143 matches
-
triunghiul "ABC". Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea rapoartelor dintre laturile corespondente după cum urmează: Primul rezultat este cosinusul unghiurilor "θ", iar al doilea este sinusul lor. Rapoartele pot fi scrise astfel: Însumarea acestor două egalități rezultă în care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora: Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
laturi, se poate calcula lungimea celei de a treia. Un corolar al teoremei spune că în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai mare decât oricare dintre catete, dar mai mică decât suma acestora. O generalizare a teoremei pitagorice este teorema cosinusului, care oferă posibilitatea de a calcula lungimea oricărei laturi a unui triunghi, dacă se cunosc lungimile a două dintre laturi și unghiul dintre ele. Dacă unghiul dintre ele două este un unghi drept, atunci această teoremă se reduce la relația
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
și sunt separate de distanța "s": Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate, formula lui Pitagora în coordonate carteziene produce separarea în coordonate polare după cum urmează: folosind formule pentru identitățile produselor prin sumă. Această formulă este cunoscută ca teorema cosinusului, câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată. Într-un triunghi drept cu catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
formule pentru identitățile produselor prin sumă. Această formulă este cunoscută ca teorema cosinusului, câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată. Într-un triunghi drept cu catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema lui Pitagora generalizată, care este exprimată astfel: unde θ este unghiul dintre laturile formula 7 și formula 8. Când θ este de 90 de grade, atunci cos"θ" = 0, astfel formula se reduce la simpla relație a lui Pitagora
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
cu teorema lui Pitagora, deoarece Mai jos sunt considerate două cazuri în geometrii neeuclidiene: sferică și hiperbolică. În fiecare caz, ca și în cazul euclidian pentru triunghiuri care nu sunt dreptunghice, rezultatul se află având ca punct de plecare teorema cosinusului. Totuși, teorema lui Pitagora rămâne adevărată în geometriile hiperbolică și eliptică dacă și numai dacă suma a două unghiuri este egală cu al treilea, adică "A"+"B" = "C". Laturile sunt apoi relaționate astfel: suma suprafețelor cercurilor de diametre "a" și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
aflat pe o sferă de rază "R" (de exemplu, dacă γ din figură este un unghi drept), de laturi "a", "b", "c", relația dintre laturi ia următoarea formă: Această relație poate fi dedusă ca un fiind caz special al teoremei cosinusului sferic, care se aplică tuturor triunghiurilor sferice: Prin explicitarea seriilor Maclaurin pentru funcția cosinus ca o expansiune asimptotică, se poate arăta faptul că în timp ce raza "R" se apropie de infinit și argumentele "a/R", "b/R" și "c/R" tind
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
un unghi drept), de laturi "a", "b", "c", relația dintre laturi ia următoarea formă: Această relație poate fi dedusă ca un fiind caz special al teoremei cosinusului sferic, care se aplică tuturor triunghiurilor sferice: Prin explicitarea seriilor Maclaurin pentru funcția cosinus ca o expansiune asimptotică, se poate arăta faptul că în timp ce raza "R" se apropie de infinit și argumentele "a/R", "b/R" și "c/R" tind către zero, relația sferică dintre laturile unui triunghi dreptunghic se apropie de forma euclidiană
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
raza "R" se apropie de infinit și argumentele "a/R", "b/R" și "c/R" tind către zero, relația sferică dintre laturile unui triunghi dreptunghic se apropie de forma euclidiană a teoremei lui Pitagora. Substituind expansiunea asimptotică pentru fiecare dintre cosinusuri în relația sferică pentru un triunghi dreptunghic se obține Pentru un triunghi dreptunghic în geometria hiperbolică, cu laturile "a", "b", "c" iar " c" fiind latura opusă unghiului drept, relația dintre laturi ia următoarea formă: unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
