1,516 matches
-
mai importante rezultate apar abia la începutul secolului optsprezece odată cu opera lui Gerolamo Saccheri. Ca și predecesorii săi, acesta eșuează în încercarea sa de a demonstra postulatul, însă, spre deosebire de aceștia, el abordează cu totul altfel problema: nu încearcă să demonstreze postulatul plecând de la celelalte axiome și postulate, ci încearcă să arate că negarea lui duce la o contradicție. În acest sens se poate considera că Saccheri a fost primul care a propus un postulat neeuclidian al paralelelor, fără însă a realiza
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
începutul secolului optsprezece odată cu opera lui Gerolamo Saccheri. Ca și predecesorii săi, acesta eșuează în încercarea sa de a demonstra postulatul, însă, spre deosebire de aceștia, el abordează cu totul altfel problema: nu încearcă să demonstreze postulatul plecând de la celelalte axiome și postulate, ci încearcă să arate că negarea lui duce la o contradicție. În acest sens se poate considera că Saccheri a fost primul care a propus un postulat neeuclidian al paralelelor, fără însă a realiza importanța acestui fapt. Cum era și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
totul altfel problema: nu încearcă să demonstreze postulatul plecând de la celelalte axiome și postulate, ci încearcă să arate că negarea lui duce la o contradicție. În acest sens se poate considera că Saccheri a fost primul care a propus un postulat neeuclidian al paralelelor, fără însă a realiza importanța acestui fapt. Cum era și normal, Saccheri a eșuat în încercarea sa de a deriva o contradicție. Din asumpția că cel de-al cincilea postulat al lui Euclid este fals, el a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a fost primul care a propus un postulat neeuclidian al paralelelor, fără însă a realiza importanța acestui fapt. Cum era și normal, Saccheri a eșuat în încercarea sa de a deriva o contradicție. Din asumpția că cel de-al cincilea postulat al lui Euclid este fals, el a derivat, în loc de o contradicție, o mulțime de teoreme ciudate, cu greu credibile, dar interesante. Totuși, oricât de ciudate au părut a fi aceste rezultate, nici una dintre ele nu a fost într-adevăr o
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
dintre ele nu a fost într-adevăr o contradicție." (Penrose 2005: 43). De altfel, nici nu ar fi putut să fie, după cum știm foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
altfel, nici nu ar fi putut să fie, după cum știm foarte bine astăzi geometria hiperbolică este consistentă. Primul care a renunțat să mai caute o demonstrație pentru postulatul cinci sau să arate că există o contradicție în adăugarea negației acestui postulat la restul geometriei euclidiene, descriind în schimb o nouă geometrie tot hiperbolică a fost Karl Friedrich Gauss. Acesta însă nu a publicat nimic în legătură cu ideile sale privitoare la posibilitatea unei geometrii neeuclidiene. Am vorbit mai sus despre existența a trei
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Universitatea din Kazan în 1826 și apoi publică o lucrare în 1829, în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că se pot trasa două paralele printr-un punct exterior unei drepte la acea dreaptă. În locul postulatului 5, în construcția geometriei sale, Lobacevski s-a folosit de următorul postulat: cu privire la o linie dreaptă dată, toate celelalte linii drepte aflate în același plan pot fi împărțite în două clase: cele care intersectează linia dată și cele care nu
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în care ia în considerare posibilitatea unei geometrii în care se acceptă că se pot trasa două paralele printr-un punct exterior unei drepte la acea dreaptă. În locul postulatului 5, în construcția geometriei sale, Lobacevski s-a folosit de următorul postulat: cu privire la o linie dreaptă dată, toate celelalte linii drepte aflate în același plan pot fi împărțite în două clase: cele care intersectează linia dată și cele care nu o intersectează; o linie care este limita între aceste două clase se
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
geometria eliptica, descoperită de Bernhardt Riemann. Acesta a ajuns la geometria sa pe o cale diferită de cea urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
