10,553 matches
-
că un sistem mecanic evoluează într-o manieră deterministă și îi putem determina pozițiile ulterioare dacă se cunoaște poziția și viteza inițală a lui într-un punct oarecare. Pentru a considera și viteza este necesar să adăugăm la cele n coordonate alte noi variabile formula 5, care reprezintă impulsurile pe direcțiile coordonatelor. Ansamblul valorilor formula 6 pe care le pot lua diferiți parametrii se numește "spațiul fazelor". Ca un exemplu al mișcărilor în spațiul fazelor este vizualizată mișcare unui pendul simplu în acest
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
îi putem determina pozițiile ulterioare dacă se cunoaște poziția și viteza inițală a lui într-un punct oarecare. Pentru a considera și viteza este necesar să adăugăm la cele n coordonate alte noi variabile formula 5, care reprezintă impulsurile pe direcțiile coordonatelor. Ansamblul valorilor formula 6 pe care le pot lua diferiți parametrii se numește "spațiul fazelor". Ca un exemplu al mișcărilor în spațiul fazelor este vizualizată mișcare unui pendul simplu în acest spațiu. În cele expuse mai sus s-a presupus că
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
spațiului fazelor definit de condițiile inițiale. Când avem cantități care se conservă, precum gradele de libertate, spunem că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de cele integrabile, acesta fiind obiectul teoriei perturbațiilor, care face referire
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
planetare din mecanica cerească, sau cele din mecanica cuantică. Ecuațiile lui Hamilton sunt scrise la modul general sub forma: În aceste ecuații punctul denotă derivata în raport cu timpul a funcțiilor "p = p(t)", numit impuls generalizat, și "q = q(t)", numită coordonată generalizată, iar "formula 3 = formula 4" este hamiltonianul. Mai explicit, putem scrie: dar trebuie să specificăm domeniul în care variază timpul "t". Dacă aplicăm ecuațiile lui Hamilton asupra unui sistem unidimensional format dintr-o particulă de masă "m", cu condiții la limită
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
iar "V" este funcție numai de "x" (sau "q"). În ecuațiile de mai sus, derivata în funcție de timp a impulsului "p" egalează "forța Newtoniană", deci, din prima ecuație rezultă că forța particulei egalează rata cu care pierde energie potențială prin schimbarea coordonatei "x", adică, forța egalează gradientul negativ al potențialului energetic. Derivata în timp a lui "q" înseamnă viteză, deci: A doua ecuație a lui Hamilton înseamnă că viteza particulei egalează derivata energiei cinetice prin schimbarea impulsului. Prin derivare în funcție de "p" a
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
din ambele parți ale egalului, obținem de fapt "ecuațiile canonice" ale lui Hamilton: Aceste ecuații au avantajul că formula 19 și formula 20 apar ca funcții explicite de formula 21 și formula 22. Începând cu mecanica lui Lagrange, ecuațiile de mișcare se bazează pe coordonatele generalizate: și similar vitezele generalizate: Deci, putem scrie Lagrangianul sub forma: unde indicii "j" variază de la "1" la "N". Mecanica hamiltoniană are drept scop înlocuirea vitezelor generalizate cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
mișcare se bazează pe coordonatele generalizate: și similar vitezele generalizate: Deci, putem scrie Lagrangianul sub forma: unde indicii "j" variază de la "1" la "N". Mecanica hamiltoniană are drept scop înlocuirea vitezelor generalizate cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
vitezele generalizate: Deci, putem scrie Lagrangianul sub forma: unde indicii "j" variază de la "1" la "N". Mecanica hamiltoniană are drept scop înlocuirea vitezelor generalizate cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
Lagrangianul sub forma: unde indicii "j" variază de la "1" la "N". Mecanica hamiltoniană are drept scop înlocuirea vitezelor generalizate cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
1" la "N". Mecanica hamiltoniană are drept scop înlocuirea vitezelor generalizate cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
cu impulsurile generalizate, cunoscute și sub numele de "coordonate canonice". Fiecărei viteze generalizate îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
îi corespunde o "coordonată canonică", definită prin: În coordonate Carteziene, impulsul generalizat corespunde exact impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
impulsului. În coordonate polare, impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În cazul în care ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate sunt independente de "t
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
impulsul generalizat corespunde momentului unghiular, iar prin alegerea unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În cazul în care ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate sunt independente de "t", iar Lagrangianul este o
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
