9,239 matches
-
ecuației lui Schrödinger pentru oscilatorul armonic cuantic, numită și "metoda Schrödinger" este un procedeu matematic de rezolvare a ecuației ce descrie comportamentul dinamic al unui sisem oscilant armonic microscopic. Metoda, dezvoltată de către fizicianul austriac Erwin Schrödinger, are la bază teoria ecuațiilor diferențiale și utilizarea polinoamelor Hermite. Procedeul acesta, alături de "metoda algebrică" al lui Dirac și Fock, respectiv "metoda polinomială" datorată lui Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației de cuantificare a energiei oscilatorului
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
polinoamelor Hermite. Procedeul acesta, alături de "metoda algebrică" al lui Dirac și Fock, respectiv "metoda polinomială" datorată lui Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației de cuantificare a energiei oscilatorului. În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger temporală corespunzătoare hamiltonianului clasic este prin definiție: Pentru oscilatorul unidimensional, vectorul de poziție formula 3 se înlocuiește prin coordonata formula 4, iar operatorul formula 5 (laplaceanul) prin derivata parțială de ordinul doi în raport de coordonata formula 4: formula 7. Potențialul câmpului de forțe
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
formula 3 se înlocuiește prin coordonata formula 4, iar operatorul formula 5 (laplaceanul) prin derivata parțială de ordinul doi în raport de coordonata formula 4: formula 7. Potențialul câmpului de forțe în care este plasată particula este în acest caz: formula 8. Se găsește astfel, forma ecuației Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional): Legătura dintre ecuația lui Schrödinger și ecuația clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluții particulare de forma: formula 9, unde formula 10 este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
prin derivata parțială de ordinul doi în raport de coordonata formula 4: formula 7. Potențialul câmpului de forțe în care este plasată particula este în acest caz: formula 8. Se găsește astfel, forma ecuației Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional): Legătura dintre ecuația lui Schrödinger și ecuația clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluții particulare de forma: formula 9, unde formula 10 este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții formula 11, formula 12, formula 13 în general dependenți de timp. Expresia generală
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
ordinul doi în raport de coordonata formula 4: formula 7. Potențialul câmpului de forțe în care este plasată particula este în acest caz: formula 8. Se găsește astfel, forma ecuației Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional): Legătura dintre ecuația lui Schrödinger și ecuația clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluții particulare de forma: formula 9, unde formula 10 este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții formula 11, formula 12, formula 13 în general dependenți de timp. Expresia generală a acestui polinom se
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
formula 10 este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții formula 11, formula 12, formula 13 în general dependenți de timp. Expresia generală a acestui polinom se scriesub forma formula 14 (1.4). Folosind această formă, se exprimă derivatele parțiale din ecuația Schrödinger prin expresiile: formula 15formula 16 formula 17formula 18 formula 19formula 20 Întrucât factorul exponențial este definit strict pozitiv, prin înlocuirea acestor derivate în expresia ecuației, se poate simplifica prin el și se găsește egalitatea: formula 21formula 22 Condiția necesară, ca această egalitate să fie satisfăcută este aceea
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
timp. Expresia generală a acestui polinom se scriesub forma formula 14 (1.4). Folosind această formă, se exprimă derivatele parțiale din ecuația Schrödinger prin expresiile: formula 15formula 16 formula 17formula 18 formula 19formula 20 Întrucât factorul exponențial este definit strict pozitiv, prin înlocuirea acestor derivate în expresia ecuației, se poate simplifica prin el și se găsește egalitatea: formula 21formula 22 Condiția necesară, ca această egalitate să fie satisfăcută este aceea ca toți coeficienții acelorași puteri ale variabilei spațiale să fie nule. Din această condiție se obține sistemul de ecuații lineare
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
