10,553 matches
-
forțelor exterioare asupra corpului, iar formula 64 timpul inițial și final. Dacă sistemul este conservativ, lucrul mecanic al forțelor exterioare poate deriva dintr-un potențial scalar formula 65. În acest caz: Acesta este Principiul lui Hamiton și este invariant la transformări de coordonate.
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
întâi pentru o funcție formula 1, numită funcția principală a lui Hamilton: Această ecuație derivă din mecanica Hamiltoniană prin tratarea funcției formula 3 ca funcție generatoare pentru o tranformare canonică a Hamiltonianului formula 4. Impulsul generalizat corespunzător primei derivate a funcției formula 3, în funcție de coordonatele generalizate este: Schimarea în acțiune de la o traiectorie la alta apropiată este dată de ecuația: Deoarece traiectoria mișcării actuale satisface ecuația Euler-Lagrange, variația formula 8 este zero. În primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
satisface ecuația Euler-Lagrange, variația formula 8 este zero. În primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin formula 11. Înlocuind formula 12 prin formula 13, obținem în final: Pornind de la această relație urmează că, derivatele parțiale ale acțiunii în funcție de coordonate sunt egale cu impulsurile generalizate corespunzătoare. Similar, coordonatele generalizate pot fi obținute prin derivarea acțiunii formula 3, în funcție de impulsurile generalizate. Prin inversarea acestor ecuatii, se poate determina evoluția unui sistem mecanic, adică, putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
primul termen al ecuației punem formula 9, iar valoarea formula 10 o notăm simplu prin formula 11. Înlocuind formula 12 prin formula 13, obținem în final: Pornind de la această relație urmează că, derivatele parțiale ale acțiunii în funcție de coordonate sunt egale cu impulsurile generalizate corespunzătoare. Similar, coordonatele generalizate pot fi obținute prin derivarea acțiunii formula 3, în funcție de impulsurile generalizate. Prin inversarea acestor ecuatii, se poate determina evoluția unui sistem mecanic, adică, putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile și vitezele inițiale apar drept constante de integrare
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
că, derivatele parțiale ale acțiunii în funcție de coordonate sunt egale cu impulsurile generalizate corespunzătoare. Similar, coordonatele generalizate pot fi obținute prin derivarea acțiunii formula 3, în funcție de impulsurile generalizate. Prin inversarea acestor ecuatii, se poate determina evoluția unui sistem mecanic, adică, putem determina coordonatele generalizate ca funcții de timp. Pozițiile și vitezele inițiale apar drept constante de integrare ale soluției formula 3, corespunzând mărimilor care se conservă în timpul evoluției sistemului mecanic, precum energia, momentul unghiular, sau vectorul Laplace-Runge-Lenz. Ecuația Hamilton-Jacobi este o ecuație cu derivate
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
apar drept constante de integrare ale soluției formula 3, corespunzând mărimilor care se conservă în timpul evoluției sistemului mecanic, precum energia, momentul unghiular, sau vectorul Laplace-Runge-Lenz. Ecuația Hamilton-Jacobi este o ecuație cu derivate parțiale de ordinul întâi a acțiunii formula 3 în funcție de formula 18 coordonate generalizate formula 19 și timpul "t". Impulsurile generalizate nu apar în formula 3, ci numai în derivatele lui formula 3. Remarcabil este faptul că, funcția formula 3 este egală cu acțiunea clasică. Pentru comparație, în ecuația de mișcare echivalentă Euler-Lagrange din mecanica Lagrangiană, de
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
că, funcția formula 3 este egală cu acțiunea clasică. Pentru comparație, în ecuația de mișcare echivalentă Euler-Lagrange din mecanica Lagrangiană, de asemenea nu apar impulsurile generalizate, cu toate acestea, formează un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23 și timp. Deoarece ecuația Hamilton-Jacobi este o
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
un sistem de N ecuații cu derivate de ordinul doi în funcție de coordonatele generalizate și timp. O altă comparație este aceea cu ecuația de mișcare a lui Hamilton, care este de fapt un sistem de 2N ecuații de ordinul întâi în funcție de coordonatele generalizate, impulsurile generalizate formula 23 și timp. Deoarece ecuația Hamilton-Jacobi este o expresie echivalentă a problemelor de miminizare a integralelor, precum principiul lui Hamilton, ea poate fi folositoare și în alte probleme de calcul variațional, sau mai general, în alte ramuri
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
simplectică sau haosului cuantic. De exemplu, ecuația Hamilton-Jacobi este folositoare la determinarea geodezicelor pe o mulțime Riemanniană, care este o problemă importantă variațională din geometria Riemanniană. Pentru a fi conciși, folosim variabile îngroșate, precum formula 24, pentru a reprezenta cele formula 25 coordonate generalizate: care nu se transformă neapărat printr-o rotație ca un vector. Produsul scalar este definit aici drept suma produselor componentelor corespunzătoare, adică: Orice transformare canonică implică o funcție generatoare formula 28, care conduce la relațiile: Pentru a deriva ecuația Hamilton-Jacobi
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
funcție generatoare formula 28, care conduce la relațiile: Pentru a deriva ecuația Hamilton-Jacobi, alegem o funcție generatoare formula 30 care face noul Hamiltonian formula 31 egal cu zero. Astfel că, toate derivatele sale sunt de asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
asemenea zero, iar Hamiltonianul devine trivial: adică, noile coordonate și impulsuri generalizate sunt constante. Noul impuls generalizat formula 33 este notat prin formula 34, adică, formula 35. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi rezultă din ecuația transformată formula 31: care este echivalentă cu ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
ecuația: deoarece formula 39. Noile coordonate generalizate formula 40 sunt de asemenea constante, notate cu formula 41. Odată ce le-am rezolvat pentru formula 42, se obțin ecuațiile: sau, pentru claritate, scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca funcții de constantele formula 48 și formula 49, astfel putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate fi rezolvată via variabilelor separabile aditive, care identifică direct constantele de mișcare. De exemplu, timpul t poate fi
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
