2,111 matches
-
loc central îl ocupă ideea centralității factorului estetic în matematică. Dar chiar este atât de important acest factor estetic în matematică? 4.3. Frumusețea matematică Pe 25 octombrie 1994, Andrew Wiles a anunțat că a găsit o demonstrație pentru marea teoremă a lui Fermat. Iată cum descrie el momentul în care a descoperit demonstrația: "Stăteam la biroul meu într-o dimineață de luni, 19 septembrie, examinând metoda Kolâvaghin-Flach. Nu mai credeam că o puteam face să funcționeze, dar credeam că voi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este mai degrabă unul extern: considerațiile estetice apar după ce s-a ajuns la un anumit rezultat în rezolvarea unei probleme și nu contribuie propriu-zis la găsirea acelui rezultat ca și în cazul descoperirii de către A. Wiles a unei demonstrații pentru teorema lui Fermat. 4.4. Magia numerelor Voi începe această secțiune cu o platitudine: o tendință naturală a omului, care de-a lungul timpului a început să se manifeste din ce în ce mai mult ca o necesitate, este cea de a încerca să înțeleagă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Bernstein (1979), de exemplu, atrage atenția că "probleme ale lumii reale și formulările matematice ale cestora sunt adesea sursa unor probleme interesante în matematica pură, iar soluțiile matematice ale acestor modele sunt uneori stimul pentru generalizări care produs concepte și teoreme importante în matematică." (Bernstein 1979: 246). Aceasta dă zece exemple de astfel de concepte 96 care au apărut în urma studierii unor astfel de probleme ale lumii reale, iar concluzia cu care își încheie articolul este că matematicienii ar trebui să
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în legătură cu relația dintre matematică și știință, ci ar fi importat din altă parte. O astfel de viziune găsim în Azzouni (2000). Acesta privește matematica, în mare parte, ca fiind orice sistem algoritmic care satisface două criterii: să fie interesant și teoremele sale să poată fi găsite prin demonstrații pe care să le putem urmării (i.e. să aibă un număr finit de pași). Acum, cred că este destul de clar de ce este introdusă cea de-a doua cerință. Să ne oprim un moment
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cred că este destul de clar de ce este introdusă cea de-a doua cerință. Să ne oprim un moment asupra primei. Ce înseamnă că un sistem algoritmic este interesant? Dacă ținem cont că un sistem algoritmic neinteresant este unul în care teoremele sunt în întregime predictibile, vom spune că un astfel de sistem este interesant dacă teoremele sale sunt opace deductiv. Prin opacitate deductivă se are în vedere aici incapacitatea noastră de a vedea, în cazul unei derivări logice a unei propoziții
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
oprim un moment asupra primei. Ce înseamnă că un sistem algoritmic este interesant? Dacă ținem cont că un sistem algoritmic neinteresant este unul în care teoremele sunt în întregime predictibile, vom spune că un astfel de sistem este interesant dacă teoremele sale sunt opace deductiv. Prin opacitate deductivă se are în vedere aici incapacitatea noastră de a vedea, în cazul unei derivări logice a unei propoziții din alta sau altele, cum sunt legate conceptele din premise cu cele din concluzie. Acum
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
C. S. 1982 "The role of mathematics in physics", The British Journal for the Philosophy of Science 33(3):275-286. Shenitzer, Abe 1994 "How Hyperbolic Geometry Became Respectable", The American Mathematical. Monthly. 101 (5). (Mai), 464-470. Singh, S. 2005 Marea teoremă a lui Fermat, Humanitas. Sklar, L. 1992 Philosophy of Physics, Oxford. Skorupski, J. 2005 "Later Empiricism and Logical Positivism"; The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic; Stewart Shapiro (ed); Oxford University Press, Oxford, UK; 51-74. Snaper, E. 1989
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
83, 103, 105, 107, 109, 137 Empirism, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 84, 93, 193, 199, 216 Erlanger programm, 60, 61 Factorul estetic in matematică, 21, 135, 137, 139, 193 Failibilitatea matematicii, 10, 20, 116, 120, 123 Fermat, marea teoremă a lui, 138, 139 Field, Hartry, 133, 144, 161, 162, 190, 191 Frege, Gottlob, 68, 81, 84, 85, 86, 178, 179 French, Steven, 165, 168, 205, 206, 208, 213, 214 Friedman, Michael, 11, 17, 18, 68, 75, 90, 127-130, 199
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Shapiro, Stuart, 175, 185 Spațiul Hilbert, 104, 108, 113, 114 Statutul special al matematicii, 10, 20, 21, 23, 24, 27, 94 Steiner, Mark, 16, 21, 131-138, 149, 154, 160, 161, 187-189, 193, 211, 212 Succesul matematicii, 21, 173, 180, 193 Teorema celor patru culori, 114, 117 Tymoczko, Thomas, 11, 114-119 Wigner, Eugene, 16, 21, 131-139, 146, 193, 211 Wiles, Andrew, 138, 139 Worrall, John, 12, 145, 196, 202-205, 210, 211 Résumé* Dans ce livre, l'auteur a l'intention de ramener
