9,239 matches
-
funcția formula 7 trebuie să se comporte astfel la infinit, încât să nu compenseze exponențiala. Prin înlocuirea expresiei (2.5) în ecuația (2.2) se obține pentru funcția formula 7 ecuația În vederea simplificării scrierii se introduc următoarele notații ajutătoare: cu aceste notații, ecuația (2.6) ia forma Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 7 este o soluție, atunci și formula 10 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 11 sunt soluții ale
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
astfel la infinit, încât să nu compenseze exponențiala. Prin înlocuirea expresiei (2.5) în ecuația (2.2) se obține pentru funcția formula 7 ecuația În vederea simplificării scrierii se introduc următoarele notații ajutătoare: cu aceste notații, ecuația (2.6) ia forma Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 7 este o soluție, atunci și formula 10 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 11 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
introduc următoarele notații ajutătoare: cu aceste notații, ecuația (2.6) ia forma Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 7 este o soluție, atunci și formula 10 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 11 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își schimbă semnul: se zice că prima este pară iar a doua impară. Pentru ecuația (2.8) se caută o soluție pară
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
2.6) ia forma Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 7 este o soluție, atunci și formula 10 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 11 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își schimbă semnul: se zice că prima este pară iar a doua impară. Pentru ecuația (2.8) se caută o soluție pară și una impară. Cele două soluții se scriu
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 11 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își schimbă semnul: se zice că prima este pară iar a doua impară. Pentru ecuația (2.8) se caută o soluție pară și una impară. Cele două soluții se scriu sub forma unor serii de puteri, astfel, prima ca o serie de puteri pare, iar cea de a doua ca serie de puteri impare: Prin
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
o soluție pară și una impară. Cele două soluții se scriu sub forma unor serii de puteri, astfel, prima ca o serie de puteri pare, iar cea de a doua ca serie de puteri impare: Prin înlocuirea acestor serii în ecuația (2.8)se găsesc de asemenea serii care, pentru a satisface ecuația, trebuie să fie identic nule. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a variabilei formula 1 se anulează și se obțin relațiile de recurență ce permit găsirea coeficienților formula 13 și formula 14
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
forma unor serii de puteri, astfel, prima ca o serie de puteri pare, iar cea de a doua ca serie de puteri impare: Prin înlocuirea acestor serii în ecuația (2.8)se găsesc de asemenea serii care, pentru a satisface ecuația, trebuie să fie identic nule. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a variabilei formula 1 se anulează și se obțin relațiile de recurență ce permit găsirea coeficienților formula 13 și formula 14: Relații din care se deduc expresiile: În relațiile de mai sus numă
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
2.10.1): Utilizând relația de recurență sintetică (2.11), prin înlocuirea succesivă a valorilor posibile pentru numărul n, se obține o formă explicită pentru coeficienții sintetici: Relația (2.13), prin forma sa, sugerează utilizarea unei funcții speciale din cadrul teoriei ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale, funcție des utilizată pentru rezolvarea unor probleme din mecanica cuantică. Pentru realizarea legăturii cu problema găsirii valorilor și funcțiilor proprii asociate hamiltonianului oscilatorului armonic cuantic, în această secțiune se prezintă într-o manieră simplificată, principalele caracteristici
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
demonstrată mai sus funcția hipergeometrică degenerată se supune relației relație care este adevărată oricare ar fi numărul k cuprins strict între 0 și unu. Ținând cont de soluțiile (2.9) (2.9.1) și definiția (2.14), soluțiile acceptabile ale ecuației (2.60 se pot scrie sub forma
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
