3,733 matches
-
un pic cam scurt; rigla de un centimetru depășește foarte puțin colțul pătratului. Dar să încercăm și altfel. Haideți să împărțim dreptele în segmente și mai mici cu ajutorul, să zicem, al unei rigle cu lungimea de 1/3 centimetri. Latura pătratului este împărțită în 72 de segmente, în timp ce diagonala cuprinde mai mult de 101, dar mai puțin de 102 segmente. Din nou, măsurătoarea nu este perfectă. Ce se întâmplă când încercăm cu segmente cu adevărat mici, egale cu a milioana parte
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
de segmente, în timp ce diagonala cuprinde mai mult de 101, dar mai puțin de 102 segmente. Din nou, măsurătoarea nu este perfectă. Ce se întâmplă când încercăm cu segmente cu adevărat mici, egale cu a milioana parte dintr-un centimetru? Latura pătratului cuprinde 24 de milioane de segmente, iar diagonala ceva mai puțin de 33 941 126 de segmente. Încă o dată, un etalon nu se poate potrivi în mod exact cu cele două drepte. Indiferent ce am folosi, măsurătoarea noastră nu pare
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
imposibil să alegi un etalon comun, care să fie cuprins perfect în lungimile laturii și diagonalei în același timp: diagonala și latura sunt incomensurabile. Însă fără un etalon comun, este imposibil să exprimăm raportul lungimilor celor două drepte. Pentru un pătrat cu latura unu, asta înseamnă că nu putem alege numerele naturale a și b astfel încât diagonala pătratului să poată fi exprimată sub forma a/b. Cu alte cuvinte, diagonala acelui pătrat este irațională - și astăzi, noi recunoaștem numărul care o
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
același timp: diagonala și latura sunt incomensurabile. Însă fără un etalon comun, este imposibil să exprimăm raportul lungimilor celor două drepte. Pentru un pătrat cu latura unu, asta înseamnă că nu putem alege numerele naturale a și b astfel încât diagonala pătratului să poată fi exprimată sub forma a/b. Cu alte cuvinte, diagonala acelui pătrat este irațională - și astăzi, noi recunoaștem numărul care o exprimă ca fiind ca rădăcina pătrată a lui doi. Problema aceasta a creat dificultăți doctrinei pitagoreice. Cum
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
să exprimăm raportul lungimilor celor două drepte. Pentru un pătrat cu latura unu, asta înseamnă că nu putem alege numerele naturale a și b astfel încât diagonala pătratului să poată fi exprimată sub forma a/b. Cu alte cuvinte, diagonala acelui pătrat este irațională - și astăzi, noi recunoaștem numărul care o exprimă ca fiind ca rădăcina pătrată a lui doi. Problema aceasta a creat dificultăți doctrinei pitagoreice. Cum putea natura fi guvernată de rapoarte și proporții, când ceva atât de simplu precum
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
irațională - și astăzi, noi recunoaștem numărul care o exprimă ca fiind ca rădăcina pătrată a lui doi. Problema aceasta a creat dificultăți doctrinei pitagoreice. Cum putea natura fi guvernată de rapoarte și proporții, când ceva atât de simplu precum un pătrat era în stare să creeze un haos în limbajul lor matematic? Ideea era greu acceptabilă pentru pitagoricieni, însă nu putea fi contestată - era o consecință a legilor matematice pe care ei le îndrăgeau atât de mult. Una dintre primele demonstrații
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
matematic? Ideea era greu acceptabilă pentru pitagoricieni, însă nu putea fi contestată - era o consecință a legilor matematice pe care ei le îndrăgeau atât de mult. Una dintre primele demonstrații matematice din istorie se referea la incomensurabilitatea/iraționalitatea diagonalei unui pătrat. Iraționalul era periculos pentru Pitagora, deoarece amenința baza universului său, clădit pe rapoarte. Și, pentru a face lucrurile și mai greu de suportat, pitagoricienii au descoperit în curând că raportul de aur, simbolul pitagoreic absolut al frumuseții și raționalității, era
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
Indienii au împrumutat puțin din geometria grecească. Se pare că nu au manifestat un interes foarte mare pentru figurile plane, pe care grecii le-au iubit atât de mult. Nu și-au pus niciodată problema raționalității sau iraționalității diagonalei unui pătrat și nici nu au cercetat vreodată conicele, așa cum făcuse Arhimede. Dar au învățat să se joace cu numerele. Sistemul indian le permitea utilizatorilor să folosească diverse tertipuri pentru a aduna, scădea, înmulți și împărți numerele fără ajutorul unui abac. Fiind
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