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
care să poată fi dedusă, dar niciodată în sine" (CRP, p. 59). Acest fragment poate fi interpretat în două feluri. Pe de o parte ne putem gândi că ce vrea să spună Kant este că deși inferența matematică este analitică, teoremele matematice sunt sintetice, iar asta pentru că axiomele sunt sintetice. O altă interpretare o găsim în Friedman (1985: 489-490). Pentru a înțelege argumentele lui Friedman, trebuie să menționăm câteva deosebiri care apar între traducerea românească a textului și cea engleză (am
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
mathematical inferences proceed in acordance with the priciple of contradiction"; în loc de "principiile" avem "fundamental propositions"; iar în loc de "potrivit principiului contradicției" avem, în ultima propoziție, "in accordance with...". După Friedman, Kant nu spune aici că infetența matematică este analitică și că teoremele pot fi derivate analitic. El interpretează a treia propoziție din fragment ca spunând doar că demonstrațiile matematicienilor implică în mod necesar pași logici și că printre aceștia nu trebuie să apară greșeli de logică. De asemenea, în legătură cu ultima propoziție, spune
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
in engleză "fundamental propositions") în legătură cu care atenționează că este destul de îndoielnic ca prin el Kant să fi avut în vedere axiome. El indică faptul că termenul tehnic pentru axiome folosit de Kant este Axiomen, acesta numind la pagina 75 o teoremă a geometriei euclidiene "principiu" ("fundamental proposition"). Această interpretare nu este posibilă dacă avem în vedere acest fragment așa cum apare el în traducerea românească a "Prolegomenelor". Aici aflăm că "Plecându-se de la faptul că raționamentele matematicienilor se desfășoară toate potrivit legii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cu starea prezentă a teoriei Algebrei Simbolice, își dau seama că validitatea proceselor analizei nu depinde de interpretarea simbolurilor care sunt folosite, ci doar de legile combinării lor." (Boole citat în Kneale 1948: 160) 32 A se vedea, de exemplu, teorema discutată în Hempel (1945a: 8). Asupra aceleiași probleme atrage atenția și Friedman (1985: 461) în legătură cu demonstrația primei propoziții din Cartea 1 a Elementelor lui Euclid. Aceasta spune că se poate construi un triunghi echilateral cu orice segment de dreaptă ca
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
b a , (b > 0, (a, b) = 1), se numește o cea mai bună aproximație de specia I a numărului real α, dacă pentru orice fracție d c , cu bd ≤<0 , b a d c ≠ avem: b a d c −>− αα Teoremă. Orice cea mai bună aproximație de specia I a numărului real α, este sau o redusă sau o Întreredusă a lui α. Demonstrație: Fie b a o cea mai bună aproximație de specia I a lui α și α = [q0
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
avea 0qb a < , deoarece ar rezulta 1 0q b a −>− αα , ceea ce contrazice ipoteza că b a este cea mai bună aproximație. Nu putem avea nici , deoarece ar rezulta și cum , avem și iarăși contrazicem ipoteza relativă la b a . Teoremă. Oricare cea mai bună aproximare de specia II a lui α este o redusă a lui α și reciproc, orice redusă a lui α este o cea mai bună aproximație de specia a II-a a lui α cu singura
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
a II-a a lui α cu singura excepție: când α este deforma 1 , 2 1 0 0 0 0 q Q P q =+=α nu este o cea mai bună aproximație de specia a II-a a lui α. Teorema (Hurwitz). Există numerereale α pentru care oricare ar fi , inegalitatea nu admite decât un număr finit de soluții Întregi p, q, q > 0, (p, q) = 1. Până acum s-a considerat calitatea aproximației q p a numărului α prin evaluarea
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
soluții Întregi p, q, q > 0, (p, q) = 1. Până acum s-a considerat calitatea aproximației q p a numărului α prin evaluarea diferenței q p −α . Se poate considera diferența q α − p și astfel se modifică corespunzător enunțurile teoremelor prezentate. În acest context formulăm problema astfel: Fie ecuația diofantică liniară omogenă: unde α este un număr real dat și ne interesează soluțiile În numere Întregi ale acestei ecuații. Evident, dacă α este irațional, singura soluție este soluția banală . Ne
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
