4,066 matches
-
Henri Poincaré Invenția matematică / 165 Capitolul 3. ÎNVĂȚAREA ȘI PREDAREA MATEMATICII / 183 P.R. Halmos Cum să comunici matematica / 185 P.R. Halmos Ce este predarea / 201 Henri Poincaré Definițiile matematice și învățământul / 215 Sfaturi pentru tânărul matematician / 231 G. Hardy Scuza matematicianului (fragment) / 253 CUVÂNT ÎNAINTE Inaugurăm cu acest volum, dedicat matematicii și locului său în sistemul științelor, o serie consacrată dialogului ideilor în universul cunoașterii, care se confundă, de altfel, cu cel al culturii. De fapt, istoria civilizației a fost un
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fapt, la un alt mod de a spune că 1 = 1. În unul din capitolele următoare, vom vedea și răspunsul lui Henri Poincaré la această întrebare, aici însă vom afla opiniile unui fizician, Eugene Wigner laureat al premiului Nobel, ale matematicienilor Felix Browder, G.H. Hardy și R.W. Hamming, precum și ale unui filosof, Morris Kline. Discuțiile sunt centrate pe următoarele întrebări deja enunțate: este matematica eficientă și relevantă în înțelegerea legilor naturii și, dacă da, care este explicația? Irezonabila eficiență a
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
deja cunoscute nouă. Cea mai mare parte a noțiunilor matematice avansate, cum ar fi numerele complexe, algebrele, operatorii liniari, mulțimile Borel și această listă ar putea continua aproape la nesfârșit -, au fost proiectate astfel încât să fie subiecte valabile prin care matematicianul să-și poată demonstra ingeniozitatea și simțul frumuseții formale. De fapt, construcția acestor noțiuni, cu precizarea că le pot fi aplicate considerații interesante și ingenioase, este prima demonstrație a ingeniozității matematicianului care le definește. Profunzimea gândirii care intră în formularea
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fost proiectate astfel încât să fie subiecte valabile prin care matematicianul să-și poată demonstra ingeniozitatea și simțul frumuseții formale. De fapt, construcția acestor noțiuni, cu precizarea că le pot fi aplicate considerații interesante și ingenioase, este prima demonstrație a ingeniozității matematicianului care le definește. Profunzimea gândirii care intră în formularea noțiunilor matematice este justificată, mai nou, prin îndemânarea cu care sunt folosite aceste noțiuni. Matematicianul priceput exploatează deplin, aproape fără milă, domeniul raționamentului permisiv și îl evită pe cel nepermisivil. Că
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
cu precizarea că le pot fi aplicate considerații interesante și ingenioase, este prima demonstrație a ingeniozității matematicianului care le definește. Profunzimea gândirii care intră în formularea noțiunilor matematice este justificată, mai nou, prin îndemânarea cu care sunt folosite aceste noțiuni. Matematicianul priceput exploatează deplin, aproape fără milă, domeniul raționamentului permisiv și îl evită pe cel nepermisivil. Că îndrăzneala lui nu-l conduce într-un noian de contradicții este un adevărat miracol: într-adevăr, este greu de crezut că puterea rațiunii noastre
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
de crezut că puterea rațiunii noastre a fost adusă, prin procesul selecției naturale a lui Darwin, la perfecțiunea de care se pare că dispune. Principalul aspect pe care va trebui să-l avem în vedere mai târziu este acela că matematicianul ar putea formula doar câteva teoreme interesante fără să definească noțiuni în afara celor conținute în axiome și că aceste noțiuni, care nu sunt conținute în axiome, sunt definite în vederea construirii unor operații logice ingenioase, care fac apel la simțul nostru
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mai evidentă, și anume faptul că este interesantă". (p. 188)]. Numerele complexe ne oferă un exemplu deosebit de frapant pentru cele de mai sus. Desigur, nimic din experiența noastră nu sugerează introducerea acestor cantități. Într-adevăr, în cazul în care un matematician este rugat să justifice interesul său pentru numerele complexe, el va indica, cu oarecare indignare, multele și frumoasele teoreme din teoria ecuațiilor, a seriilor de puteri și a funcțiilor analitice, în general, care își datorează apariția introducerii numerelor complexe. Matematicianul
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
matematician este rugat să justifice interesul său pentru numerele complexe, el va indica, cu oarecare indignare, multele și frumoasele teoreme din teoria ecuațiilor, a seriilor de puteri și a funcțiilor analitice, în general, care își datorează apariția introducerii numerelor complexe. Matematicianul nu este dispus să renunțe la interesul său pentru cele mai frumoase realizări ale geniului său. [Cititorul poate fi interesat, în acest context, de comentariile mai degrabă răutăcioase ale lui Hilbert despre intuiționismul care "încearcă să rupă în bucăți și
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