notată cu formula 51, dând soluția: în care, funcția independentă de timp formula 53 este numită uneori și funcția caracteristică a lui Hamilton. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi redusă poate fi scrisă astfel: Pentru a ilustra separabilitatea și pentru alte variabile presupunem că, oricare coordonată generalizată formula 55 și derivata ei formula 56 apar împreună în Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz, funcția formula 3 poate fi despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
și derivata ei formula 56 apar împreună în Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz, funcția formula 3 poate fi despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55 și alta care depinde numai de coordonatele generalizate rămase: Substituția acestor formule în ecuația Hamiton-Jacobi arată că funcția formula 62 trebuie să fie o constantă, aici notată cu formula 63, obținând o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi pentru formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
formula 64: În anumite cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel de cazuri, problema se rezolvă prin formula 25 ecuații diferențiale ordinare. Separabilitatea funcției formula 3 depinde de Hamiltonian și de modul în care sunt alese coordonatele generalizate. Pentru coordonate ortogonale și Hamiltonian care nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este separabilă aditiv pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
cazuri, funcția formula 3 poate fi separată complet în formula 25 funcții formula 68, obținând: În astfel de cazuri, problema se rezolvă prin formula 25 ecuații diferențiale ordinare. Separabilitatea funcției formula 3 depinde de Hamiltonian și de modul în care sunt alese coordonatele generalizate. Pentru coordonate ortogonale și Hamiltonian care nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este separabilă aditiv pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
depinde de Hamiltonian și de modul în care sunt alese coordonatele generalizate. Pentru coordonate ortogonale și Hamiltonian care nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este separabilă aditiv pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-un factor dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
alese coordonatele generalizate. Pentru coordonate ortogonale și Hamiltonian care nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este separabilă aditiv pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-un factor dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul în coordonate sferice poate fi scrie sub forma: Ecuația
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
nu depinde de timp și este pătratic pentru impulsurile generalizate, formula 3 este complet separabilă dacă energia potențială este separabilă aditiv pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-un factor dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul în coordonate sferice poate fi scrie sub forma: Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
pentru fiecare coordonată, caz în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-un factor dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul în coordonate sferice poate fi scrie sub forma: Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are forma analoagă cu: în care formula 76, formula 77 și formula 78 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separată formula 79
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
în care, termenul energiei potențiale pentru fiecare coordonată este multiplicat corespunzător printr-un factor dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul în coordonate sferice poate fi scrie sub forma: Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are forma analoagă cu: în care formula 76, formula 77 și formula 78 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separată formula 79 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
dependent de coordonate în termenul impulsului Hamiltonianului (condiția Staeckel). Pentru a ilustra acest lucru, în secțiunea următoare sunt date câteva exemple în coordonate ortogonale. Hamiltonianul în coordonate sferice poate fi scrie sub forma: Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are forma analoagă cu: în care formula 76, formula 77 și formula 78 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separată formula 79 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Acestă ecuație poate fi rezolvată prin integrări succesive de ecuații diferențiale ordinare, începând cu
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Acestă ecuație poate fi rezolvată prin integrări succesive de ecuații diferențiale ordinare, începând cu ecuația formula 81: unde formula 83 este o constantă de mișcare care elimină dependența de formula 81 din ecuația Hamilton-Jacobi: Următoarea ecuație diferențială ordinară implică coordonata generalizată formula 86: în care formula 88 este o altă constantă de mișcare care elimină dependența de formula 86 și reduce ecuația Hamilton-Jacobi la ecuația finală diferențială: a cărei integrare completează soluția pentru formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice eliptice poate fi scris astfel
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
Hamilton-Jacobi: Următoarea ecuație diferențială ordinară implică coordonata generalizată formula 86: în care formula 88 este o altă constantă de mișcare care elimină dependența de formula 86 și reduce ecuația Hamilton-Jacobi la ecuația finală diferențială: a cărei integrare completează soluția pentru formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice eliptice poate fi scris astfel: unde focarul elipsei este localizat în formula 93, pe axa formula 94. Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are o forma analoagă cu: în care formula 97, formula 98 și formula 99 sunt
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
reduce ecuația Hamilton-Jacobi la ecuația finală diferențială: a cărei integrare completează soluția pentru formula 3. Hamiltonianul în coordonate cilindrice eliptice poate fi scris astfel: unde focarul elipsei este localizat în formula 93, pe axa formula 94. Ecuația Hamilton-Jacobi este complet separabilă în aceste coordonate, demonstrându-se că formula 74 are o forma analoagă cu: în care formula 97, formula 98 și formula 99 sunt funcții arbitrare. Substituind soluția complet separabilă formula 100 în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem: Separând prima ecuație diferențială ordinară (funcție numai de z): obținem ecuația Hamilton-Jacobi redusă
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]