fiecare dintre cosinusuri în relația sferică pentru un triunghi dreptunghic se obține Pentru un triunghi dreptunghic în geometria hiperbolică, cu laturile "a", "b", "c" iar " c" fiind latura opusă unghiului drept, relația dintre laturi ia următoarea formă: unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este o formă specială a legii cosinusului hiperbolic care se aplică tuturor triunghiurilor hiperbolice: unde γ este unghiul format la vârful opus laturii "c". Folosind serii Maclaurin pentru cosinusul hiperbolic, , se poate arăta faptul că dacă un
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
se obține Pentru un triunghi dreptunghic în geometria hiperbolică, cu laturile "a", "b", "c" iar " c" fiind latura opusă unghiului drept, relația dintre laturi ia următoarea formă: unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este o formă specială a legii cosinusului hiperbolic care se aplică tuturor triunghiurilor hiperbolice: unde γ este unghiul format la vârful opus laturii "c". Folosind serii Maclaurin pentru cosinusul hiperbolic, , se poate arăta faptul că dacă un triunghi hiperbolic devine foarte mic (anume, când "a", "b" și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
dintre laturi ia următoarea formă: unde cosh este cosinusul hiperbolic. Această formulă este o formă specială a legii cosinusului hiperbolic care se aplică tuturor triunghiurilor hiperbolice: unde γ este unghiul format la vârful opus laturii "c". Folosind serii Maclaurin pentru cosinusul hiperbolic, , se poate arăta faptul că dacă un triunghi hiperbolic devine foarte mic (anume, când "a", "b" și "c" tind spre zero), relația hiperbolică pentru un triunghi dreptunghic se apropie de teorema lui Pitagora. La un nivel infinitezimal, în spațiul
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
va avea expresia Locul geometric al punctelor de fază egală este dat de relația Amplitudinea undei rezultante variază după funcția Prin urmare, în urma interferenței se formează zone în care amplitudinea undei rezultante are valoare maximă, corespunzătoare valorilor ±1 ale funcției cosinus, și zone de minim, în care amplitudinea este nulă. De aici rezultă "condiția de maxim", iar "condiția de minim", La intersecția acestor zone cu un plan paralel cu segmentul "SS" se distinge o figură de interferență cu franje de forma
Interferență () [Corola-website/Science/306691_a_308020]
-
mare decât lucrul mecanic de extracție. Așadar, termenulformula 25 poate fi neglijat. Expresia energiei cinetice este, conform teoriei relativității unde Legea de conservare e energiei devine Scriind conservarea impulsului se obține unde am notat cu Înlocuind formula 39,formula 40,formula 41 în teorema cosinusului pentru triunghiul impulsurilor rezultă Din cele două teoreme de conservare se obține expresia unde formula 44 reprezintă lungimea de undă Compton. Se observă că rezultatul teoriei elaborate de Compton este identic cu legea obținută experimental. În concluzie, efectul descoperit de acesta
Dualismul corpuscul-undă () [Corola-website/Science/299498_a_300827]
-
caz simplu, jumătate din aria discului unitate este dată de: și dă jumătate din circumferința cercului unitate. Forme mai complicate pot fi integrate ca corpuri de rotație. De la definiția pe cercul unitate a funcțiilor trigonometrice rezultă și că sinusul și cosinusul au perioada 2π. Astfel, pentru orice "x" real și orice număr întreg "n", sin("x") = sin("x" + 2π"n") și cos("x") = cos("x" + 2π"n"). Deoarece sin(0) = 0, sin(2π"n") = 0 oricare ar fi un număr întreg
Pi () [Corola-website/Science/304110_a_305439]
-
vectorul gradient), atunci panta va fi mai mică. De exemplu, dacă unghiul dintre drum și direcția de pantă maximă, proiectată pe planul orizontal, este 60°, atunci cea mai abruptă pantă pe drum va fi de 20%, adică 40% înmulțit cu cosinus de 60°. Această observație poate fi formulată matematic după cum urmează. Gradientul funcției înălțime a dealului formula 6 înmulțită scalar cu un vector unitate dă panta dealului în direcția vectorului. Aceasta se numește derivată direcțională. Gradientul (sau câmpul de vectori gradient) unei
Gradient () [Corola-website/Science/311540_a_312869]
