2,111 matches
-
nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene asupra matematicii reieșea clar că un loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei imixtiuni a intuiției
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei imixtiuni a intuiției din demonstrația teoremelor. În acest context, "orice apel, explicit sau implicit, la o impresie de evidență, sau la caracteristicile figurilor geometrice, sau la experiențele noastre privitoare la comportamentul corpurilor rigide în spațiul fizic, sau la lucruri similare, este strict interzis" (Hempel 1945a: 7
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acest context, "orice apel, explicit sau implicit, la o impresie de evidență, sau la caracteristicile figurilor geometrice, sau la experiențele noastre privitoare la comportamentul corpurilor rigide în spațiul fizic, sau la lucruri similare, este strict interzis" (Hempel 1945a: 7). La teoremele geometrice se ajunge pe o cale pur logică. Cineva ar putea încerca să salveze viziunea kantiană, în acest punct, argumentând că tot ce contează sunt axiomele, această viziune fiind compatibilă cu ideea că inferențele matematice sunt analitice și nu sintetice
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
introdusă de Newton (și Leibniz) constă în trei lucruri: inventarea conceptelor de fluxiune și fluent 42 (fluxiunea este rata de schimbare, iar fluentul este inversul acesteia); găsirea unei notații pentru aceste concepte, care a făcut din calcul un algoritm; formularea teoremei cunoscută astăzi ca teorema fundamentală a calculului. (Grabiner 1983: 186). Nu vom intra aici mai mult în detalii privitoare la opera lui Newton. Ce ne interesează este doar faptul că, în această formă, executarea algoritmică a calculului a fost aplicată
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Leibniz) constă în trei lucruri: inventarea conceptelor de fluxiune și fluent 42 (fluxiunea este rata de schimbare, iar fluentul este inversul acesteia); găsirea unei notații pentru aceste concepte, care a făcut din calcul un algoritm; formularea teoremei cunoscută astăzi ca teorema fundamentală a calculului. (Grabiner 1983: 186). Nu vom intra aici mai mult în detalii privitoare la opera lui Newton. Ce ne interesează este doar faptul că, în această formă, executarea algoritmică a calculului a fost aplicată cu succes la o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
nefiind posibil decât într-un singur mod. 1.2.1.6. Logica poliadică Am vorbit în secțiunea 1.2.1.2. de mai sus despre faptul că postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
permite deducerea explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut acestea asupra viziunii kantiene asupra matematicii. Am văzut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o particulă, vom putea spune în legătură cu acea particulă (Er) poziția particulei este r și (Er') impulsul particulei este r'; dar nu putem trage concluzia că (Er)(Er')(poziția particulei este r, iar impulsul este r') Astfel, următoarea echivalență care este teoremă în logica clasică este respinsă: Plecând de aici, susținătorii interpretării logice a mecanicii cuantice spun despre toate relațiile logice care se stabilesc între stări fizice de lucruri că sunt o chestiune empirică și nu sunt date a priori. Se poate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
vedea din această harta trasată că avem două alternative: fie păstrăm logica clasică și acceptăm o fizica paradoxală, fie adoptăm o logica nouă și scăpăm în felul acesta de paradox. 2.3. Tymoczko și Lakatos 2.3.1 Tymoczko și teorema celor patru culori După Kripke, "oricine a lucrat cu o mașină de calcul știe că mașina poate să dea un răspuns la întrebarea dacă cutare și cutare număr este prim. Nimeni nu a calculat și nici nu a demonstrat că