este adevărat că cele alese nu au fost selectate arbitrar dintr-o listă de termeni matematici, ci, în multe dacă nu în majoritatea cazurilor, ele au fost dezvoltate independent de către fizician și recunoscute apoi ca fiind concepute mai înainte de către matematician. Nu este adevărat, totuși, așa cum adesea s-a afirmat, că acest lucru a trebuit să se întâmple deoarece matematica folosește cele mai simple noțiuni posibile și acestea au trebuit să apară în orice formalism. Așa cum am văzut mai înainte, noțiunile
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
sale. [A se vedea, de exemplu, R.H. Dicke, Am. Sci., 25 (1959).] Desigur, exemplul legii lui Newton, citată iar și iar, trebuie să fie menționat mai întâi ca un exemplu monumental de lege, formulată în termeni ce par simpli pentru matematician, care s-a dovedit precisă dincolo de toate așteptările rezonabile. Să recapitulăm punctul nostru de vedere în privința acestui exemplu: în primul rând, legea în special deoarece în ea apare o a doua derivată este simplă doar pentru matematician, nu și pentru
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
par simpli pentru matematician, care s-a dovedit precisă dincolo de toate așteptările rezonabile. Să recapitulăm punctul nostru de vedere în privința acestui exemplu: în primul rând, legea în special deoarece în ea apare o a doua derivată este simplă doar pentru matematician, nu și pentru bunul-simț sau pentru mintea neformată matematic a începătorilor; în al doilea rând, este o lege condițională cu un domeniu de aplicare foarte limitat. Ea nu explică nimic despre pământul care atrage pietrele lui Galileo, sau despre forma
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
este cel al mecanicii cuantice elementare obișnuite. Ea a început când Max Born a observat că anumite reguli de calcul, date de Heisenberg, au fost în mod formal identice cu regulile calculului cu matrici, stabilite cu mult timp înainte de către matematicieni. Born, Jordan și Heisenberg au propus apoi să înlocuiască variabilele de poziție și impuls ale ecuațiilor mecanicii clasice cu matrici. Ei au aplicat regulile mecanicii matriciale la câteva probleme extrem de simplificate și rezultatele au fost destul de satisfăcătoare. Cu toate acestea
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Eseul laureatului premiului Nobel pentru fizică (1963) Eugene Wigner (1902-1995), publicat în 1960, este un articol clasic de filosofie a matematicii, care a consacrat sintagma "irezonabila eficiență a matematicii" și a suscitat de atunci numeroase controverse și atitudini atât din partea matematicienilor, cât și a filosofilor. De fapt, acest eseu este o polemică cordială peste secole cu celebrul dicton atribuit lui Galileo Galilei: "Legile naturii sunt scrise în limbaj matematic". Succesele răsunătoare ale mecanicii newtoniene prima disciplină științifică pe deplin matematizată și
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mirarea lui E. Wigner privind eficiența surprinzătoare a matematicii în fizică este mai degrabă retorică și pare a proveni dintr-un punct de vedere unilateral asupra matematicii privite ca sistem formal abstract derivat deductiv dintr-un set finit de axiome. Matematicienii care s-au pronunțat asupra esenței raționamentului matematic ca instrument al cunoașterii, în primul rând Henri Poincaré, la începutul secolului XX, au subliniat faptul că raționamentul matematic nu se reduce la logică și că forța sa provine nu atât din
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Irezonabila eficiență a matematicii 7 R.W. Hamming Prolog Din titlu, se vede că este vorba de o discuție filosofică. Nu mă voi scuza pentru această filosofie, deși sunt conștient de faptul că cei mai mulți dintre oamenii de știință, ingineri și matematicieni, au puțină considerație pentru ea; în schimb, voi prezenta acest scurt prolog pentru a justifica această abordare. Omul, atât cât cunoaștem până acum, și-a pus întotdeauna întrebări despre sine, despre lumea din jurul său și despre ce este viața. Avem
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
întrebarea pe care am pus-o efectiv în titlu: "De ce este matematica atât de irerezonabil de eficientă?" Punând această întrebare, căutăm mai mult în partea de logică și mai puțin în partea materială ce este universul și cum funcționează el. Matematicienii care lucrează la fundamentele matematicii sunt preocupați, în principal, de auto-compatibilitățile și limitările sistemului. Nu par preocupați să afle de ce universul admite, aparent, o explicație logică. Într-un fel, mă aflu în postura unui filosof grec din vechime care își
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
susțin experții în domeniu că sunt; haideți să adoptăm o atitudine științifică și să vedem ce sunt ele. Sunt conștient de faptul că mare parte din ceea ce voi spune, în special despre natură și matematică, îi va plictisi pe mulți matematicieni. Abordarea mea experimentală este destul de străină de mentalitatea și prejudecățile lor. Asta este! Inspirația pentru acest articol mi-a venit de la un articol similar, intitulat Irezonabila eficiență a matematicii în științele naturale 8, al lui E.P. Wigner. De notat că
