10,476 matches
-
demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec Proclus. Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea "The Pythagorean Proposition" (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații. Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor. Fie "ABC" un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
un unghi drept), iar unghiul lor comun este "A", ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi același în ambele triunghiuri, marcat "θ" pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul "CBH" este și el asemenea cu triunghiul "ABC". Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează: Primul rezultat este cosinusul unghiurilor "θ
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează: Primul rezultat este cosinusul unghiurilor "θ", iar al doilea este sinusul lor. Rapoartele pot fi scrise astfel: Însumarea acestor două egalități rezultă în care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora: Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
fi scrise astfel: Însumarea acestor două egalități rezultă în care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora: Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării "Elemente", astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme. În
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora: Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării "Elemente", astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme. În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui Euclid
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării "Elemente", astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme. În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui Euclid din "Elemente" are loc. Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
dreptunghic, în care unghiul drept să fie "A". Se trasează perpendiculara din punctul "A" prin ipotenuză, până pe latura opusă ipotenuzei, din pătrat. Dreapta desparte pătratul respectiv în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață cu unul dintre pătratele de pe catete. Pentru demonstrația formală, se recurge la patru leme elementare: atunci triunghiurile sunt congruente. În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
recurge la patru leme elementare: atunci triunghiurile sunt congruente. În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos. Demonstrația este următoarea: Această demonstrație, care apare în "Elementele" lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
elementare: atunci triunghiurile sunt congruente. În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos. Demonstrația este următoarea: Această demonstrație, care apare în "Elementele" lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos. Demonstrația este următoarea: Această demonstrație, care apare în "Elementele" lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește posibila metoda de demonstrație a Pitagora. Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu formula 6. Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor formula 7 și formula 8 (figura din stânga) sunt substituite
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Elementele" lui Euclid, sub forma Propoziției 47 din Cartea 1, arată faptul că suprafața pătratului de pe ipotenuză este suma suprafețelor celor două pătrate mici. Această demonstrație este una destul de diferită față de cea folosind asemănarea triunghiurilor, care folosește posibila metoda de demonstrație a Pitagora. Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu formula 6. Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor formula 7 și formula 8 (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul formula 9 la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente. Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține: Se ajunge așadar la formula 12, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată. Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași idee este reprezentată în animația din partea stângă, care conține pătratul mare de latură , cu patru triunghiuri dreptunghice identice. Triunghiurile sunt reprezentate alternativ în două moduri de aranjare
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente. Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține: Se ajunge așadar la formula 12, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată. Demonstrația pitagoreică, care a fost deja discutată, a fost o demonstrație prin rearanjare. Aceeași idee este reprezentată în animația din partea stângă, care conține pătratul mare de latură , cu patru triunghiuri dreptunghice identice. Triunghiurile sunt reprezentate alternativ în două moduri de aranjare, în primul în care sunt arătate cele două pătrate mici
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
care este arătat pătratul "c". Suprafața cuprinsă de pătratul exterior nu se schimbă, iar suprafața celor patru triunghiuri este aceeași și la începutul rearanjării, dar și după, așadar suprafețele pătratelor negre sunt egale. Astfel, ajungem la rezultatul O a doua demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața "c",din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi "a", "b" și "c", amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