-
polinomiale sunt o clasă importantă de funcții derivabile. O ecuație polinomială este o ecuație în care un polinom este considerat egal cu un alt polinom. este o ecuație polinomială. Polinoamele folosesc și la aproximarea altor funcții, cum ar fi sinus, cosinus, și exponențiala. Toate polinoamele au o formă extinsă, în care legile distributive au fost folosite pentru a elimina toate parantezele. Toate polinoamele au și o formă factorizată în care polinomul este scris ca produs de polinoame liniare. De exemplu, polinomul
Polinom () [Corola-website/Science/310020_a_311349]
-
exponențială care este valabilă pentru orice întreg "k", împreună cu formula lui Euler implică anumite identități trigonometrice, precum și formula lui de Moivre. Formula lui Euler furnizează o legătură puternică între analiza matematică și trigonometrie, aducând o interpretare a funcțiilor sinus și cosinus ca sume ponderate ale funcției exponențiale: Cele două ecuații de mai sus pot fi derivate adunând și scăzând formulele lui Euler: și rezolvând pentru cosinus sau sinus. Aceste formule pot servi chiar ca definiții ale funcțiilor trigonometrice de argument complex
Formula lui Euler () [Corola-website/Science/310038_a_311367]
-
o legătură puternică între analiza matematică și trigonometrie, aducând o interpretare a funcțiilor sinus și cosinus ca sume ponderate ale funcției exponențiale: Cele două ecuații de mai sus pot fi derivate adunând și scăzând formulele lui Euler: și rezolvând pentru cosinus sau sinus. Aceste formule pot servi chiar ca definiții ale funcțiilor trigonometrice de argument complex "x". De exemplu, dacă "x" = "iy", avem: Exponențialele complexe pot simplifica trigonometria, deoarece sunt mai ușor de manipulat decât componentele lor sinusoidale. Una din tehnici
Formula lui Euler () [Corola-website/Science/310038_a_311367]
-
de parte reală a unei expresii complexe, și de a face manipulările pe acea expresie. De exemplu: În ecuații diferențiale, funcția "e" se folosește adesea pentru a simplifica derivările, chiar dacă rezultatul final este o funcție reală care implică sinus și cosinus. Identitatea lui Euler este o consecință imediată a formulei lui Euler. În ingineria electrică dar și în alte domenii, semnalele ce pot varia periodic în timp sunt adesea descrise ca o combinație de sinus și cosinus, și acestea se exprimă
Formula lui Euler () [Corola-website/Science/310038_a_311367]
-
care implică sinus și cosinus. Identitatea lui Euler este o consecință imediată a formulei lui Euler. În ingineria electrică dar și în alte domenii, semnalele ce pot varia periodic în timp sunt adesea descrise ca o combinație de sinus și cosinus, și acestea se exprimă mai convenabil ca partea reală a funcțiilor exponențiale cu exponent imaginar, folosind formula lui Euler. De asemenea, analiza fazorială a circuitelor poate include formula lui Euler pentru reprezentarea impedanței unui capacitor sau a unui inductor. Aceasta
Formula lui Euler () [Corola-website/Science/310038_a_311367]
-
puternice abordări sunt bazate pe idei și unelte matematice care nu erau disponibile la momentul când Fourier și-a terminat lucrarea. Fourier a definit inițial seriile Fourier pentru funcții reale de argument real, și folosindu-se de funcțiile sinus și cosinus ca bază a descompunerii. Multe alte transformări de tip Fourier au mai fost definite, extinzând cu alte noi aplicații ideea inițială de reprezentare a oricărei funcții periodice ca suprapunere de armonice. Această arie generală de studiu este uneori numită analiză
Serie Fourier () [Corola-website/Science/309816_a_311145]
-
asociată. formula 66 este o bază ortonormală din "L"(μ), deci se poate scrie De regulă se definește formula 68. Aceste numere se numesc coeficienți Fourier complecși. Expresia lor este O formulare echivalentă este scrierea "f" ca sumă de funcții sinus și cosinus. Suma din secțiunea anterioară este simetrică în raport cu 0: într-adevăr, cu excepția lui "n" = 0, un coeficient "c" corespunde fiecărui coeficient"c". Astfel ne amintim de formulele Astfel se pot exprima serii Fourier cu funcții cu valori reale. Pentru a face
Serie Fourier () [Corola-website/Science/309816_a_311145]