2,111 matches
-
kantiene asupra matematicii. Pentru a ilustra statutul special al matematicii în raport cu alte discipline (în special cu filosofia), Kant pleacă de la practica matematică a vremurilor sale. Unul dintre exemplele de care se folosește el este cel al demonstrației geometrice (euclidiene) a teoremei că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte (i.e. este egală cu 180o). Să ne oprim un pic asupra acestei demonstrații pentru a vedea cum procedează matematicianul pentru a ajunge la teorema de mai sus. După Kant
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
al demonstrației geometrice (euclidiene) a teoremei că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte (i.e. este egală cu 180o). Să ne oprim un pic asupra acestei demonstrații pentru a vedea cum procedează matematicianul pentru a ajunge la teorema de mai sus. După Kant, există doar două căi pe care le poate urma cineva pentru a ajunge la cunoaștere: printr-o analiză conceptuală prin care recunoașterea legăturii dintre subiect și predicat se face doar dezvăluind structura conceptelor noastre sau
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
rând pentru a vedea care dintre acestea poate fi considerată drept sursa cunoașterii matematice și pentru a vedea prin ce se caracterizează fiecare. 1.1.1. Sinteticitatea judecăților matematice Putem ajunge prin intermediul unei analize conceptuale a conceptului unui triunghi la teorema noastră? Cum cel mai în măsură să întreprindă o astfel de analiză ar fi filosoful, putem reformula întrebarea astfel: dacă i se dă unui filosof conceptul unui triunghi și i se cere "să găsească în felul lui raportul dintre suma
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fi filosoful, putem reformula întrebarea astfel: dacă i se dă unui filosof conceptul unui triunghi și i se cere "să găsească în felul lui raportul dintre suma unghiurilor lui și un unghi drept" (CRP, p. 524) poate ajunge el la teorema de mai sus? Răspunsul este negativ. După Kant, "în zadar aș filosofa, adică aș reflecta discursiv asupra triunghiului, fără a ajunge prin aceasta câtuși de puțin mai departe decât la simpla definiție, de la care însă ar trebui tocmai să încep
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ne trebuie nouă pentru a demonstra că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180o. Aceasta nu este, însă, singura cale pe care o poate urma filosoful. Ne putem gândi că acesta are totuși o șansă de a ajunge la teorema noastră, imediat ce realizăm că la baza geometriei euclidiene stau anumite axiome din care sunt derivate toate teoremele cu ajutorul logicii, i.e. că inferența matematică este analitică. Putem spune, astfel, că în argumentul de mai sus ne-am folosit de un truc
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este, însă, singura cale pe care o poate urma filosoful. Ne putem gândi că acesta are totuși o șansă de a ajunge la teorema noastră, imediat ce realizăm că la baza geometriei euclidiene stau anumite axiome din care sunt derivate toate teoremele cu ajutorul logicii, i.e. că inferența matematică este analitică. Putem spune, astfel, că în argumentul de mai sus ne-am folosit de un truc pentru a arăta că filosoful nu poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
derivate toate teoremele cu ajutorul logicii, i.e. că inferența matematică este analitică. Putem spune, astfel, că în argumentul de mai sus ne-am folosit de un truc pentru a arăta că filosoful nu poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și anume prin aceea că i-am dat un punct de plecare greșit: conceptul de triunghi. De fapt, pentru a ajunge la această teoremă, trebuie să plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
truc pentru a arăta că filosoful nu poate ajunge cu ajutorul întrebuințării discursive a rațiunii la teorema noastră, și anume prin aceea că i-am dat un punct de plecare greșit: conceptul de triunghi. De fapt, pentru a ajunge la această teoremă, trebuie să plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
plecăm de la axiomele geometriei euclidiene folosindu-ne doar de ce ne pune la dispoziție o întrebuințare a rațiunii din concepte. Din câte se pare, am reușit să găsim un răspuns parțial afirmativ la întrebarea de la care am plecat: putem ajunge la teorema noastră printr-o analiză conceptuală, dar nu a conceptului de triunghi, ci a axiomelor geometriei. Cineva ne poate opri în acest punct pentru a ne atrage atenția că îi atribuim lui Kant o viziune pe care cu siguranță nu a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
-o. Noutatea filosofiei sale a matematicii constă tocmai în aceea că se îndepărtează de predecesorii săi, respingând ideea că judecățile matematice sunt analitice. Desigur, în această obiecție s-ar pleca de la impresia greșită că din răspunsul nostru ar reieși că teorema matematică avută în vedere ar fi analitică. Ce reiese nu este nicidecum asta, ci doar că inferențele matematice (sau raționamentele matematicienilor) sunt analitice, iar asta pare a fi în complet acord cu ceea ce spune Kant la începutul secțiunii a V-
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
vorba doar despre forma liniei dintre două puncte și nu despre mărimea acesteia. Deci, pentru a lega predicatul de subiectul acestei judecăți, trebuie să se recurgă la o intuiție care să mijlocească sinteza. Dacă axiomele nu sunt analitice, atunci nici teoremele nu sunt astfel chiar dacă se ajunge la ele cu ajutorul logicii, deoarece "o judecată sintetică poate fi cunoscută fără îndoială potrivit principiului contradicției, dar numai cu condiția de a se presupune o altă judecată sintetică din care să poată fi dedusă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