urmată de Lobacevski și Bolyai, și anume luând în considerare două postulate diferite de cele ale geometriei euclidiene: postulatele doi și cinci. Postulatul doi este înlocuit cu unul care spune că o linie poate fi finită în lungime, iar de postulatul cinci nu mai e nevoie pentru că în geometria eliptică nu sunt acceptate paralelele. În ce fel poate fi considerată apariția geometriilor neeuclidiene ca un prim pas în "dezintegrarea" viziunii kantiene asupra matematicii? Totul depinde de felul cum sunt privite aceste
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
fac ca astfel de figuri să fie intuitive. Un alt pas important în punerea pe picior de egalitate a geometriilor neeuclidiene cu geometria euclidiană îl face Helmholtz, care argumentează că aceleași proceduri constructive intuitive care ne fac să acceptăm adevărul postulatelor geometriei euclidiene pot să ne convingă, în alte circumstanțe, că lumea este neeuclidiană 26. Poincaré contribuie de asemenea la schimbarea atitudinii față de geometriile neeuclidiene prin teza sa a intertraductibilității geometriei euclidiene și celei lobacevskiene. 1.2.1.2. O nouă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
vorbit la începutul acestei secțiuni despre două rezultate pe care l-ea produs reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene. Cel de-al doilea astfel de rezultat constă în găsirea unor fundamente axiomatice riguroase pentru geometria euclidiană și pleacă de la observarea faptului că postulatele lui Euclid sunt insuficiente pentru derivarea pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale. Putem lua drept exemplu demonstrația oricărei teoreme în care se presupune că între două linii sau între două figuri care se întâlnesc avem un punct 32
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o multitudine de feluri, pe când, în cazul unui număr, lucrurile se schimbă, acesta nefiind posibil decât într-un singur mod. 1.2.1.6. Logica poliadică Am vorbit în secțiunea 1.2.1.2. de mai sus despre faptul că postulatele lui Euclid erau insuficiente pentru o derivare pur logică a unora dintre teoremele geometriei sale și am spus că, pentru a se evita această problemă, în formularea dată de Hilbert geometriei euclidiene, au fost introduse axiome ale continuității și axiome
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
cu ajutorul logicii, a unei infinități de obiecte 43. O astfel de teorie a ordinii, introdusă în formularea modernă a geometriei euclidiene cu ajutorul a patru axiome 44, împreuna cu axiomele continuității, fac posibilă deducerea pur logică a teoremelor din axiome și postulate. 1.2.2. Teoria relativității generale Am vorbit până acum despre schimbările care au avut loc în matematica secolului nouăsprezece și despre impactul pe care le-au avut acestea asupra viziunii kantiene asupra matematicii. Am văzut că, în lumina acestor
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
modul newtonian. Această cerință poate fi transformată într-o prescripție pentru calcularea comutatorilor operatorilor observabililor particulelor cuantice plecând de la relațiile matematice dintre proprietățile măsurabile corespondente ale teoriei clasice. Pe lângă aceste principii, mecanica cuantică în interpretarea ei standard mai are următoarele postulate: 1. (a) starea unei particule este reprezentată de un vector într-un spațiu Hilbert; (b) starea unui sistem mecanic-cuantic este descrisă complet de funcția de undă ψ; 2. mărimile observabile sunt reprezentate prin operatori Hermitieni care sunt consistenți cu relația
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
identifică trei probleme ce apar în legătură cu interpretarea de la Copenhaga: * este vagă, deoarece nu spune ce tip de interacțiuni sunt măsurătorile, iar această omisiune este importantă deoarece, conform acestei interpretări, sistemele nemăsurate evoluează după legea lui Schrodinger, iar cele măsurate, după postulatul colapsului; * este inconsistentă, deoarece face aserțiuni despre natura realității mecanic-cuantice, dar neagă că se poate știi ceva despre acea realitate; * este obscură, deoarece relația dintre măsurătoare și realitate este obscură: ce este special în legătură cu măsurătorile astfel încât ele inițiază colapsul? (B.