util pentru adunările și înmulțirile din activitatea cotidiană, impactul adevărat al cifrelor indiene a fost mult mai puternic. Numerele se detașaseră, în sfârșit, de geometrie; ele nu mai erau utilizate doar pentru a măsura obiecte. Spre deosebire de greci, indienii nu vedeau pătrate în numerele pătratice sau arii de dreptunghiuri în produsul a două valori diferite. În schimb, vedeau interdependența dintre cifre și numere, golite de semnificația lor geometrică. Așa s-a născut ceea ce cunoaștem noi sub denumirea de algebră. Deși stilul lor
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
să o facă în curând, în locul său.) Descartes a înțeles repede cât de important era sistemul său de coordonate. El îl folosea pentru a transforma figuri și forme geometrice în ecuații și numere; cu ajutorul coordonatelor carteziene, acestea, fie că erau pătrate, triunghiuri sau linii curbe, puteau fi reprezentate printr-o ecuație, printr-o relație matematică. De exemplu, un cerc cu centrul în origine poate fi definit cu ajutorul tuturor punctelor care satisfac relația x2 + y2 - 1 = 0. O parabolă poate fi scrisă
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
sine și finalitatea lui. În acest fel, se evită utilizarea de infinități și de zerouri. Așa cum subcursele lui Ahile sunt finite, fiecare sumă parțială dintr-o limită este finită. Puteți să le adunați, să le împărțiți, să le ridicați la pătrat; puteți face tot ce doriți. Regulile matematicii continuă să funcționeze, deoarece totul este finit. Apoi, după ce efectuați toate operațiile, luați în considerare limita: extrapolați și aflați unde se termină expresia. Uneori, nu există nici o limită. De exemplu, suma infinită a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
făceau Newton și Leibniz, matematicienii moderni împart la un număr pe care îl lasă să tindă spre zero. Fac împărțirea - perfect legal, din moment ce nu există zerouri - și apoi iau în considerare limita. Șiretlicurile de a face dispărute infinitezimalele ridicate la pătrat, pentru ca apoi să se efectueze împărțirea la zero, în vederea obținerii derivatei, nu mai erau necesare (vezi anexa C). Această logică poate semăna cu despicarea firului în patru, cu un argument la fel de mistic ca și „fantomele“ lui Newton, însă în realitate
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
obții două rezultate ridicole: + √-1 și - √-1 Aceste expresii par a nu avea nici un sens. Matematicianul indian Bhaskara scria în secolul al XII-lea că „nu există rădăcina pătrată a unui număr negativ, deoarece un număr negativ nu este un pătrat“. Ceea ce înțelesese Bhaskara și alții era că atunci când ridici un număr pozitiv la pătrat, obții un număr pozitiv; 2 ori 2 fac 4, de exemplu. Când ridici un număr negativ la pătrat, obții tot un număr pozitiv: -2 ori -2
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
sens. Matematicianul indian Bhaskara scria în secolul al XII-lea că „nu există rădăcina pătrată a unui număr negativ, deoarece un număr negativ nu este un pătrat“. Ceea ce înțelesese Bhaskara și alții era că atunci când ridici un număr pozitiv la pătrat, obții un număr pozitiv; 2 ori 2 fac 4, de exemplu. Când ridici un număr negativ la pătrat, obții tot un număr pozitiv: -2 ori -2 este egal tot cu 4. Când îl ridici pe zero la pătrat, obții zero
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
negativ, deoarece un număr negativ nu este un pătrat“. Ceea ce înțelesese Bhaskara și alții era că atunci când ridici un număr pozitiv la pătrat, obții un număr pozitiv; 2 ori 2 fac 4, de exemplu. Când ridici un număr negativ la pătrat, obții tot un număr pozitiv: -2 ori -2 este egal tot cu 4. Când îl ridici pe zero la pătrat, obții zero. Numerele pozitive, numerele negative și zero dau pătrate ne-negative, iar aceste trei posibilități acoperă întregul șir numeric
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
pozitiv la pătrat, obții un număr pozitiv; 2 ori 2 fac 4, de exemplu. Când ridici un număr negativ la pătrat, obții tot un număr pozitiv: -2 ori -2 este egal tot cu 4. Când îl ridici pe zero la pătrat, obții zero. Numerele pozitive, numerele negative și zero dau pătrate ne-negative, iar aceste trei posibilități acoperă întregul șir numeric. Asta înseamnă că, în șirul numeric, nu există nici un număr care să-ți dea un rezultat negativ atunci când este ridicat
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
