1,522 matches
-
ajunge, cu ajutorul analizei conceptuale mai departe decât simpla definiție a conceptului. Dacă plecăm de la axiomele geometriei, situația se complică un pic. Am putea ajunge la o teoremă matematică folosindu-ne doar de analiza conceptuală, dacă plecăm de la un set de axiome. Pentru asta trebuie, desigur, să luăm inferența matematică drept analitică. Există exegeți care oferă chiar o astfel de interpretare, pentru a cărei susținere se folosesc, după cum am văzut mai sus, de primul paragraf din secțiunea a V-a a Introducerii
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
etc. El ajunge în felul acesta printr-un lanț de raționamente călăuzit permanent de intuiție la rezolvarea absolut clară și totodată generală a problemei." (CRP, pp. 524-525) Teorema avută în vedere aici nu este în nici un caz derivată analitic din axiome, ci se ajunge la ea cu ajutorul construcției în intuiția pură. În acest punct, cred că putem spune liniștiți că analiza conceptuală nu poate fi considerată ca sursă a cunoașterii matematice, pentru aceasta fiind nevoie de ceva mai mult decât de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
mult decât de o desfacere a conceptelor în elementele lor. În cazul aritmeticii lucrurile sunt un pic mai simple și pot da un plus de forță celor spuse până acum. Asta deoarece aici nu mai avem de-a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
până acum. Asta deoarece aici nu mai avem de-a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată de genul "cantități egale adăugate la cantități
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a face cu axiome ca în cazul geometriei, ci doar cu formule numerice, deci, în cazul ei, nu se mai poate pune problema derivării pur logice sau analitice a teoremelor din axiome. Pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată de genul "cantități egale adăugate la cantități egale sau scăzute din cantități egale dau cantități egale
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
la geometrie. Această metodă poate fi considerată una dintre cele mai mari realizări a matematicii antice. Foarte pe scurt, metoda axiomatică constă în derivarea de adevăruri despre un anumit domeniu de studiu, cu ajutorul logicii, dintr-o mulțime relativ mică de axiome. În cadrul geometriei sale, Euclid distinge între axiome adevăruri considerate ca nemijlocit certe (de exemplu: "întregul este mai mare decât partea" sau "mărimile care sunt egale cu aceeași mărime sunt egale între ele") și postulate "asumpții a căror validitate părea mai
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
una dintre cele mai mari realizări a matematicii antice. Foarte pe scurt, metoda axiomatică constă în derivarea de adevăruri despre un anumit domeniu de studiu, cu ajutorul logicii, dintr-o mulțime relativ mică de axiome. În cadrul geometriei sale, Euclid distinge între axiome adevăruri considerate ca nemijlocit certe (de exemplu: "întregul este mai mare decât partea" sau "mărimile care sunt egale cu aceeași mărime sunt egale între ele") și postulate "asumpții a căror validitate părea mai puțin certă, dar care păreau a fi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de acestea. Prima dintre aceste etape apare odată cu realizarea faptului că cel de-al cincilea postulat este diferit de celelalte, adevărul lui neputând fi considerat evident. Asta a făcut că foarte mulți matematicieni să încerce să-l deducă din celelalte axiome și postulate. Primii care au încercat asta au fost Proclus și Arhimede, apoi în secolul treisprezece problema a fost abordată de matematicianul arab Nasir Eddin al-Tusi. În Europa, problema paralelelor a fost redescoperită abia în secolul șaisprezece, dar cele mai
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
abia la începutul secolului optsprezece odată cu opera lui Gerolamo Saccheri. Ca și predecesorii săi, acesta eșuează în încercarea sa de a demonstra postulatul, însă, spre deosebire de aceștia, el abordează cu totul altfel problema: nu încearcă să demonstreze postulatul plecând de la celelalte axiome și postulate, ci încearcă să arate că negarea lui duce la o contradicție. În acest sens se poate considera că Saccheri a fost primul care a propus un postulat neeuclidian al paralelelor, fără însă a realiza importanța acestui fapt. Cum
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în conceptul unei figuri care este închisă între două linii drepte, căci conceptele de două linii drepte și de întâlnire a lor nu conțin negarea unei figuri." (CRP, p. 224). Am văzut în secțiunea precedentă că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
224). Am văzut în secțiunea precedentă că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
că, în viziunea lui Kant, axiomele geometriei sunt sintetice și nu analitice. Dacă ar fi fost analitice, ar fi fost într-adevăr imposibil de găsit alte sisteme geometrice consistente bazate pe negarea unora dintre axiomele geometriei euclidiene. Cum, însă, aceste axiome sunt sintetice, trebuie să acceptăm posibilitatea geometriilor neeuclidiene. Astfel, apariția acestor sisteme nu intră nicidecum în conflict cu filosofia kantiană a matematicii, ci reprezintă chiar o dovadă în favoarea acesteia. Problema cu o astfel de interpretare 22 este aceea că îi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de axiomele unui sistem matematic. Dacă axiomele lui Euclid puteau fi privite ca fiind adevăruri evidente, în viziunea modernă acestea nu sunt nici evidente și nici adevărate 28; de fapt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de axiomele unui sistem matematic. Dacă axiomele lui Euclid puteau fi privite ca fiind adevăruri evidente, în viziunea modernă acestea nu sunt nici evidente și nici adevărate 28; de fapt nici nu pot fi considerate judecăți, ci sunt cel mai corect privite