ecuații. Evident, dacă α este irațional, singura soluție este soluția banală . Ne punem problema soluțiilor aproximative ale ecuației (Aproximări diofantice), , adică să găsim perechile de numere Întregi (x, y) pentru care diferența devine mai mică decât o valoare dată. Astfel teoremele anterioare pot fi interpretate ca dându-ne soluții aproximative ale ecuației 0=−⋅ yxα . Teorema lui Borel ne arată că există o infinitate de soluții așa Încât , iar teorema lui Hurwitz ne arată că nu avem o infinitate de soluții, pentru orice
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
soluțiilor aproximative ale ecuației (Aproximări diofantice), , adică să găsim perechile de numere Întregi (x, y) pentru care diferența devine mai mică decât o valoare dată. Astfel teoremele anterioare pot fi interpretate ca dându-ne soluții aproximative ale ecuației 0=−⋅ yxα . Teorema lui Borel ne arată că există o infinitate de soluții așa Încât , iar teorema lui Hurwitz ne arată că nu avem o infinitate de soluții, pentru orice α care să satisfacă condiția . Ecuații diofantice. Prin ecuație diofantică vom Înțelege o ecuație
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
x, y) pentru care diferența devine mai mică decât o valoare dată. Astfel teoremele anterioare pot fi interpretate ca dându-ne soluții aproximative ale ecuației 0=−⋅ yxα . Teorema lui Borel ne arată că există o infinitate de soluții așa Încât , iar teorema lui Hurwitz ne arată că nu avem o infinitate de soluții, pentru orice α care să satisfacă condiția . Ecuații diofantice. Prin ecuație diofantică vom Înțelege o ecuație de forma , unde F este un polinom În n nedeterminate cu coeficienți În
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
numelui ("Acum semeni cu adevărat cu Moshe Dayan, mi-a spus. Și nu e așa că vezi mai bine cu ochiul drept?"872) îi schimbă protagonistului destinul, marele viitor, de geniu al matematicii: "La toamnă, datorită celor 25 de pagini despre teorema lui Godel, ai fi obținut doctoratul, studiul dumitale ar fi produs senzație în lumea întreagă, ai fi devenit celebru și cine ar mai îndrăzni, chiar într-o țară ca a dumitale, să întrebe un om celebru dacă și-a pierdut
Mitologii nominale în proza lui Mircea Eliade by Monica Borș () [Corola-publishinghouse/Science/84970_a_85755]
-
în ce parte stă izvorul mântuirii lui, se ofilesc câmpurile și se întristează, sterpe, păsările. Ce admirabil simbol al solidarității omului cu întreg Cosmosul!..."906. Întrebarea justă i-ar fi clarificat lui Dayan ecuația ultimă. Din teza sa care răstoarnă teorema lui Gödel lipsesc ultimele patru pagini, care ar fi lămurit cum poate fi înțeleasă și utilizată această "ecuație absolută". Ea poate face ca totul să devină posibil, omul să ajungă stăpânul timpului, dar, în același timp, îl poate trimite "cu
Mitologii nominale în proza lui Mircea Eliade by Monica Borș () [Corola-publishinghouse/Science/84970_a_85755]
-
o altă teorie, mai puternic unificatoare, și așa mai departe. Astfel, cunoașterea va rămâne pentru totdeauna deschisă. Acest lucru, susține fizicianul și filozoful român, este în acord cu unul dintre cele mai importante rezultate științifice din secolul al XX-lea, teorema lui Gödel, demonstrată în 1931, care spune, pentru cazul aritmeticii, că un sistem de axiome suficient de bogat duce inevitabil la rezultate fie indecidabile, fie contradictorii 658. Ea înseamnă, din punct de vedere epistemologic, că o teorie științifică completă este
Antinomicul în filosofia lui Lucian Blaga by Valică Mihuleac [Corola-publishinghouse/Science/886_a_2394]
-
inducții și deducții pornind de la observații și date colectate", care ajunge la o concluzie ce nu mai este certă, ci plauzibilă 872. O altă breșă în suveranitatea logicii și în mitul raționalității totale a științei o realiza Gödel, care, prin teorema sa de indecidabilitate, formulată în 1931, "demonstra că orice sistem formalizat comportând aritmetica (...) presupune în mod necesar enunțuri indecidabile (nici demonstrabile, nici refutabile) și că noncontradicția sistemului constituie o propoziție non-demonstrabilă în acel sistem"873. Așadar, logica nu poate găsi
Antinomicul în filosofia lui Lucian Blaga by Valică Mihuleac [Corola-publishinghouse/Science/886_a_2394]
-
a) contradicție formală între două propoziții p și q, astfel că q ≡ p și p - q și q - p; b) contradicție formală demonstrată într-un sistem teoretic" (Dicționar de logică, p. 266), sau, cum o numește într-o altă lucrare, "teoremă contradictorie" (Paradoxuri, sofisme, aporii, p. 121). O enciclopedie universală recentă (Encyclopédie Philosophique Universelle. Les Notions Philosophique. Dictionnaire 1. PUF, 1990) definește paradoxul altfel: "un raționament a cărui concluzie contrazice premisele sau care justifică două concluzii contradictorii...". Un alt dicționar (Antony
Antinomicul în filosofia lui Lucian Blaga by Valică Mihuleac [Corola-publishinghouse/Science/886_a_2394]