2,111 matches
-
Elemente" a lui Euclid (Cartea I, Propoziția 48): Dacă într-un triunghi pătratul unei dintre laturi este egal cu suma pătratelor laturilor rămas ale triunghiului, atunci unghiul dintre celelalte două laturi ale triunghiului este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
este drept." Poate fi demonstrată folosindu-se teorema cosinusului după cum urmează: Fie "ABC" un triunghi cu laturile "a", "b" și "c" cu proprietatea că Fie un al doilea triunghi de lungime "a" și "b", ce conține un unghi drept. Conform teoremei lui Pitagora, rezultă că ipotenuza acestui triunghi are lungimea laturii "c" = , la fel cu ipotenuza primului triunghi. Din moment ce laturile ambelor triunghiuri au aceleași lungimi "a", "b" și "c", triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
aceleași lungimi "a", "b" și "c", triunghiurile sunt congruente și trebuie să aibă aceleași unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime "a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie "c
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
unghiuri. Astfel, unghiul dintre laturile de lungime "a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie "c" cea mai lungă dintre cele trei laturi și (altfel nu există acest triunghi conform
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
a" și "b" din triunghiul original este un unghi drept. Demonstrația reciprocii de mai sus face apel însuși la teorema lui Pitagora, dar reciproca poate fi demonstrată și fără să se utilizeze această teoremă. Un corolar ce derivă din reciproca teoremei lui Pitagora este o metodă simplă de a determina dacă un triunghi este dreptunghic, obtuzunghic sau ascuțitunghic. Fie "c" cea mai lungă dintre cele trei laturi și (altfel nu există acest triunghi conform inegalității triunghiului). Atunci, sunt adevărate următoarele relații
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
care "a", "b" și "c" sunt prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al lui "a", "b" și "c" este 1). Următoarea este o listă de triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât 100: Una dintre urmările teoremei lui Pitagora este aceea că dreptele a căror lungimi sunt "incomensurabile" (adică raportul dintre ele nu este un număr rațional) pot fi construite cu ajutorul riglei și compasului. Teorema lui Pitagora oferă posibilitatea construirii unor segmente de lungimi incomensurabile deoarece ipotenuza
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
triplete pitagoreice primitive cu valori mai mici decât 100: Una dintre urmările teoremei lui Pitagora este aceea că dreptele a căror lungimi sunt "incomensurabile" (adică raportul dintre ele nu este un număr rațional) pot fi construite cu ajutorul riglei și compasului. Teorema lui Pitagora oferă posibilitatea construirii unor segmente de lungimi incomensurabile deoarece ipotenuza unui triunghi este legată de operația numită rădăcină pătrată. În figura din dreapta este ilustrat modul de construcție al unui segment a cărui lungime este rădăcina pătrată a oricărui
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
al unui segment a cărui lungime este rădăcina pătrată a oricărui număr întreg pozitiv, prin referire la alte două segmente. Fiecare triunghi are o latură (numerotată cu "1") care este aleasă ca unitate de măsură. În fiecare dintre triunghiurile dreptunghice, teorema lui Pitagora stabilește lungimea ipotenuzei în conformitate cu unitatea. Dacă ipotenuza se calculează prin rădăcina pătrată a sumei catetelor (a căror valori sunt: unitatea iar alta orice număr natural) și suma nu este un pătrat perfect, atunci desenul ipotenuzei reprezintă trasarea unei
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
poate fi generalizată pentru găsirea distanței dintre două punte, cum ar fi "z" și "z". Distanța căutată este dată de relația care din nou este o versiune a relației pitagorice, Formula pentru distanță aplicabilă în coordonate carteziene este derivată din teorema lui Pitagora. Dacă și sunt puncte dintr-un plan, atunci distanța dintre ele, de asemenea cunoscută și ca distanță euclidiană, este dată de formula: Mai general, într-un spațiu euclidian de ordinul "n", distanța euclidiană dintre două puncte, formula 34 și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
puncte dintr-un plan, atunci distanța dintre ele, de asemenea cunoscută și ca distanță euclidiană, este dată de formula: Mai general, într-un spațiu euclidian de ordinul "n", distanța euclidiană dintre două puncte, formula 34 și formula 35, este definită, prin generalizarea teoremei lui Pitagora, ca: Dacă nu sunt folosite coordonatele carteziene și, de exemplu, sunt folosite coordonate polare în două dimensiuni, formulele ce exprimă distanța euclidiană sunt mult mai complicate decât teorema lui Pitagora, dar pot fi derivate plecând de la aceasta. Un
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
dintre două puncte, formula 34 și formula 35, este definită, prin generalizarea teoremei lui Pitagora, ca: Dacă nu sunt folosite coordonatele carteziene și, de exemplu, sunt folosite coordonate polare în două dimensiuni, formulele ce exprimă distanța euclidiană sunt mult mai complicate decât teorema lui Pitagora, dar pot fi derivate plecând de la aceasta. Un exemplu tipic în care distanța dintre două puncte este convertită în coordonate curbilinii poate fi găsit în cadrul aplicațiilor polinomialelor lui Legendre în fizică. Formulele pot fi deduse folosindu-se teorema
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
teorema lui Pitagora, dar pot fi derivate plecând de la aceasta. Un exemplu tipic în care distanța dintre două puncte este convertită în coordonate curbilinii poate fi găsit în cadrul aplicațiilor polinomialelor lui Legendre în fizică. Formulele pot fi deduse folosindu-se teorema lui Pitagora cu ecuațiile ce fac legătura dintre coordonatele curbilinii și cele carteziene. De exemplu, coordonatele polare pot fi scrise ca: Cele două puncte cu locațiile și sunt separate de distanța "s": Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
