1,522 matches
-
sistemul euclidian, se asumă existența unui astfel de punct, iar "această asumpție este bazată pe intuiția geometrică" (Hempel 1945a: 8). Pentru a se evita această problemă, în formularea modernă a geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității 33 și axiome ale ordinii. Cum în acest sistem nu mai apare problema demonstrării existenței punctului de intersecție, nu mai e nevoie să apelăm la intuiție pentru a demonstra teoremele noastre, la acestea ajungându-se exclusiv prin intermediul deducției logice. Din perspectiva viziunii kantiene
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
loc central îl ocupă doctrina sa a construcției în intuiția pură: la teoremele geometrice se ajunge "printr-un lanț de raționamente, călăuzit permanent de intuiție" (CRP, p. 525) și nu pe o cale pur analitică (logică) prin derivarea lor din axiome. Dar matematica modernă se mândrește tocmai cu eliminarea oricărei imixtiuni a intuiției din demonstrația teoremelor. În acest context, "orice apel, explicit sau implicit, la o impresie de evidență, sau la caracteristicile figurilor geometrice, sau la experiențele noastre privitoare la comportamentul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în spațiul fizic, sau la lucruri similare, este strict interzis" (Hempel 1945a: 7). La teoremele geometrice se ajunge pe o cale pur logică. Cineva ar putea încerca să salveze viziunea kantiană, în acest punct, argumentând că tot ce contează sunt axiomele, această viziune fiind compatibilă cu ideea că inferențele matematice sunt analitice și nu sintetice 34. Problema e că, așa cum am spus ceva mai sus, în viziunea modernă, axiomele sunt funcții propoziționale și nu judecăți sintetice a priori ca la Kant
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
salveze viziunea kantiană, în acest punct, argumentând că tot ce contează sunt axiomele, această viziune fiind compatibilă cu ideea că inferențele matematice sunt analitice și nu sintetice 34. Problema e că, așa cum am spus ceva mai sus, în viziunea modernă, axiomele sunt funcții propoziționale și nu judecăți sintetice a priori ca la Kant. 1.2.1.3. Schimbarea viziunii asupra geometriei O altă schimbare majoră care apare în matematica secolului nouăsprezece privește felul cum este înțeleasă geometria. Două contribuții sunt importante
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în 1888, urmat la numai un an de Peano. Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut loc în matematică, nici aceasta nu merge compatibilizată cu viziunea kantiană asupra matematicii. Kant spune despre judecățile aritmetice că "nu trebuie numite axiome (căci altfel ar exista un număr infinit de axiome), ci formule numerice." (CRP, p. 189). Asta deoarece, pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut loc în matematică, nici aceasta nu merge compatibilizată cu viziunea kantiană asupra matematicii. Kant spune despre judecățile aritmetice că "nu trebuie numite axiome (căci altfel ar exista un număr infinit de axiome), ci formule numerice." (CRP, p. 189). Asta deoarece, pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cu viziunea kantiană asupra matematicii. Kant spune despre judecățile aritmetice că "nu trebuie numite axiome (căci altfel ar exista un număr infinit de axiome), ci formule numerice." (CRP, p. 189). Asta deoarece, pentru ca o judecată să poată juca rolul de axiomă, trebuie să fie și sintetică și generală, dar în cazul aritmeticii nu avem nimic care să satisfacă aceste două condiții. Dacă luăm o judecată generală (e.g. cantități egale adăugate la cantități egale sau scăzute din cantități egale dau cantități egale
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sus despre faptul că postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca o astfel de deducție pur logică să fie posibilă, este nevoie de ceva mai mult decât de introducerea unor noi axiome, și anume
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca o astfel de deducție pur logică să fie posibilă, este nevoie de ceva mai mult decât de introducerea unor noi axiome, și anume este nevoie de o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fost introduse axiome ale continuității și axiome ale ordinii. Ce am omis să spunem în acea secțiune este că, pentru ca o astfel de deducție pur logică să fie posibilă, este nevoie de ceva mai mult decât de introducerea unor noi axiome, și anume este nevoie de o logică mai puternică (i.e. poliadică) decât cea avută în vedere de Kant (i.e. silogistică/monadică). Asta deoarece "logica monadică nu poate servi ca bază pentru nici o teorie matematică serioasă, pentru nici o teorie care își
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
idee care joacă un rol esențial într-o teorie a ordinii, deoarece permite deducerea explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
rol esențial într-o teorie a ordinii, deoarece permite deducerea explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
explicită, doar cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut acestea asupra viziunii kantiene asupra matematicii. Am văzut că, în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
adevărurilor matematice. Ei au propus, în schimb, o nouă concepție asupra analiticității care este distinctă de cea a lui Kant, de cea a lui Mill și de cea fregeană. Sursa acestei noi concepții poate fi găsită în noua viziune cu privire la axiome apărută în matematica secolului al nouăsprezecelea, la baza ei stând noțiunea de definiție implicită. 1.2.4. Distincția pur aplicat Una dintre cele mai interesante idei preluate de către pozitiviștii logici din transformările care au avut loc în matematica secolului al
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cele mai interesante idei preluate de către pozitiviștii logici din transformările care au avut loc în matematica secolului al nouăsprezecelea privește viziunea supra matematicii care decurge din reexaminarea fundamentelor geometriei 65. Această reexaminare a avut ca rezultat o nouă viziune asupra axiomelor, care, la rândul ei, a condus la o nouă viziunea asupra geometriei, și anume că un sistem axiomatic în întregime formal care nu trebuie să stea în nici un fel de relație cu vreo intuiție de a noastră și nici nu