expresia ecuației, se poate simplifica prin el și se găsește egalitatea: formula 21formula 22 Condiția necesară, ca această egalitate să fie satisfăcută este aceea ca toți coeficienții acelorași puteri ale variabilei spațiale să fie nule. Din această condiție se obține sistemul de ecuații lineare ce permite calcularea coeficienților formula 23, formula 12 și formula 13: formula 26formula 27 formula 28formula 29 formula 30formula 31 Soluția trivială a ecuației (1.7) este aceea în care coeficientul formula 32 este independent de timp. O asemenea soluție este analoagă cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi pentru un oscilator
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
egalitate să fie satisfăcută este aceea ca toți coeficienții acelorași puteri ale variabilei spațiale să fie nule. Din această condiție se obține sistemul de ecuații lineare ce permite calcularea coeficienților formula 23, formula 12 și formula 13: formula 26formula 27 formula 28formula 29 formula 30formula 31 Soluția trivială a ecuației (1.7) este aceea în care coeficientul formula 32 este independent de timp. O asemenea soluție este analoagă cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi pentru un oscilator armonic clasic, rezultă din această analogie relația pentru formula 32: formula 34 Din cele două soluții posibile ale
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
se obține sistemul de ecuații lineare ce permite calcularea coeficienților formula 23, formula 12 și formula 13: formula 26formula 27 formula 28formula 29 formula 30formula 31 Soluția trivială a ecuației (1.7) este aceea în care coeficientul formula 32 este independent de timp. O asemenea soluție este analoagă cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi pentru un oscilator armonic clasic, rezultă din această analogie relația pentru formula 32: formula 34 Din cele două soluții posibile ale acestei ultime ecuații se alege soluția negativă, pentru a asigura posibilitatea normării funcției de undă formula 35 dată de relația (1
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
este aceea în care coeficientul formula 32 este independent de timp. O asemenea soluție este analoagă cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi pentru un oscilator armonic clasic, rezultă din această analogie relația pentru formula 32: formula 34 Din cele două soluții posibile ale acestei ultime ecuații se alege soluția negativă, pentru a asigura posibilitatea normării funcției de undă formula 35 dată de relația (1.3), cu alte cuvinte, pentru ca funcția să nu tindă la infinit când x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
de undă formula 35 dată de relația (1.3), cu alte cuvinte, pentru ca funcția să nu tindă la infinit când x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de definiție). Cu această condiție, se poate scrie soluția acceptabilă a ecuației (1.7): formula 36formula 37 Dacă se introduce această relație în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
cuvinte, pentru ca funcția să nu tindă la infinit când x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de definiție). Cu această condiție, se poate scrie soluția acceptabilă a ecuației (1.7): formula 36formula 37 Dacă se introduce această relație în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
infinit când x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de definiție). Cu această condiție, se poate scrie soluția acceptabilă a ecuației (1.7): formula 36formula 37 Dacă se introduce această relație în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1.7.2) se ajunge la ecuația diferențială
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
x tinde la infinit (să fie mărginit pe întregul domeniu de definiție). Cu această condiție, se poate scrie soluția acceptabilă a ecuației (1.7): formula 36formula 37 Dacă se introduce această relație în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1.7.2) se ajunge la ecuația diferențială formula 43formula 44 din
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
în ecuația diferențială (1.7.1) se obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1.7.2) se ajunge la ecuația diferențială formula 43formula 44 din care prin integrare se găsește: formula 45formula 46 în această ultimă relație nu este nevoie de constantă de integrare fiindcă ea ar introduce un factor numeric constant care din punct de vedere
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
obține ecuația: formula 38formula 39 Ecuația de mai sus, prin integrare directă, admite soluția: formula 40 formula 41 unde termenul formula 42 reprezintă constanta de integrare arbitrară care poate fi reală sau complexă. Substituind ultimele două rezultate în ecuația (1.7.2) se ajunge la ecuația diferențială formula 43formula 44 din care prin integrare se găsește: formula 45formula 46 în această ultimă relație nu este nevoie de constantă de integrare fiindcă ea ar introduce un factor numeric constant care din punct de vedere fizic este nesemnificativ pentru soluția de la (1