cuantic, cunoscut și sub denumirea de metoda Dirac-Fock este un procedeu matematic de găsire a funcțiilor și valorilor proprii ale unui sisem oscilant armonic microscopic. Metoda, dezvoltată de către fizicianul englez Paul Dirac și perfecținat de către Fock, are la bază teoria ecuațiilor canonice din cadrul formalismului clasic Hamilton-Jacobi și folosește o metodă operatorială algebrică. Procedeul acesta, alături de metoda analitică al lui Schrödinger, respectiv metoda polinomială datorată lui Arnold Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
Schrödinger, respectiv metoda polinomială datorată lui Arnold Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației de cuantificare a energiei oscilatorului. Metoda algebrică, cunoscută și ca metoda operatorilor de creștere și descreștere pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. Rezultatele la care se ajunge, prin utilizarea acestei metode confirmă
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
Sommerfeld, permite găsirea sistemului complet de funcții proprii care redau comportamentul oscilatorului și obținerea relației de cuantificare a energiei oscilatorului. Metoda algebrică, cunoscută și ca metoda operatorilor de creștere și descreștere pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. Rezultatele la care se ajunge, prin utilizarea acestei metode confirmă rezultatele lui Schrödinger și în plus demonstrează
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
energiei oscilatorului. Metoda algebrică, cunoscută și ca metoda operatorilor de creștere și descreștere pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. Rezultatele la care se ajunge, prin utilizarea acestei metode confirmă rezultatele lui Schrödinger și în plus demonstrează completitudinea sistemului de funcții proprii, adică faptul că înafara sitemului infint de funcții proprii de formă determinată nu
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
de funcții proprii, adică faptul că înafara sitemului infint de funcții proprii de formă determinată nu există altă soluție a problemei oscilatorului armonic cuantic. Rezultatele identice la care se ajunge prin cele trei metode independente reprezintă o dovadă a corectitudinii ecuației lui Schrödinger ca lege fundamentală ce guvernează lumea microparticulelor. Operatorii de creștere și descreștere introduse de această metodă în premieră în cadrul formalismului cuantic Metoda algebrică, pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
se ajunge prin cele trei metode independente reprezintă o dovadă a corectitudinii ecuației lui Schrödinger ca lege fundamentală ce guvernează lumea microparticulelor. Operatorii de creștere și descreștere introduse de această metodă în premieră în cadrul formalismului cuantic Metoda algebrică, pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. La scrierea hamiltonianului în tratarea cuantică, acestor mărimi i se
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
reprezintă o dovadă a corectitudinii ecuației lui Schrödinger ca lege fundamentală ce guvernează lumea microparticulelor. Operatorii de creștere și descreștere introduse de această metodă în premieră în cadrul formalismului cuantic Metoda algebrică, pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. La scrierea hamiltonianului în tratarea cuantică, acestor mărimi i se asociază operatori diferențiali analogi în baza principiului
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
și descreștere introduse de această metodă în premieră în cadrul formalismului cuantic Metoda algebrică, pornește de la ecuațiile de mișcare clasice, deduse pe baza ecuațiilor canonice din cadrul formalismului Hamilton-Jacobi și introduce două mărimi complex conjugate formula 1 și formula 2 prin care se aduc ecuațiile la o formă mai simplă. La scrierea hamiltonianului în tratarea cuantică, acestor mărimi i se asociază operatori diferențiali analogi în baza principiului corespondenței. Funcțiile de stare și relația de cuantificare a energiei se deduce prin rezolvarea problemei valorilor și funcțiilor
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
baza principiului corespondenței. Funcțiile de stare și relația de cuantificare a energiei se deduce prin rezolvarea problemei valorilor și funcțiilor proprii pentru operatorul Hamilton. Expresiile celor două mărimi în cazul clasic sunt Derivând în raport cu timpul se scriu relațiile Prin înlocuirea ecuațiilor de mișcare formula 5, respectiv formula 6 în relațiile de mai sus ecuațiile respective devin respectiv: fiecare dintre aceste ecuații conține câte una singură dintre variabilele (2.2). De asemenea, hamiltonianul sistemului oscilant se poate scrie Dacă se trece la cazul cuantic