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cineva care a făcut calculul corespunzător." (Kripke 2001: 37). Acceptarea acestei situații nu este de natură să-i pună prea multe probleme unui susținător al statutului special al matematicii. Ce ar fi, însă, dacă am lua în calcul cazul unei teoreme matematice care a fost demonstrată de un computer, dar a cărei demonstrație este imposibil de verificat de către un matematician? Ne-ar face apariția unui astfel de caz în cadrul matematicii și acceptarea lui de către matematicieni ca reprezentând o extindere veritabilă a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acceptarea lui de către matematicieni ca reprezentând o extindere veritabilă a cunoașterii matematicii pure, să ne revizuim poziția în legătură cu distincția dintre matematică și științele naturii? Thomas Tymoczko consideră că da, iar cazul pe care îl ia în discuție este cel al teoremei celor patru culori. Conform acestei teoreme, orice hartă de pe un plan sau o sferă poate fi colorată doar cu ajutorul a patru culori în așa fel încât să nu existe regiuni învecinate care să fie colorate cu aceeași culoare. În ciuda aparentei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o extindere veritabilă a cunoașterii matematicii pure, să ne revizuim poziția în legătură cu distincția dintre matematică și științele naturii? Thomas Tymoczko consideră că da, iar cazul pe care îl ia în discuție este cel al teoremei celor patru culori. Conform acestei teoreme, orice hartă de pe un plan sau o sferă poate fi colorată doar cu ajutorul a patru culori în așa fel încât să nu existe regiuni învecinate care să fie colorate cu aceeași culoare. În ciuda aparentei simplități a acestei probleme, ea s-
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ei. Până aici, nimic surprinzător; surpriza apare când aflăm că în unul dintre pașii esențiali pentru demonstrație, cei trei s-au folosit de un IBM 370 160A, și că fără ajutorul computerului nu s-ar fi putut ajunge la demonstrația teoremei. În mare, demonstrația este una prin inducție matematică în care se pleacă de la trei cazuri, din care primul este banal, al doilea cuprinde câteva subcazuri, iar al treilea are peste o mie de subcazuri, pentru tratarea majorității dintre acestea fiind
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
care se pleacă de la trei cazuri, din care primul este banal, al doilea cuprinde câteva subcazuri, iar al treilea are peste o mie de subcazuri, pentru tratarea majorității dintre acestea fiind nevoie de ajutorul computerului (Tymoczko 1979: 68). Acceptarea acestei teoreme de către matematicieni este problematică, după părerea lui Tymoczko, deoarece ea nu a avut parte de o demonstrație în sensul tradițional al cuvântului "nici un matematician nu a văzut o demonstrație a 4CT și nici măcar o demonstrație că aceasta ar avea o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
următoarea viziune cu privire la demonstrația matematică. El distinge între trei caracteristici ale demonstrațiilor: sunt convingătoare, sunt formalizabile și sunt verificabile. Cea mai importantă dintre acestea este ultima, deoarece de ea depinde cunoașterea matematică nu putem spune că avem cunoaștere în legătură cu o teoremă matematică până nu (producem sau) verificăm o demonstrație a ei precum și statutul special al acesteia " Dacă există o demonstrație a unui enunț matematic, atunci din moment ce o demonstrație este riguroasă, enunțul este adevărat în mod absolut" (ibidem, p. 132), dar o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Dacă există o demonstrație a unui enunț matematic, atunci din moment ce o demonstrație este riguroasă, enunțul este adevărat în mod absolut" (ibidem, p. 132), dar o demonstrație neverificabilă nu poate conta ca demonstrație. Strategia sa este să arate că în cazul teoremei celor patru culori nu avem de-a face cu o demonstrație în sensul tradițional, pentru că cea propusă de Appel, Haken și Koch nu este verificabilă. Nefiind verificabilă, acceptarea ei se face printr-un soi de apel la autoritate. Pentru a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
tradițional, pentru că cea propusă de Appel, Haken și Koch nu este verificabilă. Nefiind verificabilă, acceptarea ei se face printr-un soi de apel la autoritate. Pentru a ilustra mai bine distanțarea față de concepția obișnuită de demonstrație pe care o implică teorema celor patru culori, Tymoczko introduce parabola matematicianului marțian Simon. Acesta este un geniu matematic a cărei capacitate de a rezolva probleme matematice i-a dus un prestigiu incredibil în ochii matematicienilor marțieni. El a ajuns chiar la demonstrații pe care
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
au acceptat totuși pe baza încrederii în capacitățile extraordinare ale lui Simon (Tymoczko 1979: 71-72). Este clar că în acest caz avem o distanțare față de modul standard de a face matematică. Apelul matematicienilor la autoritatea lui Simon pentru acceptarea unor teoreme, nu este foarte diferit, în viziunea lui Tymoczko, de apelul la autoritatea computerelor. Dacă alegem să privim unul dintre apeluri ca bizar iar pe celălalt ca legitim, nu poate fi decât deoarece avem o evidență puternică pentru a avea încredere
