355 matches
-
Geometries" - S.U.A., "Journal of the Egyptian Mathematical Society" - Egipt, "Progress în Mathematics" - India și este membru în "Institute of Basic Researches" (S.U.A.), "Tensor" (Japonia), "American Mathematical Society" (S.U.A.), "Finsler Geometry" (Japonia) ș.a. Preocupările sale științifice grupează cinci direcții principale: geometria diferențiala, fundamentele geometriei, topologia algebrica, mecanică teoretică și aplicații ale geometriilor Lagrange și Hamilton în fizica teoretică. Începând din 1975 a descoperit geometriile Lagrangiene, iar în 1987 geometriile Hamiltoniene. A elaborat metode noi de investigare a fibratelor vectoriale pe care le-
Radu Miron () [Corola-website/Science/307202_a_308531]
-
lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:formula 1 unde "a,a..,a" sunt funcții netede (cu cel puțin o derivată continuă) de x="(x,x..x)" iar "dx" sunt "diferențiale" (deplasări infinitezimale în direcțiile "x"). Dacă funcțiile "x(t)...x(t)", t ε [t,t], parametrizează o curbă C în spațiul n-dimensional R, se poate defini univoc integrala :formula 2 Astfel de integrale apar în mod curent în calculul lucrului
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
forțele”, presupuse cunoscute ca funcții de x. În fizică, o situație cu un interes deosebit este aceea în care "forțele a derivă dintr-un potențial", adică există o funcție "V(x)" astfel incât formula 3 În această situație, 1-forma Ω este diferențiala totală a funcției -V:formula 4 O consecință importantă este că integrala formei Ω este în acest caz independentă de drum: într-adevăr,formula 5iar forma drumului nu joacă nici un rol. Chestiunea care se ridică este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții "a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
O consecință importantă este că integrala formei Ω este în acest caz independentă de drum: într-adevăr,formula 5iar forma drumului nu joacă nici un rol. Chestiunea care se ridică este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții "a", dacă forma Ω reprezintă o diferențială totală. Răspunsul este bine cunoscut:dacă Ω este definită într-o vecinătate (stelată) U a unui punct x, atunci: "Condiția necesară și suficientă pentru ca Ω să fie diferențiala totală a unei funcții F(x) definită în U este ca, pentru
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este cum putem recunoaște, inspectând coeficienții "a", dacă forma Ω reprezintă o diferențială totală. Răspunsul este bine cunoscut:dacă Ω este definită într-o vecinătate (stelată) U a unui punct x, atunci: "Condiția necesară și suficientă pentru ca Ω să fie diferențiala totală a unei funcții F(x) definită în U este ca, pentru orice pereche de indici i,j și pentru orice x ε U":formula 6" Necesitatea" rezultă din faptul că, dacă există o funcție F astfel incât "∂F/∂x=a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a(x),a(x),a(x)) derivă dintr-un potențial dacă și numai dacă rotorul său se anulează". Rotorul este câmpul de vectori (r,r,r) asociat lui (a,a,a) prin:formula 12 Proprietatea unei 1-forme de a fi o diferențială totală nu depinde de sistemul de coordonate ales; criteriul (1.6)este și el invariant: la o schimbare arbitrară de coordonate x= x(x',x'...x' nesingulară 1-forma Ω devine:formula 13Dacă notăm formula 14 se verifică ușor că:formula 15 ceea ce arată
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
că egalitatea (1.6) (D=0) e satisfăcută în orice sistem de coordonate, dacă e îndeplinită într-unul oarecare. Ecuația Ω=0 definește în fiecare punct x=(x,x...x) un plan în „coordonatele” dx...dx . Dacă Ω este o diferențială totală a unei funcții F(x), acest plan coincide cu planul tangent la suprafața F = constant. Putem zice că planele definite de Ω=0 "infășoară" suprafața F=const. Ecuația Ω=0 poate fi privită și ca o ecuatie diferențială pentru
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
exemplu x: Lăsând punctul descris de celelalte n-1 coordonate să descrie in R o curbă C: x(t)...x(t), ecuația Ω=0 devine o ecuație pentru variația cu parametrul t a coordonatei x(t). Dacă Ω este o diferențială totală atunci, independent de modul în care am ales curba C, punctul (x(t)...x(t),x(t))descrie o curbă C aflată în întregime pe suprafața "F=const" (vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale:formula 16 deci
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
t)...x(t),x(t))descrie o curbă C aflată în întregime pe suprafața "F=const" (vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale:formula 16 deci "F=const". Aceste proprietăți pot rămâne adevărate si atunci cand Ω nu este o diferențială totală: pentru ca Ω=0 și dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dx cu un factor depinzând de punctul x = x...,x): formula 17. Forma Ω o scriem atunci:formula 18 Spunem despre o formă Ω care satisface
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
vezi Fig.1), unde constanta depinde de condițiile inițiale:formula 16 deci "F=const". Aceste proprietăți pot rămâne adevărate si atunci cand Ω nu este o diferențială totală: pentru ca Ω=0 și dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dx cu un factor depinzând de punctul x = x...,x): formula 17. Forma Ω o scriem atunci:formula 18 Spunem despre o formă Ω care satisface astfel de relații că este integrabilă. Factorul μ(x) se numește factor integrant(d). Factorul integrant