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de axiomele unui sistem matematic. Dacă axiomele lui Euclid puteau fi privite ca fiind adevăruri evidente, în viziunea modernă acestea nu sunt nici evidente și nici adevărate 28; de fapt nici nu pot fi considerate judecăți, ci sunt cel mai corect privite ca fiind funcții propoziționale 29
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
înțeles și exprimă doar relații între termenii primitivi nedefiniți ai sistemului axiomatic din care fac parte. Mai mult, un astfel de sistem axiomatic nu trebuie nici măcar să fie categoric 30. Un sistem geometric privit prin prisma acestei noi viziuni asupra axiomelor nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de-a noastră și nu trebuie să fie despre structura lumii. Felul cum trebuie privită geometria din această perspectivă este cel mai bine exprimat prin afirmația lui Hilbert
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometria din această perspectivă este cel mai bine exprimat prin afirmația lui Hilbert că "trebuie să putem spune în orice moment în loc de puncte, linii drepte și planuri mese, scaune și halbe de bere"31. Termenii primitivi care apar în aceste axiome nu sunt definiți cum erau în geometria euclidiană, unde găseam definiții precum "un punct este acel ceva care nu are părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
bere"31. Termenii primitivi care apar în aceste axiome nu sunt definiți cum erau în geometria euclidiană, unde găseam definiții precum "un punct este acel ceva care nu are părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție este acela că axiomele nu determină în mod unic vreun concept. "De fapt axiomele determină multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Termenii primitivi care apar în aceste axiome nu sunt definiți cum erau în geometria euclidiană, unde găseam definiții precum "un punct este acel ceva care nu are părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție este acela că axiomele nu determină în mod unic vreun concept. "De fapt axiomele determină multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub o relație
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
definiții precum "un punct este acel ceva care nu are părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție este acela că axiomele nu determină în mod unic vreun concept. "De fapt axiomele determină multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub o relație bijectivă potrivită între termenii primitivi și conceptele sistemului în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
părți". După Hilbert, acești termeni sunt definiți de întregul sistem de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție este acela că axiomele nu determină în mod unic vreun concept. "De fapt axiomele determină multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub o relație bijectivă potrivită între termenii primitivi și conceptele sistemului în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a acestei viziuni este aceea că ridică orice semne de întrebare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de axiome, fiecare axiomă contribuind la definiția termenilor care apar în ea. Specificul acestui tip de definiție este acela că axiomele nu determină în mod unic vreun concept. "De fapt axiomele determină multe sisteme de concepte fiecare dintre acestea satisfăcând axiomele sub o relație bijectivă potrivită între termenii primitivi și conceptele sistemului în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a acestei viziuni este aceea că ridică orice semne de întrebare cu privire la geometriile neeuclidiene: singurul criteriu de acceptabilitate a unui sistem
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și conceptele sistemului în chestiune." (Resnik 1974: 392). O consecință imediată a acestei viziuni este aceea că ridică orice semne de întrebare cu privire la geometriile neeuclidiene: singurul criteriu de acceptabilitate a unui sistem geometric este consistența acestuia. Conflictul viziunii moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm în acest punct că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
moderne asupra axiomelor cu filosofia kantiană a matematicii este atât de evident încât aproape că nici nu mai trebuie menționat. Cred că este suficient să remarcăm în acest punct că, dacă la Kant geometria era indisolubil legată de intuiția pură, axiomele acesteia fiind privite ca "principii sintetice a priori, care sunt nemijlocit certe" (CRP, p. 533), neputându-se pune, deci, problema existenței unui sistem matematic neinterpretat; la Hilbert structura geometriei este separată cu totul de orice conținut. Am vorbit la începutul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acest tip de teoreme în sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]