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a distincției schițată în secțiunea precedentă între matematica pură și matematica aplicată și a identificării de către pozitiviștii logici a matematicii cu matematica pură. Această identificare lasă loc următoarei situații: "Dacă nu există nici un interes pentru aplicarea structurii, mulțimea particulară de axiome a sistemului își pierde importanța, iar matematicianul se poate distra introducând în el schimbări arbitrare. Asta a condus la inventarea geometriilor "neeuclidiene", care, la început, au fost privite drept creații goale ale minții omenești, până s-a întâmplat că au
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematice pure. O astfel de interpretare constă în asignarea fiecărui termen primitiv al sistemului a unui înțeles fizic. În viziunea lui Schlick, de exemplu, avem două tipuri de definiții: definiții implicite și definiții concrete. Plecând de la concepția lui Hilbert cu privire la axiome, el consideră că termenii primitivi care apar într-un sistem matematic axiomatic sunt implicit definiți de întregul sistem de axiome care, însă, nu determină în mod unic vreun concept, lăsând deschisă posibilitatea ca aceștia să fie înțeleși ca denotând, luați
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
lui Schlick, de exemplu, avem două tipuri de definiții: definiții implicite și definiții concrete. Plecând de la concepția lui Hilbert cu privire la axiome, el consideră că termenii primitivi care apar într-un sistem matematic axiomatic sunt implicit definiți de întregul sistem de axiome care, însă, nu determină în mod unic vreun concept, lăsând deschisă posibilitatea ca aceștia să fie înțeleși ca denotând, luați împreună, orice entități care îi satisfac în mod sistematic. Pentru a da o interpretare fizică unui astfel de sistem, ne
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
este corectă, atunci unele "adevăruri" despre care se credea că sunt necesare sunt respinse ca falsități și astfel întreaga clasă a "adevărurilor necesare" este pusă sub semnul întrebării. Un exemplu de astfel de "adevăr necesar" ar fi cel al următoarei axiome euclidiene: "cea mai scurtă cale între două puncte este o linie dreaptă". Dacă acceptăm teoria relativității generale, acceptăm și că este posibil ca cea mai scurtă cale între două puncte să nu fie o linie dreaptă, ci un geodezic (acest
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
posibil ca cea mai scurtă cale între două puncte să nu fie o linie dreaptă, ci un geodezic (acest lucru are loc într-un câmp gravitațional puternic, cum este cel al Soarelui) și astfel acceptăm că există situații în care axioma euclidiană este falsă. Mergând mai departe pe această linie, ne putem întreba: de ce nu ar fi cazul și că unele legi ale logicii să fie false? Cei care adoptă o interpretare logică a mecanicii cuantice vor spune că sunt astfel
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
El oferă două argumente în acest sens. Strategia sa constă, în primul rând75, în a distinge între două tipuri de teorii: teoriile euclidiene 76 și teoriile cvasi-empirice. Teoriile euclidiene sunt sisteme deductive în care se pleacă de la un set de axiome astfel încât "adevărul, scurgându-se de sus în jos prin canalele sigure care prezervă adevărul ale inferențelor valide, inundă întregul sistem." (Lakatos 1976: 205). Dezvoltarea unei astfel de teorii se face în trei stadii: stadiul pre-științific al încercării și erorii; stadiul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
se face în trei stadii: stadiul pre-științific al încercării și erorii; stadiul fundațional de reorganizare a disciplinei; stadiul rezolvării problemelor din interiorul sistemului. Metodologia, în cazul acestui tip de teorie, este una anti-speculativă regula de bază aici fiind căutarea de axiome evidente. În cazul teoriilor cvasi-empirice, spre deosebire de cele euclidiene, adevărul nu mai inundă sistemul scurgându-se de la axiome către restul enunțurilor teoriei. Aici "injectarea" valorilor de adevăr se face la baza sistemului. Problema e că adevărul curge numai de a vârf
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
stadiul rezolvării problemelor din interiorul sistemului. Metodologia, în cazul acestui tip de teorie, este una anti-speculativă regula de bază aici fiind căutarea de axiome evidente. În cazul teoriilor cvasi-empirice, spre deosebire de cele euclidiene, adevărul nu mai inundă sistemul scurgându-se de la axiome către restul enunțurilor teoriei. Aici "injectarea" valorilor de adevăr se face la baza sistemului. Problema e că adevărul curge numai de a vârf spre baza sistemului și nu invers. Astfel, în aceste teorii nu avem de-a face cu "transmiterea
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
numai de a vârf spre baza sistemului și nu invers. Astfel, în aceste teorii nu avem de-a face cu "transmiterea adevărului, ci mai degrabă cu retransmiterea falsității de la teoreme speciale aflate da baza sistemului în sus, spre setul de axiome." (ibidem, pp. 205-205). Specificul dezvoltării unei astfel de teorii constă în aceea că se pleacă de la probleme ale căror soluții sunt supuse unor teste severe, urmate de infirmări, de înlocuiri cu teorii rivale, totul petrecându-se într-un mediu speculativ
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ca teoriile științifice, cvasi-empirice." (ibidem, p. 207). Cercetarea fundamentelor matematicii, așa cum a fost ea întreprinsă de Russell sau de Hilbert 77, 78, a avut drept obiectiv reorganizarea matematicii ca un sistem euclidian în care adevărul, injectat la vârful sistemului (prin axiome), îl inundă în întregime. Lakatos nici nu explică de ce aceste programe au fost de la bun început destinate eșecului, nici nu argumentează pentru imposibilitatea realizării unui astfel de program, ci se mulțumește să treacă în revistă dificultățile care au condus în
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]