fac 4, de exemplu. Când ridici un număr negativ la pătrat, obții tot un număr pozitiv: -2 ori -2 este egal tot cu 4. Când îl ridici pe zero la pătrat, obții zero. Numerele pozitive, numerele negative și zero dau pătrate ne-negative, iar aceste trei posibilități acoperă întregul șir numeric. Asta înseamnă că, în șirul numeric, nu există nici un număr care să-ți dea un rezultat negativ atunci când este ridicat la pătrat. Rădăcina pătrată a unui număr negativ părea a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
zero. Numerele pozitive, numerele negative și zero dau pătrate ne-negative, iar aceste trei posibilități acoperă întregul șir numeric. Asta înseamnă că, în șirul numeric, nu există nici un număr care să-ți dea un rezultat negativ atunci când este ridicat la pătrat. Rădăcina pătrată a unui număr negativ părea a fi un concept ridicol. Descartes credea că aceste numere sunt chiar mai rele decât numerele negative; a dat și o denumire ironică rădăcinilor pătrate ale numerelor negative: numere imaginare. Denumirea aceasta a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
-lea, precum Filippo Brunelleschi și Leonardo da Vinci, care au descoperit cum să deseneze în mod realist - în perspectivă. Când într-o pictură „paralelele“ converg către punctul de fugă, observatorii sunt păcăliți să creadă că liniile nu se întâlnesc niciodată. Pătratele de pe podea devin trapezoidale într-o pictură; totul este puțin distorsionat, însă pare perfect normal pentru ochiul privitorului. Aceasta este proprietatea unui punct aflat la distanță infinit de mare - a unui zero de la infinit. Johannes Kepler, omul care a descoperit
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
ne-a furnizat multe informații referitoare la comportamentul acestui gen de numere. Se dă, de exemplu, numărul i. Unghiul dintre i și axa x este de 90 de grade (Figura 33). Ce se întâmplă atunci când îl ridici pe i la pătrat? Ei bine, din definiție, i2 = -1, un punct al cărui unghi este de 180 de grade față de axa x; unghiul s-a dublat. Numărul i3 este egal cu -i, aflat la 270 de grade față de axa x; unghiul s-a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
înghițirea“ tuturor numerelor. Ca într-un coșmar maniheist, cele două se află situate la poli opuși pe sfera numerică, absorbind numerele ca niște mici găuri negre. Luați orice număr din plan. De dragul argumentării, vom alege i/2. Ridicați-l la pătrat. Ridicați-l la puterea a treia. Ridicați-l la puterea a patra. La a cincea. La a șasea. La a șaptea. Continuați să-l înmulțiți cu sine însuși. Încet, încet, el coboară în spirală către zero, precum apa într-un
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
a cincea. La a șasea. La a șaptea. Continuați să-l înmulțiți cu sine însuși. Încet, încet, el coboară în spirală către zero, precum apa într-un canal de scurgere. Ce se întâmplă cu 2i? Exact opusul. Ridicați-l la pătrat. Ridicați-l la puterea a treia. Ridicați-l la puterea a patra. Spirala descrisă de el este inversă: merge înspre exterior (Figura 41). Dar, pe sfera numerică, fiecare dintre aceste două curbe este o copie fidelă a celeilalte; sunt imagini
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
de atracție a lui zero, cât și a infinitului, se învârtesc la nesfârșit pe ecuator, incapabile să scape vreodată de efectul vreuneia dintre cele două forțe. (Puteți vizualiza acest fenomen pe calculator. Scrieți un număr - orice număr. Ridicați-l la pătrat. Ridicați-l din nou la pătrat. Repetați operația de cât mai multe ori; numărul se va îndrepta rapid către infinit sau către zero, cu excepția cazului în care începeți experimentul cu 1 sau -1. Pentru ele, nu există scăpare.) Zeroul cel
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
și a infinitului, se învârtesc la nesfârșit pe ecuator, incapabile să scape vreodată de efectul vreuneia dintre cele două forțe. (Puteți vizualiza acest fenomen pe calculator. Scrieți un număr - orice număr. Ridicați-l la pătrat. Ridicați-l din nou la pătrat. Repetați operația de cât mai multe ori; numărul se va îndrepta rapid către infinit sau către zero, cu excepția cazului în care începeți experimentul cu 1 sau -1. Pentru ele, nu există scăpare.) Zeroul cel egal cu infinitul Teoria mea este
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
un calcul atât de complicat. Obiectele cu forme neregulate pot fi foarte greu măsurate. De exemplu, imaginați-vă că aveți o pată pe parchet. Ce suprafață ocupă pata? Nu este evident. Dacă pata ar avea forma unui cerc, a unui pătrat sau a unui triunghi, ar putea fi ușor de dedus; am lua o riglă și i-am măsura raza sau înălțimea și baza. Dar nu există nici o formulă pentru a calcula aria unui dezastru sub formă de amibă. Totuși, există
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]