unei coordonate generalizate oarecare, este posibil să nu obținem o interpretare intuitivă fizică a coordonatei canonice. Un lucru care nu este prea evident în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În cazul în care ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate sunt independente de "t", iar Lagrangianul este o sumă de produse de funcții (în coordonate generalizate
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
în acestă formulare dependentă de coordonată, faptul că, diferite coordonate generalizate nu sunt altceva decât sisteme de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În cazul în care ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate sunt independente de "t", iar Lagrangianul este o sumă de produse de funcții (în coordonate generalizate), care sunt omogene de ordinul 0, 1 sau 2, atunci se poate demonstra că "H" este egală cu energia totală "E"="T"+"V
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
de coordonate diferite ale aceluiași spațiu vectorial. "Hamiltonianul" este de fapt transformarea Legendre a Lagrangianului: În cazul în care ecuațiile de transformare care definesc coordonatele generalizate sunt independente de "t", iar Lagrangianul este o sumă de produse de funcții (în coordonate generalizate), care sunt omogene de ordinul 0, 1 sau 2, atunci se poate demonstra că "H" este egală cu energia totală "E"="T"+"V". Diferențiind pe "formula 3", obținem: Substiuind coordonata generalizată definită anterior în acestă ecuație, obținem ecuațiile de mișcare
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
iar Lagrangianul este o sumă de produse de funcții (în coordonate generalizate), care sunt omogene de ordinul 0, 1 sau 2, atunci se poate demonstra că "H" este egală cu energia totală "E"="T"+"V". Diferențiind pe "formula 3", obținem: Substiuind coordonata generalizată definită anterior în acestă ecuație, obținem ecuațiile de mișcare ale lui Hamilton, numite ecuațiile canonice ale lui Hamilton: Ecuațiile lui Hamilton sunt ecuații diferențiale de ordinul întâi, ele fiind mai ușor de rezolvat decât ecuațiile lui Lagrange, care sunt
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
ecuații diferențiale de ordinul întâi, ele fiind mai ușor de rezolvat decât ecuațiile lui Lagrange, care sunt de ordinul doi. Cu toate acestea, pași care conduc la ecuațiile de mișcare sunt mai costisitori decât în mecanica lui Lagrange - începând cu coordonatele generalizate și Lagrangianul, trebuie să calculăm hamiltonianul exprimând fiecare viteză generalizată în termenii coordonatelor generalizate, pe care o vom înlocui în hamiltonian. În final, vom obține aceeași soluție ca în mecanica lui Lagrange sau folosind legile de mișcare Newtoniene. Principala
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
Lagrange, care sunt de ordinul doi. Cu toate acestea, pași care conduc la ecuațiile de mișcare sunt mai costisitori decât în mecanica lui Lagrange - începând cu coordonatele generalizate și Lagrangianul, trebuie să calculăm hamiltonianul exprimând fiecare viteză generalizată în termenii coordonatelor generalizate, pe care o vom înlocui în hamiltonian. În final, vom obține aceeași soluție ca în mecanica lui Lagrange sau folosind legile de mișcare Newtoniene. Principala atracție a hamiltonianului fiind aceea că, oferă o bază pentru rezultate mai profunde în
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
adică, { "G", "G" } = 0), atunci Hamiltonianul este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
0), atunci Hamiltonianul este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile deviații față de sistemele
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
se bazează în totalitate pe energia cinetică. Dacă se consideră o mulțime Riemanniană sau o pseudo-mulțime Riemanniană, metrica Riemanniană induce un izomorfism liniar între fibrajul tangent și cel cotangent (vezi Izomorfism canonic). Folosind acest izomorfism, putem defini o cometrică. În coordonate, matricea care definește o cometrică este inversa unei matrici care definește o metrică. Soluțiile ecuațiilor Hamilton-Jacobi pentru acest Hamiltonian sunt aceleași ca ale geodezicelor unui mulțimi. În particular, fluxul Hamiltonian în acest caz este același ca al fluxului geodezic. Pentru
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
element "A" al algebrei, " A"² este un număr real nenegativ. O generalizare a celor expuse mai sus este dată de dinamica Nambu. O bună ilustrare a mecanicii Hamiltoniene este dată de Hamiltonianul unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic. În coordonate carteziene, adică formula 41, Lagrangianul nerelativist clasic al particulei în câmpul electromagnetic este: unde e este sarcina electrică a particulei (nu neapărat sarcina electronului), formula 43 este potențialul electric scalar, iar formula 44 sunt componentele potențialului magnetic vectorial. Impulsul generalizat poate fi derivat
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]