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
unic definit: el poate fi înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci:formula 19 În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala formei Ω este dependentă de drumul de integrare. Totuși, așa cum se întâmplă pentru diferențialele totale, toate soluțiile ecuației diferențiale reprezentate de ecuația Ω=0 se găsesc pe aceeași suprafață F(x)=constant. De asemenea, (hiper)planele Ω=0 „infășoară” această suprafață (coincid în fiecare punct cu planul tangent la ea). Pentru o 1-formă arbitrara
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci o astfel
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y):formula 25 Când înlocuim în membrul drept pe y cu y(x,y), soluția ecuației diferențiale, obținem o identitate: spunem că y(x,y) este o integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x'=x) "integrează" 1-forma Ω : soluțiile lui Ω=0 sunt y
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
z) și b(x,y,z) cu a(x,y,z)/c(x,y,z) și b(x,y,z)/c(x,y,z):formula 36 Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
o constantă:formula 40Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1. Considerăm formula 42 pentru x,y,z împrejurul lui (x,y,z)=(1,1,1). Condiția (2.13) este satisfăcută, dar Ω nu e o diferențială totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe Ω) , rezolvăm întâi Ω=0 punând x=const (dx=0); obținem soluția z(x,y,z)=z/y² (z=z când y=1). În noile variabile x,y,z:formula 43 Soluția
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
fiecare x dimensiunea n(n-1)/2; o bază formează produsele dxΛ dx definite pe doi vectori ξ,ξ din R prin formula 51 este aria proiecției paralelogramului subîntins de ξ, ξ pe subspațiul subîntins de e, e. Se verifică:formula 52 Diferențiala exterioară a unei "1-forme" este o "2-formă", definită prin formula 53unde "da" este "1-forma" dată de "diferențiala totală" a lui "a". Un calcul simplu arată că formula 54 Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
vectori ξ,ξ din R prin formula 51 este aria proiecției paralelogramului subîntins de ξ, ξ pe subspațiul subîntins de e, e. Se verifică:formula 52 Diferențiala exterioară a unei "1-forme" este o "2-formă", definită prin formula 53unde "da" este "1-forma" dată de "diferențiala totală" a lui "a". Un calcul simplu arată că formula 54 Analog, produsul exterior al unei 2-forme cu o 1-formă este o 3-formă, care este o conbinație liniară, cu coeficienți care depind de (x,x...x) a 3-formelor elementare dx Λ
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n oarecare. Presupunem că cele două forme sunt independente, adică există un determinant de ordinul doi format din coeficienții a,a care nu se anulează. Putem atunci „rezolva“ sistemul față de două diferențiale, pe care le numim dz,dz astfel incât el ia forma:formula 62formula 63 Căutăm o soluție a acestui sistem z(x,y,z,z), z(x,y,z,z), unde z,z sunt valorile luate de z,z într-un punct
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
că, dacă a(x)≡0, q=1,2, atunci ∂a/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure forme (vezi "remarca" din §2.3), dacă un sistem de 1-forme este integrabil și coeficienții uneia din diferențiale se anulează identic, atunci variabila corespunzătoare dispare complet din toți coeficienții formelor sistemului . Aceasta este adevărat pentru orice p. Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în cazul unei singure 1-forme: fixăm
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pentru orice p. Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în cazul unei singure 1-forme: fixăm intâi pe x (dx=0) și obținem soluții z=z(x,y,ζ,ζ) ale ecuațiilor diferențiale corespunzătoare cu variabila independentă y: aici ζ, ζ sunt valorile luate de z într-un punct "inițial" y.Schimbând variabilele la x,y,ζ,ζ coeficienții lui dy dispar complet, și, după ce sistemul a fost rezolvat față de diferențialele dζ,dζ
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ale ecuațiilor diferențiale corespunzătoare cu variabila independentă y: aici ζ, ζ sunt valorile luate de z într-un punct "inițial" y.Schimbând variabilele la x,y,ζ,ζ coeficienții lui dy dispar complet, și, după ce sistemul a fost rezolvat față de diferențialele dζ,dζ, dependența de y dispare și ea. Dar acum avem de a face cu un sistem de 2 forme cu trei variabile independente, care este totdeauna integrabil. Procedura e ușor de generalizat pentru orice p, cu mai mulți pași
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a suprafețelor integrale e cea descrisă în text. Chiar dacă Ω nu este integrabilă, numărul ei de termeni poate totuși, la schimbări de coordonate judicioase, să scadă: de exemplu, astfel incât Ω să poata fi prezentată ca o sumă de două diferențiale totale, cu coeficienți depinzând de x. ""Problema lui Pfaff”" constă în determinarea, pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
coordonate judicioase, să scadă: de exemplu, astfel incât Ω să poata fi prezentată ca o sumă de două diferențiale totale, cu coeficienți depinzând de x. ""Problema lui Pfaff”" constă în determinarea, pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate care duc la această prezentare. Evident, stabilirea condițiilor de integrabilitate a formelor diferențiale este inclusă în această chestiune. Problema a fost lamurită
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]