puțin prin concepte, ci întotdeauna prin construirea conceptelor" (Prolegomene, p. 67). Acestea fiind spuse, să revenim la problema de la care am plecat. Ce a stârnit toată această discuție a fost încercarea noastră de a afla dacă putem ajunge la o teoremă matematică doar cu ajutorul analizei conceptuale. Am văzut că, în principiu, am avea două căi la dispoziție, în funcție de alegerea punctului de plecare: plecând de la conceptul unui triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
triunghi sau plecând de la axiomele geometriei. Dacă plecăm de la conceptul unui triunghi, nu putem ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă matematică folosindu-ne doar de analiza conceptuală, dacă plecăm de la un set de axiome. Pentru asta trebuie, desigur, să luăm inferența matematică drept analitică. Există exegeți care oferă chiar o astfel de interpretare, pentru a cărei susținere se folosesc, după cum
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
aici rezultă un unghi extern adiacent, care este egal cu un unghi intern etc. El ajunge în felul acesta printr-un lanț de raționamente călăuzit permanent de intuiție la rezolvarea absolut clară și totodată generală a problemei." (CRP, pp. 524-525) Teorema avută în vedere aici nu este în nici un caz derivată analitic din axiome, ci se ajunge la ea cu ajutorul construcției în intuiția pură. În acest punct, cred că putem spune liniștiți că analiza conceptuală nu poate fi considerată ca sursă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
celor spuse până acum. Asta deoarece aici nu mai avem de-a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată de genul "cantități egale adăugate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este să ne uităm mai îndeaproape ce are Kant în vedere atunci când spune că cunoașterea matematică este o cunoaștere din construirea conceptelor. După el, esențial pentru demonstrația matematică este abilitatea matematicianului de a produce figuri construindu-le. Astfel, în cazul teoremei despre raportul dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, demonstrația este ghidată de construcții pe un triunghi dat. Pentru a ajunge la această demonstrație, geometrul trebuie să înceapă "prin a construi un triunghi". După asta, el continuă prelungind
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și ABC = DCE. Dacă ținem cont că BCA + ACD + DCE = 180o pentru că sunt pe aceeași linie dreaptă, atunci avem BAC + ABC + BCA = 180o = două unghiuri drepte Q.E.D.7 Cât de importantă este această figură (trasată mai sus) pentru demonstrația teoremei? Am văzut ceva mai sus că nu pot să ajung la această teoremă cu ajutorul analizei conceptuale care nu mă duce mai departe decât de o simpla definiție, ci trebuie să judec sintetic. "Dar acest lucru nu este posibil altfel decât
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
pe aceeași linie dreaptă, atunci avem BAC + ABC + BCA = 180o = două unghiuri drepte Q.E.D.7 Cât de importantă este această figură (trasată mai sus) pentru demonstrația teoremei? Am văzut ceva mai sus că nu pot să ajung la această teoremă cu ajutorul analizei conceptuale care nu mă duce mai departe decât de o simpla definiție, ci trebuie să judec sintetic. "Dar acest lucru nu este posibil altfel decât dacă îmi determin obiectul meu fie după condițiile intuiției empirice, fie după cele
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de la vreo figură sau imagini a vreunei figuri. Când avem în vedere construcția matematică, plecăm de la schemele conceptelor, deoarece "la baza conceptelor noastre sensibile pure nu stau imagini ale obiectelor, ci scheme" (CRP, p. 171). De exemplu, în cazul demonstrației teoremei discutate mai sus, eu trec dincolo de conceptul de triunghi spre proprietăți care nu se află în el și fac acest lucru cu ajutorul construcției matematice/geometrice adăugând "într-o intuiție pură, la fel ca și în cea empirică, diversul care aparține
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
importanța acestui fapt. Cum era și normal, Saccheri a eșuat în încercarea sa de a deriva o contradicție. Din asumpția că cel de-al cincilea postulat al lui Euclid este fals, el a derivat, în loc de o contradicție, o mulțime de teoreme ciudate, cu greu credibile, dar interesante. Totuși, oricât de ciudate au părut a fi aceste rezultate, nici una dintre ele nu a fost într-adevăr o contradicție." (Penrose 2005: 43). De altfel, nici nu ar fi putut să fie, după cum știm
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
produs reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem lua drept exemplu demonstrația oricărei teoreme în care se presupune că între două linii sau între două figuri care se întâlnesc avem un punct 32. Sistemul lui Euclid lasă deschisă posibilitatea ca două astfel de figuri sau
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem lua drept exemplu demonstrația oricărei teoreme în care se presupune că între două linii sau între două figuri care se întâlnesc avem un punct 32. Sistemul lui Euclid lasă deschisă posibilitatea ca două astfel de figuri sau linii să nu se intersecteze de fapt și astfel
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
punct 32. Sistemul lui Euclid lasă deschisă posibilitatea ca două astfel de figuri sau linii să nu se intersecteze de fapt și astfel punctul care ar trebui să apară la intersecția dintre ele și de care avem nevoie în demonstrațiile teoremelor noastre, să fie inexistent. Astfel, când se demonstrează acest tip de teoreme în sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
figuri sau linii să nu se intersecteze de fapt și astfel punctul care ar trebui să apară la intersecția dintre ele și de care avem nevoie în demonstrațiile teoremelor noastre, să fie inexistent. Astfel, când se demonstrează acest tip de teoreme în sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]