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
energiei se deduce prin rezolvarea problemei valorilor și funcțiilor proprii pentru operatorul Hamilton. Expresiile celor două mărimi în cazul clasic sunt Derivând în raport cu timpul se scriu relațiile Prin înlocuirea ecuațiilor de mișcare formula 5, respectiv formula 6 în relațiile de mai sus ecuațiile respective devin respectiv: fiecare dintre aceste ecuații conține câte una singură dintre variabilele (2.2). De asemenea, hamiltonianul sistemului oscilant se poate scrie Dacă se trece la cazul cuantic, este natural să se introducă operatorii analogi, așa cum impune principiul corespondenței
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
și funcțiilor proprii pentru operatorul Hamilton. Expresiile celor două mărimi în cazul clasic sunt Derivând în raport cu timpul se scriu relațiile Prin înlocuirea ecuațiilor de mișcare formula 5, respectiv formula 6 în relațiile de mai sus ecuațiile respective devin respectiv: fiecare dintre aceste ecuații conține câte una singură dintre variabilele (2.2). De asemenea, hamiltonianul sistemului oscilant se poate scrie Dacă se trece la cazul cuantic, este natural să se introducă operatorii analogi, așa cum impune principiul corespondenței: Operatorii formula 7 și formula 8 nu sunt autoadjuncți
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
rezolvarea aceleiași probleme pentru operatorul , dacă se notează prin formula 13 valoarea proprie asociată funcției proprii formula 14 atunci ecuați se scrie Folosind relația (2.11) rezultă Prin înlocuirea ultimelor două expresii în relația (2.12) se obține pentru hamiltonian expresia Din ecuația (2.13) rezultă că valorile proprii formula 13 ale operatorului formula 16 nu pot fi negative, din cauza identității în care produsul scalar formula 17 este cu certitudine pozitiv (funcția formula 18 nu poate fi identic nulă), iar produsul scalar formula 19 este norma funcției formula 20
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
scalar formula 17 este cu certitudine pozitiv (funcția formula 18 nu poate fi identic nulă), iar produsul scalar formula 19 este norma funcției formula 20 și este în general pozitiv sau nul în cazul în care formula 20 este identic nulă. Aplicând ambilor membri ai ecuației (2.13) operatorul formula 11 și ținând seama de relația de comutație (2.11), se poate scrie relație care conduce la ecuația Din ultima relație se deduce că funcția formula 23 este nulă, sau este o funcție proprie a operatorului formula 24, asociat
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
și este în general pozitiv sau nul în cazul în care formula 20 este identic nulă. Aplicând ambilor membri ai ecuației (2.13) operatorul formula 11 și ținând seama de relația de comutație (2.11), se poate scrie relație care conduce la ecuația Din ultima relație se deduce că funcția formula 23 este nulă, sau este o funcție proprie a operatorului formula 24, asociat valorii proprii formula 25. În cel de-al doilea caz, dacă se aplică din nou operatorul formula 11 asupra acestei funcții, va rezulta
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
apriori că funcțiile formula 40 sunt normate, raționamentul de la relațiile (2.17)-(2.19) conduc la relația de recurență formula 44 fiind un factor numeric ce ține cont de existența normelor funcțiilor formula 40 și formula 46. Prin aplicarea operatorului formula 12 ambilor membri ai ecuației (2.20) și folosind relația (2.19) se ajunge la ecuația Din această ultimă identitate, prin simpla împărțire a termenilor se găsește Așa cum relația (2.20) permite găsirea funcției formula 46, pornind de la formula 40, tot la fel, relația (2.21.1
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
2.19) conduc la relația de recurență formula 44 fiind un factor numeric ce ține cont de existența normelor funcțiilor formula 40 și formula 46. Prin aplicarea operatorului formula 12 ambilor membri ai ecuației (2.20) și folosind relația (2.19) se ajunge la ecuația Din această ultimă identitate, prin simpla împărțire a termenilor se găsește Așa cum relația (2.20) permite găsirea funcției formula 46, pornind de la formula 40, tot la fel, relația (2.21.1) asigură găsirea funcției formula 40 plecând de la formula 51. Această particularitate a comportamentului
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]