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Hertz. Sunt binecunoscute multe alte exemple care au prezis cu succes efecte fizice necunoscute prin intermediul formulărilor matematice, de aceea nu mai trebuie să le repet aici. Rolul fundamental al invarianței este subliniat de Wigner. Este un fapt de bază pentru matematicieni, ca și pentru știință. Lipsa invarianței la ecuațiile lui Newton (nevoia unui cadru absolut de referință pentru viteze) i-a condus pe Lorentz, Fitzgerald, Poincaré și Einstein la extraordinara teorie a relativității. Și Wigner observă că aceleași concepte matematice se
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Nil, dar eu o atribui mult mai mult esteticii și, respectiv, mult mai puțin utilității imediate, decât o fac cei mai mulți istorici ai matematicii. Al treilea aspect al matematicii, numerele, a apărut în urma calculului. Atât de fundamentale sunt numerele, încât un matematician celebru a spus odată că "Dumnezeu a făcut întregii, omul a făcut restul"10. Întregii ni se par atât de fundamentali, încât ne așteptăm să-i găsim oriunde găsim viață inteligentă în univers. Am încercat, cu puțin succes, să-i
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
dacă nu din altă parte, că logicienii pot crea postulate care pun și alte entități pe axa reală, dar până acum puțini dintre noi au dorit să parcurgă mai adânc această cale. Este corect să menționez doar că există unii matematicieni care se îndoiesc de existența sistemului de numere reale convenționale. Câțiva teoreticieni ai computerelor recunosc doar existența "numerelor ce pot fi calculate". Următorul pas în discuția noastră îl constituie sistemul de numere complexe. Așa cum am aflat din istorie, Cardan a
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
larg răspândite și puternice. Așadar, vă rog să fiți atenți. Am luat mai devreme exemplul omului de știință dintr-un motiv întemeiat. Pentru mine, Pitagora este primul mare fizician. El a fost cel care a descoperit că trăim în ceea ce matematicienii numesc L2 suma pătratelor celor două laturi unui triunghi dreptunghic ne dă pătratul ipotenuzei. Așa cum am afirmat mai înainte, acesta nu este un rezultat al postulatului geometriei, ci este unul din rezultatele care modelează postulatele. Să-l luăm apoi pe
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
arbitrare, ci pe cele care sunt esențiale pentru fizică. În ultimul timp, cel care a proclamat răspicat simplitatea legilor fizicii a fost Einstein, care a folosit matematica în mod atât de exclusivist, încât a ajuns să fie foarte recunoscut ca matematician. Atunci când analizăm lucrarea sa despre teoria specială a relativității, ni se pare că avem de a face cu abordarea unui filosof scolastic. El știa dinainte cum ar fi trebuit să arate teoria, de aceea a explorat teoriile cu instrumentele matematice
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
bune ca acelea ale grecilor antici, care au afirmat pentru latura materială a întrebării că natura universului este pământ, foc, apă și aer. Latura logică a naturii universului are încă nevoie de explorare. Comentarii Aflăm din acest articol opiniile unui matematician provenit din sfera matematicii aplicate despre "irezonabila eficiență a matematicii", articolul fiind unul dintre ecourile provocate de conferința lui E. Wigner prezentată anterior. Ca matematician, care, de regulă, își apără știința sa de scepticismul altor oameni de știință și este
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
a naturii universului are încă nevoie de explorare. Comentarii Aflăm din acest articol opiniile unui matematician provenit din sfera matematicii aplicate despre "irezonabila eficiență a matematicii", articolul fiind unul dintre ecourile provocate de conferința lui E. Wigner prezentată anterior. Ca matematician, care, de regulă, își apără știința sa de scepticismul altor oameni de știință și este mândru de forța instrumentului matematic, autorul acestui articol, deși evidențiază rolul matematicii în știința contemporană, se arată totuși mai critic decât Eugene Wigner în ceea ce privește eficiența
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care s-au îndepărtat aparent de tradițiile clasice ale conviețuirii fizicii cu matematica. Vom regăsi dezbătute aceste aspecte în articolul care urmează. Sunt interesante, deși discutabile, și opiniile autorului privitoare la rolul fundamentelor (postulate, axiome) în construcția matematică. De fapt, matematicianul nu se poate desprinde de fundamentele logice ale științei sale, și nici nu se poate dedica exclusiv raționamentului empiric. Axiomele sau postulatele sunt definiții ale noțiunilor care operează în matematică și fără de care domeniul nu ar avea o consistență științifică
Matematica și cunoașterea științifică by Viorel Barbu () [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]