locațiile și sunt separate de distanța "s": Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate, formula lui Pitagora în coordonate carteziene produce separarea în coordonate polare după cum urmează: folosind formule pentru identitățile produselor prin sumă. Această formulă este cunoscută ca teorema cosinusului, câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată. Într-un triunghi drept cu catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
distanța "s": Combinând termeni și rezolvând diferite operații în pătrate, formula lui Pitagora în coordonate carteziene produce separarea în coordonate polare după cum urmează: folosind formule pentru identitățile produselor prin sumă. Această formulă este cunoscută ca teorema cosinusului, câteodată numită și Teorema lui Pitagora Generalizată. Într-un triunghi drept cu catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
lui Pitagora Generalizată. Într-un triunghi drept cu catetele "a", "b" și ipotenuza "c", din punct de vedere trigonometric sunt determinate sinusul și cosinusul unghiului "θ" dintre latura "a" și ipotenuză astfel: De unde se deduce că: unde ultima ecuație aplică teorema lui Pitagora. Această relație dintre sinus și cosinus este câteodată denumită identitatea trigonometrică pitagoreică fundamentală. În triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
triunghiuri asemenea, raportul dintre laturi este același indiferent de mărimile lor, și depinde de unghiuri. Astfel, în figură, triunghiul cu ipotenuza de mărime egală cu 1 are cateta opusă de mărimea sin "θ" și cateta alăturată de mărimea cos "θ". Teorema lui Pitagora are o legătură strânsă și cu produsul vectorial și cu produsul scalar: Această relație poate fi privită prin definiția produsului vectorial și scalar ca: unde n este un vector unitate normal pentru a și b. Relația se deduce
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
prin identitatea trigonometrică pitagoreică. Aceasta poate fi de asemenea definită și prin produs scalar. Prin rearanjarea ecuației următoare se obține: Această relație poate fi considerată ca o condiție în produsul scalar și astfel parte din definiția sa. O generalizare a teoremei lui Pitagora are la bază pătratele plasate pe un triunghi dreptunghic. Proprietățile referitoare la figurile asemenea plasate pe laturile unui triunghi erau cunoscute deja de Hipocrate din Chios din secolul V î.Hr., și a fost inclusă de Euclid în lucrarea
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
mare (ipotenuză). Această extindere asumă faptul că laturile triunghiului original sunt laturile corespondente ale celor trei figuri congruente (așadar raportul dintre laturile figurilor asemenea de pe triunghi este "a:b:c"). Dacă demonstrația lui Euclid avea aplicabilitate numai pe poligoanele convexe, teorema se aplică de asemenea și poligoanelor concave și chiar figurilor asemenea cu margini curbe (dar care au o parte din figură legată de una dintre laturile triunghiului). Ideea de bază a acestei generalizări este aceea că suprafața unei figuri plane
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
plane este proporțională cu pătratul oricărei dimensiuni liniare, și în particular este proporțională cu pătratul lungimii oricărei laturi. Astfel, dacă figurile asemenea de laturi "A", "B" și "C" sunt construite cu lungimile corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C" pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
corespunzătoare "a", "b" și "c", atunci: Dar, conform teoremei lui Pitagora, "a" + "b" = "c", așadar "A" + "B" = "C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C" pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze invers pentru a se realiza o demonstrație a teoremei. De exemplu, triunghiul central poate fi replicat și folosit ca un triunghi "C" pe ipotenuza sa, și două triunghiuri dreptunghice asemenea ("A" și
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
C". În schimb, dacă se poate demonstra faptul că este adevărată exoresia "A" + "B" = " C" pentru trei figuri asemenea fără să se folosească teorema lui Pitagora, atunci este posibil să se lucreze invers pentru a se realiza o demonstrație a teoremei. De exemplu, triunghiul central poate fi replicat și folosit ca un triunghi "C" pe ipotenuza sa, și două triunghiuri dreptunghice asemenea ("A" și "B" ) construite pe catetele sale, formate prin divizarea triunghiului central cu ajutorul înălțimii sale. Suma suprafețelor triunghiurilor mai
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
B" ) construite pe catetele sale, formate prin divizarea triunghiului central cu ajutorul înălțimii sale. Suma suprafețelor triunghiurilor mai mici este așadar egală cu suprafața celui de-al treilea triunghi, astfel "A" + "B" = "C" și inversând logica precedentă se ajunge la expresia teoremei lui Pitagora, a + b = c. Se selectează orice unghi al unui triunghi oarecare de laturi "a, b, c", și se înscrie acesta într-un triunghi isoscel astfel încât unghiurile egale de la baza sa, notate cu θ, sunt egale cu unghiul selectat
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
urmare, ABC este asemenea cu reflexia lui "ABD", adică triunghiul "DBA" din partea de jos a figurii. Considerând raportul laturilor opuse și adiacente lui θ, atunci De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi, Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
Considerând raportul laturilor opuse și adiacente lui θ, atunci De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi, Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema lui Pitagora generalizată, care este exprimată astfel: unde θ este unghiul dintre laturile formula 7 și formula 8
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]
-
De asemenea, pentru reflexia celuilalt triunghi, Prin calcule algebrice se ajunge la egalitatea: rezultatul căutat. Teorema rămâne validă dacă unghiul formula 51 este obtuz iar lungimile "r" și "s" nu se suprapun. Teorema lui Pitagora este un caz particular pentru o teorema mai generalizată care exprimă legături dintre laturile oricărui triunghi, numită teorema cosinusului sau, sugestiv, teorema lui Pitagora generalizată, care este exprimată astfel: unde θ este unghiul dintre laturile formula 7 și formula 8. Când θ este de 90 de grade, atunci cos
Teorema lui Pitagora () [Corola-website/Science/298476_a_299805]