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în ultimul și nici una pentru primul." (idem). Cum evidența de care ne folosim pentru a justifica încrederea în computere este de natură empirică (privește aspecte ale construirii computerelor) atunci matematicienii se bazează, în ultimă instanță, pe considerații empirice în acceptarea teoremei celor patru culori. De aici decurg două consecințe: cunoașterea matematică este failibilă computerele pot greși și metodele de a obține cunoaștere în matematică nu mai pot fi considerate atât de deosebite de cele din științele naturii putem înțelege verificarea computerizată
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de înțelegerea verificabilității ca fiind o caracteristică esențială a demonstrațiilor. Dacă am putea arăta că această înțelegere este greșită, atunci am putea să argumentăm că nu avem de-a face cu o distanțare de concepția tradițională de demonstrație, în cazul teoremei celor patru culori și astfel am scăpa de implicațiile supărătoare care decurg de aici. Un argument de acest tip găsim la Paul Teller. După acesta, în cazul teoremei celor patru culori, "ce avem este un nou mod de a verifica
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a face cu o distanțare de concepția tradițională de demonstrație, în cazul teoremei celor patru culori și astfel am scăpa de implicațiile supărătoare care decurg de aici. Un argument de acest tip găsim la Paul Teller. După acesta, în cazul teoremei celor patru culori, "ce avem este un nou mod de a verifica, nu o noutate cu privire la ce este verificat." (Teller 1980: 799). Teller îl acuză pe Tymoczko că a înțeles greșit relația dintre verificabilitate și demonstrație. În nici un caz nu
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este graduală capacitatea de a verifica o demonstrație diferind de la om la om (există cazuri de demonstrații pe care numai un număr foarte mic de matematicieni le poate verifica) și variind în funcție de instrumentele folosite nu avem nimic deosebit în cazul teoremei celor patru culori. Dacă înțelegem corect rolul verificabilității în raport cu demonstrațiile, ne dăm seama că utilizarea computerului pentru a demonstra o problemă matematică nu este decât o extindere a mijloacelor folosite în mod obișnuit pentru verificare și nu un nou tip
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
folosite considerații empirice, fără a trebui să apeleze la imposibilitatea verificării demonstrațiilor asistate de computer. Detlefsen și Luker identifică o astfel de cale. Ei argumentează că "folosind un raționament analog cu cel folosit de Tymoczko în analiza sa a demonstrației teoremei celor patru culori, cineva poate arăta că o mare parte din matematica tradițională matematica bazată pe demonstrații "verificabile" are un caracter empiric." (Detlefsen și Luker 1980: 804). Am spus ceva mai sus că Tymoczko distinge între trei caracteristici ale demonstrației
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
adevăr se face la baza sistemului. Problema e că adevărul curge numai de a vârf spre baza sistemului și nu invers. Astfel, în aceste teorii nu avem de-a face cu "transmiterea adevărului, ci mai degrabă cu retransmiterea falsității de la teoreme speciale aflate da baza sistemului în sus, spre setul de axiome." (ibidem, pp. 205-205). Specificul dezvoltării unei astfel de teorii constă în aceea că se pleacă de la probleme ale căror soluții sunt supuse unor teste severe, urmate de infirmări, de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
placul simțului nostru estetic atât ca operații cât și prin rezultatele lor de mare generalitate și simplitate" (ibidem 225). (3) Când matematicienii sunt puși în situația de a justifica introducerea unor concepte matematice noi ei indică în acest scop frumusețea teoremelor care au apărut în urma introducerii acelui concept. (4) Conceptele matematice își găsesc o largă și variata utilizare în fizică, unde fizicianul ajunge cu ajutorul matematicii la descrieri uimitor de precise a unor clase mari de fenomene. (5) Concluzie: "Miracolul potrivirii limbajului
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]