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
explicită a polinoamelor Hermite formula 75formula 76 Prin înlocuirea dezvoltărilor anterioare în relația (1.16) a soluției și ținând cont de notațiile făcute se obține formula 77formula 78 sau în forma explicită: formula 79formula 80 Expresia de mai sus (1.22.1) reprezintă o soluție a ecuației lui Schrödinger (1.2), transcrisă cu schimbarea de variabilă x→formula 81 (1.13), oricare ar fi valoarea de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este și el o soluție a
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
lui Schrödinger (1.2), transcrisă cu schimbarea de variabilă x→formula 81 (1.13), oricare ar fi valoarea de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este și el o soluție a ecuației temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza acestui raționament se obțin următoarele soluții ale acestei ecuații: Se poate observa că în această ultimă formă a soluțiilor, termenii spațiali (care conțin variabila spațială formula 81-elongația exprimată în unități naturale) se pot
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este și el o soluție a ecuației temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza acestui raționament se obțin următoarele soluții ale acestei ecuații: Se poate observa că în această ultimă formă a soluțiilor, termenii spațiali (care conțin variabila spațială formula 81-elongația exprimată în unități naturale) se pot separa de termenul temporal (cel care conține variabila t-timpul). Dacă notăm prin formula 83 partea spațială și
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
temporal (cel care conține variabila t-timpul). Dacă notăm prin formula 83 partea spațială și prin formula 84 parte temporală a soluțiilor, atunci se poate scrie soluția scriindu-se prin expresia formală formula 85 (1.24.2). Soluția formula 83 (1.24) este rezolvarea ecuației Schrödinger atemporale scrisă în scara formula 81 respectiv în notația bra-ket (după Dirac): Aceasta este o ecuație cu vectori și valori proprii pentru care valorile proprii formula 88 se obțin prin identificarea factorului temporal din expresia (1.24.1) cu forma valabil
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
parte temporală a soluțiilor, atunci se poate scrie soluția scriindu-se prin expresia formală formula 85 (1.24.2). Soluția formula 83 (1.24) este rezolvarea ecuației Schrödinger atemporale scrisă în scara formula 81 respectiv în notația bra-ket (după Dirac): Aceasta este o ecuație cu vectori și valori proprii pentru care valorile proprii formula 88 se obțin prin identificarea factorului temporal din expresia (1.24.1) cu forma valabil pentru orice funcție de undă Prin urmare se găsește formula binecunoscută: Această expresie se află în concordanță
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
diferențială definită de matematicianul și fizicianul Alfred Schild. Douăzeci de mii de ani în viitor, Cass o fiziciană de pe Pământ, călătorește pe stația orbitală Mimosa unde face o serie de experimente pentru a testa limitele "regulilor Sarumpaet", un set de ecuații fundamentale din ""Teoria Grafului Cuantic". Însă aceste experimente dau naștere unei sfera care conține ceva mult mai stabil decât vidul, care se extinde cu jumătate din viteza luminii, conform unor legi generale situate dincolo de regulile Sarumpaet. Populația locală este obligată
Scara lui Schild (roman) () [Corola-website/Science/323599_a_324928]
-
este aceea prin care se folosește sistemul de coordonate cartezian tridimensional. În conformitate cu articolul despre rotor, avem: în care partea dreaptă este un determinant, iar i, j, k sunt vectorii unitari ai axelor, iar formula 16, "etc". De exemplu, componenta "x" a ecuației de mai sus este: în care partea stângă este egală cu zero datorită egalități derivatelor parțiale. Divergența unui rotor al "oricărui" câmp vectorial A este întotdeauna zero: Laplacianul unui câmp scalar este definit ca divergența unui gradient: De notat că
Identitățile calculului vectorial () [Corola-website/Science/323691_a_325020]
-
unde constanta de proporționalitate a fost ales egal cu unitatea, printr-o schimbare convenabilă a unității de lungime.Diferențiala de ordinul întâi a acestei relații este: Eliminând parametrul formula 16, și separând variabilele formula 23 și formula 24 se găsește relația: Pentru găsirea ecuației curbei care satisface condiția de tautocronism, se integrează relația de mai sus după variabila y, găsindu-se soluția: Unde formula 27. Această integrală reprezintă aria unui sector de disc, care în mod natural se poate descompune în aria unui triunghi și
Tautocronă () [Corola-website/Science/323736_a_325065]