11,924 matches
-
și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și („scalați”) cu numere, denumite în acest context "". Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite "axiome", enumerate mai jos. Vectorii euclidieni sunt un exemplu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
acest context "". Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite "axiome", enumerate mai jos. Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
cerințe, numite "axiome", enumerate mai jos. Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și cel de înmulțire a unui vector forță cu un factor de multiplicare real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai geometric, vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în spațiul tridimensional formează și ei spații vectoriale. Vectorii
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
funcție dacă săgețile au același sens sau sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice număr real pozitiv "a", săgeata care are aceeași direcție ca și , dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu "a", se numește "înmulțire" a lui cu "a". Acesta este notată "av. Atunci când "a" este negativ, "av este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție. Următoarele arată câteva exemple: dacă "a" = 2
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice număr real pozitiv "a", săgeata care are aceeași direcție ca și , dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu "a", se numește "înmulțire" a lui cu "a". Acesta este notată "av. Atunci când "a" este negativ, "av este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție. Următoarele arată câteva exemple: dacă "a" = 2, vectorul rezultat "a"w are aceeași direcție
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale. Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și "a" și scalari în . Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix . Ideea este cunoscută atunci ca "spațiu vectorial peste ". Un corp este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, numerele raționale formează și ele un corp. Spre deosebire de analogia intuitivă care decurge din asocierea lor cu vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau . Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos. Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de : și în pentru în , , în . Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate. În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de -. Cu alte cuvinte, există un definit pe corpul în al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar "a"v este definită ca . Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor la grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul nul din și elementul
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de și dimensiune, precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare în 1888. O dezvoltare importantă în domeniul spațiilor vectoriale se datorează construcției de către Lebesgue
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte. Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din Un spațiu vectorial compus din toate -tuplurile unui corp este cunoscut drept "", de obicei, notate cu . Cazul este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul este considerat și
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
fost discutate în introducerea de mai sus. Mułțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai mult, în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare din "F". De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
un spațiu vectorial peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții și este funcția dată de și în mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
polinoame: Sisteme de ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent, "f" este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între "V" și "W", cele două
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
spațiul vectorial factor". Dat fiind orice subspațiu , spațiul factor "V"/"W" (""V" "W"") este definit după cum urmează: ca mulțime, el se compune din unde v este un vector arbitrar din "V". Suma a două astfel de elemente și este și înmulțirea cu un scalar este dată de . Punctul cheie în această definiție este faptul că diferența dintre v și v se află în "W". Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul "W". Nucleul ker("f") unei aplicații liniare este format
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de spații vectoriale într-un nou spațiu vectorial. "Produsul direct" formula 8 al unei familii de spații vectoriale "V" constă din mulțimea tuturor tuplurilor (, care specifică pentru fiecare indice "i" dintr-o "I" un element v al lui "V". Adunarea și înmulțirea cu un scalar se realizează pe componente. O variantă a acestei construcții este "suma directă" formula 9 (notată cu formula 10), în care sunt permise numai tuplurile cu un număr finit de vectori nenuli. Dacă mulțimea de indici "I" este finită, cele
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Chestiunile de convergență sunt tratate prin luarea în considerare a spațiilor vectoriale "V" care au și o topologie compatibilă, o structură care ne permite să vorbim despre elemente ca fiind aproape unul de altul. „Compatibil” aici înseamnă că, adunarea și înmulțirea cu un scalar trebuie să fie aplicații continue. Aproximativ, dacă x și y din "V", și "a" din "F" variază cu o cantitate mărginită, atunci la fel variază și și . Pentru a avea sens precizarea cantității cu care se modifică
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
cum ar fi energia, sau impulsul, corespund valorilor proprii ale unui (liniar) și funcțiile deundă asociate se numesc . descompune un liniar care acționează asupra funcțiilor în termenii acestor funcții proprii și valorilor lor proprii. Spațiile vectoriale generale nu posedă o înmulțire între vectori. Un spațiu vectorial dotat un care definește înmulțirea a doi vectori este o "algebră peste un corp". Multe algebre rezultă din funcții definite pe unele obiecte geometrice: întrucât funcțiile cu valori într-un anumit domeniu pot fi înmulțite
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
unui (liniar) și funcțiile deundă asociate se numesc . descompune un liniar care acționează asupra funcțiilor în termenii acestor funcții proprii și valorilor lor proprii. Spațiile vectoriale generale nu posedă o înmulțire între vectori. Un spațiu vectorial dotat un care definește înmulțirea a doi vectori este o "algebră peste un corp". Multe algebre rezultă din funcții definite pe unele obiecte geometrice: întrucât funcțiile cu valori într-un anumit domeniu pot fi înmulțite punctual, aceste entități formează algebre. Teorema Stone-Weierstrass menționată mai sus
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
domeniu pot fi înmulțite punctual, aceste entități formează algebre. Teorema Stone-Weierstrass menționată mai sus, de exemplu, se bazează pe , care sunt atât spații Banach, cât și algebre. face mare uz de într-una sau mai multe variabile, introduse mai sus. Înmulțirea lor este atât comutativă, cât și asociativă. Aceste inele și factorii lor formează baza geometriei algebrice, deoarece acestea sunt . Un alt important exemplu sunt "algebrele Lie", care nu sunt nici comutative și nici asociative, dar faptul că nu sunt este
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
-pe-"n", cu , a două matrice, și , dotat cu produsul vectorial. T("V") este un mod formal de a adăuga produsul la orice spațiu vectorial "V" pentru a obține o algebră. Ca spațiu vectorial, este generat de simboluri, numite simplu Înmulțirea este dată prin concatenarea acestor simboluri, care impune în plus față de adunare, și faptul că necesită ca înmulțirea cu un scalar să fie comutativă cu produsul tensorial ⊗, în același fel ca și produsul tensorial a două spații vectoriale introdus mai
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
a adăuga produsul la orice spațiu vectorial "V" pentru a obține o algebră. Ca spațiu vectorial, este generat de simboluri, numite simplu Înmulțirea este dată prin concatenarea acestor simboluri, care impune în plus față de adunare, și faptul că necesită ca înmulțirea cu un scalar să fie comutativă cu produsul tensorial ⊗, în același fel ca și produsul tensorial a două spații vectoriale introdus mai sus. În general, nu există relații între și . Forțând două astfel de elemente să fie egale, se obțin
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]