se formează două dreptunghiuri cu laturile "a" și "b" prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe "a" și "b", care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial. O a treia demonstrație este reprezentată în imaginea din dreapta. Pătratele superioare sunt divizate după cum se poate observa, în figuri cu nuanțe de albastru și verde, iar aceste figuri mici pot fi rearanjate pentru a umple pătratul mare inferior. Analog, acest lucru se poate face
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
se poate observa în jumătatea superioară a diagramei. Triunghiurile sunt asemenea, având aria formula 13, în timp ce pătratul mic are latura și aria . Așadar, aria pătratului mare este: Dar acesta este un pătrat de latură "c" și cu suprafața "c", deci O demonstrație similară folosește patru copii ale aceluiași triunghi, care sunt aranjate simetric în jurul unui pătrat de latură "c", după cum se poate observa în partea inferioară a diagramei. Astfel se formează un pătrat mai mare, de latură și arie . Cele patru triunghiuri
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
după cum se poate observa în partea inferioară a diagramei. Astfel se formează un pătrat mai mare, de latură și arie . Cele patru triunghiuri și pătratul de latură "c" au aceeași suprafață cu pătratul cel mare, ceea ce conduce la: O altă demonstrație, o variațiune a celor de mai sus, a fost publicată de președintele american James A. Garfield. Diferența constă în utilizarea unui trapez în locul unui pătrat, acesta putând fi construit prin tăierea cu o dreaptă a pătratului mare reprezentat mai sus
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
mai sus, a fost publicată de președintele american James A. Garfield. Diferența constă în utilizarea unui trapez în locul unui pătrat, acesta putând fi construit prin tăierea cu o dreaptă a pătratului mare reprezentat mai sus, în cadrul celei de-a doua demonstrații algebrice. Astfel, se obține trapezul reprezentat în diagramă. Deci suprafața trapezului este jumătate din cea a pătratului, adică Folosindu-se ecuația pătratului mare, vom aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul formula 19 se reduce, astfel că în final rămâne relația pitagoreică
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
aveam rezultatul înjumătățit pentru trapez. Raportul formula 19 se reduce, astfel că în final rămâne relația pitagoreică. Se poate ajunge la teorema lui Pitagora prin intermediul studiului modului în care schimbările într-o latură produc o schimbare în ipotenuză, iar pentru această demonstrație se apelează la calcului diferențial și integral. Triunghiul "ABC" este un triunghi drept, după cum se observă și în partea superioară a diagramei, iar "BC" este ipotenuza. În același timp, lungimile triunghiului sunt măsurate după cum se poate vedea în partea inferioară
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
rapoartele dintre laturile lor trebuie să fie la fel, adică: Asta poate fi rescris după cum urmează: Aceasta este o ecuație diferențială care prin rezolvare dă Iar constanta poate fi dedusă de la "x" = 0, "y" = "a" pentru a obține ecuația Această demonstrație este mai degrabă intuitivă; se poate face și mai riguros dacă în locul valorilor "dx" și "dy" se folosesc limite. După cum s-a arătat și în introducere, dacă "c" reprezintă lungimea ipotenuzei, iar "a" și "b" reprezintă lungimile celorlalte două latură
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi "a", "b" și "c", triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime "a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
mici (catete) este egală cu suprafața figurii de pe latura mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C" pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze invers pentru a se realiza o demonstrație a teoremei. De exemplu, triunghiul central poate fi replicat și folosit ca un triunghi "C" pe ipotenuza sa, și două triunghiuri dreptunghice asemenea ("A" și "B" ) construite pe catetele sale, formate prin divizarea triunghiului central cu ajutorul înălțimii sale. Suma suprafețelor
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
π/2, baza triunghiului isoscel se micșorează, iar lungimile "r" și "s" se confundă tot mai mult, devenind un singur segment. Când θ = π/2, "ADB" devine un triunghi dreptunghic, "r" + "s" = "c", ceea ce amintește de relația lui Pitagora. O demonstrație punctează faptul că triunghiul "ABC" are aceleași unghiuri cu triunghiul "ABD", dar în ordine inversă (cele două triunghiuri au un unghi comun în vârful B, ambele conțin unghiul θ, așadar au același al treilea unghi conform postulatului triunghiului). Prin urmare
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
1972), privită cu încântare de Marin Sorescu, într-o cronică de întâmpinare, apreciind modul păunescian «...în care îmbină liricul cu polemicul; poezia sa este o poezie de atitudine, în primul rând; atitudine fățișă; am putea spune pledoarie - și în focul demonstrației zărești și colții și lacrimile; când Adrian Păunescu își arată colții, e un autor de pradă: inerția, vechi apucături, îndărătnici și sfătuitori de ocazie sunt sfâșiați în largi hiperbole, făcuți cu miere și oțet și puși pe munți la uscat
Adrian Păunescu () [Corola-website/Science/298514_a_299843]