca un spațiu vectorial real, având ca formă simplectică partea imaginară a metricii Hermitiene standard. Unui izomorfism liniar sau afin " E
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
pentru izomorfismele aproape liniare, iar existența sa cere ca "E" să fie par, să spunem 2"n". Modelul standard este spațiul C privit ca un spațiu vectorial real, având ca formă simplectică partea imaginară a metricii Hermitiene standard. Unui izomorfism liniar sau afin " E" i se spune simplectic deoarece păstrează forma simplectică formula 28. Ansamblul izomorfismelor liniare simplectice C formează un grup, numit grup simplectic, notat Sp(n) sau Sp(2n) dupa unii autori. Acesta este de fapt un grup Lie clasic
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
2"n". Modelul standard este spațiul C privit ca un spațiu vectorial real, având ca formă simplectică partea imaginară a metricii Hermitiene standard. Unui izomorfism liniar sau afin " E" i se spune simplectic deoarece păstrează forma simplectică formula 28. Ansamblul izomorfismelor liniare simplectice C formează un grup, numit grup simplectic, notat Sp(n) sau Sp(2n) dupa unii autori. Acesta este de fapt un grup Lie clasic conex necompact de dimensiune "n"("n"-1)/2, care conține grupul unitar U("n"), iar
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
câmpurilor vectoriale "X", "Y" și "Z", care verifică: O mulțime înzestrată cu o formă simplectică se numește mulțime simplectică. Un difeomorfism formula 36 se numește difeomorfism simplectic deoarece "f" păstrază formele simplectice formula 28. Mai explicit, diferențiala formula 38 este un izomorfism simplectic liniar. Ansamblul difeomorfismelor simplectice formula 39 formează un grup, care se numește grupul difeomorfismelor simplectice, notat cu formula 40, al cărui studiu este de prim interes. Unul din rezultatele principale elementare ale geometriei simplectice este teorema lui Darboux, care precizează că: local, două
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
pe spațiul fibrat formula 38, spațiul cotangent în punctul "q" din spațiul configurațiilor, uneori numit și cometrică. Acest Hamiltonian se bazează în totalitate pe energia cinetică. Dacă se consideră o mulțime Riemanniană sau o pseudo-mulțime Riemanniană, metrica Riemanniană induce un izomorfism liniar între fibrajul tangent și cel cotangent (vezi Izomorfism canonic). Folosind acest izomorfism, putem defini o cometrică. În coordonate, matricea care definește o cometrică este inversa unei matrici care definește o metrică. Soluțiile ecuațiilor Hamilton-Jacobi pentru acest Hamiltonian sunt aceleași ca
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
componente le notăm cu u, v, i,j=1,2,3. Cei doi vectori se află în planul Ω=0: formula 46Drept consecință a antisimetriei lui D forma(3.1) se anulează și dacă înlocuim pe u,v cu orice combinații liniare ale lor, cu alte cuvinte pentru orice doi vectori din planul Ω = 0. Formularea (3.1) & (3.2) (ca și (2.13) când n=3) este invariantă la schimbări de coordonate: aceasta se vede din formula (1.2.2) și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
v se transformă la fel ca și diferențialele dx:formula 47astfel incât expresiile (3.1) și (3.2) păstrează aceeași formă. Cu aceasta, teorema lui Frobenius(1877) pentru n oarecare este: Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
lui Frobenius pot fi exprimate foarte elegant în limbajul modern al formelor diferențiale. Amintim aici numai strictul necesar: Produsul exterior a două 1-forme Ω si Ω este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct x din U(o 2-formă); spațiul liniar al formelor biliniare antisimetrice are la fiecare x dimensiunea n(n-1)/2; o bază formează produsele dxΛ dx definite pe doi vectori ξ,ξ din R prin formula 51 este aria proiecției paralelogramului subîntins de ξ, ξ pe subspațiul subîntins
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
unei "1-forme" este o "2-formă", definită prin formula 53unde "da" este "1-forma" dată de "diferențiala totală" a lui "a". Un calcul simplu arată că formula 54 Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ dx Λ dx; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
arată că formula 54 Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ dx Λ dx; acestea sunt funcționale (multi)liniare total antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
punând "a=-1, a=0; a=0, a=-1:formula 66 și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:formula 67unde "u = (1,0,a, a), v = (0,1,a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a=-1:formula 66 și observând că egalitățile (5.7) pot fi scrise sub forma:formula 67unde "u = (1,0,a, a), v = (0,1,a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a, a)" sunt doi vectori, soluții ale sistemului de ecuații liniare:formula 68(adică doi vectori din varietatea liniară Ω=0,q=1,2). Forma (5.9) are avantajul că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe orice pereche de vectori aparținând varietății liniare (5.10) determinate de Ω=0, q=1..p." Din (5.7) se vede că, dacă a(x)≡0, q=1,2, atunci ∂a/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure forme (vezi "remarca
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există n-
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel puțin unul din determinanții de ordin p ai sistemului nu se anulează, există n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
5.2)), cu C..,C constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem că sistemul (5.15) admite p soluții "independente" f(x),k=1..p. Prin definiția (5.12) a lui A(x) printre soluțiile sistemului liniar (5.12) se numără vectorii formați din coeficienții a(x) (k=1...,p; j=1...,n) ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
sistemului liniar (5.12) se numără vectorii formați din coeficienții a(x) (k=1...,p; j=1...,n) ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.Jacobi că: "un sistem de ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.Jacobi că: "un sistem de ecuații liniare și omogene cu derivate parțiale este complet dacă și numai dacă este închis față de operația de comutare a operatorilor L, adică pentru orice funcție netedă f și orice 1≤q1, q2≤n-p :"formula 75unde b(x) sunt funcții netede de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
condiția lui Frobenius (5.9) din paragraful precedent. Pentru aceasta, este suficient să calculăm explicit comutatorul din (5.17):formula 76 Dacă (5.17) are loc, atunci vectorul C cu componente C, definite în (5.18), trebuie să fie o combinație liniară a vectorilor A, q=1...n-p și deci verifică:formula 77 deoarece A îndeplinesc (5.12); derivând (5.12) față de x, deducem că, pentru orice i=1...n :formula 78 Substituind pe C(x), definit de (5.18) în egalitatea (5
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de (5.18) în egalitatea (5.19) și folosind (5.20) obținem (rebotezând unii indici):formula 79 Dar acum e ușor de văzut că, dacă această egalitate are loc pentru vectorii A,A, ea are loc pentru orice pereche de combinații liniare ale lor; mai mult, putem să înlocuim coeficienții a și cu combinații liniare ale lor (față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]