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
în legătură cu măsurătorile astfel încât ele inițiază colapsul? (B. Lower 1998: 3). O altă problemă cu această interpretare ar fi aceea că nu explică de ce stările cuantice nu seamănă deloc cu cele clasice. Putem obține interpretări alternative în două feluri: fie schimbăm postulatele fizice ale teoriei cuantice (cazul interpretării lui Bohm, de exemplu), fie schimbăm logica. După D. Finkelstein, "unul dintre motivele pentru care este atât de dificil de înțeles mecanica cuantică este că profesorii noștri nu reușesc să ne spună că este
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
de la ideea că nimic nu ne poate face să abandonăm geometria euclidiană ca și cadru pentru teoriile noastre fizice, in sprijinul acestei idei fiind suficientă observația că, din moment ce structura geometrică a spațiului nu este direct observabilă, ci avem nevoie de postulate care să pună în legătură comportamentul observabil al lucrurilor cu aceasta, noi putem păstra structura euclidiană a spațiului menținând aceleași postulate. Reichenbach atrage atenția că această menținere a geometriei euclidiene nu se face fără a plăti un preț. Cele mai
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
acestei idei fiind suficientă observația că, din moment ce structura geometrică a spațiului nu este direct observabilă, ci avem nevoie de postulate care să pună în legătură comportamentul observabil al lucrurilor cu aceasta, noi putem păstra structura euclidiană a spațiului menținând aceleași postulate. Reichenbach atrage atenția că această menținere a geometriei euclidiene nu se face fără a plăti un preț. Cele mai răspândite afirmații în legătură cu poziția lui Kant sunt de genul: "Începând cu lucrarea importantă a filosofilor geometriei de la începutul secolului douăzeci precum
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sau chiar răsturnat, de cercetarea empirică." (Tim Maudlin 2005: 156); sau "Apariția geometriei neeuclidiene a fost mereu recunoscută ca una dintre provocările fundamentale la teoria kantiană a intuiției spațiale. Dacă geometriile neeuclidiene sunt posibile, atunci este cel puțin îndoielnic că postulatele lui Euclid au "necesitatea și universalitatea" pe care li le-a atribuit Kant ca aspecte ale formei intuiției externe." (DiSalle 2006a: 123). 18 În textele mai recente se obișnuiește înlocuirea acestui postulat cu axioma lui Playfair (numita astfel după matematicianul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
sunt posibile, atunci este cel puțin îndoielnic că postulatele lui Euclid au "necesitatea și universalitatea" pe care li le-a atribuit Kant ca aspecte ale formei intuiției externe." (DiSalle 2006a: 123). 18 În textele mai recente se obișnuiește înlocuirea acestui postulat cu axioma lui Playfair (numita astfel după matematicianul scoțian John Playfair): "Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce doar o singură paralelă la acea dreaptă". 19 Pentru a înțelege mai bine care era situația problemei paralelelor în prima
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
Pentru mai multe detalii legate de viziunea lui Helmholtz cu privire la geometriile neeuclidiene a se vedea DiSalle (2006b) și, în special, DiSalle (2006a). 27 După Resnik, "Hilbert a crezut că metoda sa axiomatică a creat posibilitatea unei cercetări riguroase a independenței postulatului paralelelor" (Resnik 1974: 387). 28 În această nouă viziunea asupra axiomelor, accentul nu se mai pune decât pe problema relației deductive dintre propoziții, problema adevărului lor fiind lăsată deoparte. Pentru mai multe detalii privitoare la viziunea lui Hilbert despre axiome
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
BC. Cum AC și BC sunt tot raze ale cercurilor C1 respectiv C2, rezultă că AC=BC=AB și deci că ABC este echilateral. Problema aici este, desigur, punctul C a cărui existență nu este demonstrată și nu decurge din postulate. 33 În formularea lui Hilbert avem cinci grupe de axiome: axiomele de incidență, axiomele de ordine, axiomele de congruență, axioma paralelelor și axiomele de continuitate. 34 A se vedea discuția de mai sus. 35 Klein spune, de exemplu, că "a
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]