1,500 matches
-
categorii, după cum urmează: Rezultanta tuturor forțelor care acționează în și asupra sistemului este egală cu rezultanta forțelor externe, deoarece suma tuturor forțelor interne este nulă. Forțele externe și interne determină evoluția dinamică a sistemului care este riguros determinată prin ansamblul integralelor generale ale sistemului. Într-un sistem de referință inerțial, pentru un sistem de formula 115 puncte materiale libere formula 101, de vectori de poziție formula 117 în raport cu originea unui reper cartezian formula 8, având masele formula 119 , folosind expresia rezultantei forțelor externe respectiv interne ce
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
De regulă, forțele externe formula 125 sunt dependente de vectorii de poziție și viteze respectiv timp formula 126, iar forțele interne formula 104 variază în funcție de poziția mutuală a particulelor formula 128 Integrând succesiv de două ori ecuațiile scalare fundamentale după variabila timp, se obține integrala generală a sistemului:formula 129. Constantele arbitrare care apar în relațiile explicite ale integralei generale se determină prin impunerea condițiilor inițiale expresiei primei și respectiv celei de a doua integrale. Dacă la momentul inițial formula 130 se dau pozițiile și vitezele inițiale
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
respectiv timp formula 126, iar forțele interne formula 104 variază în funcție de poziția mutuală a particulelor formula 128 Integrând succesiv de două ori ecuațiile scalare fundamentale după variabila timp, se obține integrala generală a sistemului:formula 129. Constantele arbitrare care apar în relațiile explicite ale integralei generale se determină prin impunerea condițiilor inițiale expresiei primei și respectiv celei de a doua integrale. Dacă la momentul inițial formula 130 se dau pozițiile și vitezele inițiale ale celor formula 115 puncte, se pot scrie formula 132 ecuații scalare:formula 133. rezolvarea acestui
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
de două ori ecuațiile scalare fundamentale după variabila timp, se obține integrala generală a sistemului:formula 129. Constantele arbitrare care apar în relațiile explicite ale integralei generale se determină prin impunerea condițiilor inițiale expresiei primei și respectiv celei de a doua integrale. Dacă la momentul inițial formula 130 se dau pozițiile și vitezele inițiale ale celor formula 115 puncte, se pot scrie formula 132 ecuații scalare:formula 133. rezolvarea acestui sistem de formula 132 ecuații algebrice conduce la determinarea constantelor formula 135. Prin cunoașterea unor integrale prime pentru
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
a doua integrale. Dacă la momentul inițial formula 130 se dau pozițiile și vitezele inițiale ale celor formula 115 puncte, se pot scrie formula 132 ecuații scalare:formula 133. rezolvarea acestui sistem de formula 132 ecuații algebrice conduce la determinarea constantelor formula 135. Prin cunoașterea unor integrale prime pentru sistemul punctelor materiale simplifică problema integrării ecuațiilor diferențiale ale mișcării. Forțele interne și externe, acționând asupra punctelor materiale individuale ce compun sistemul, își produc efectul prin schimbarea impulsului punctelor. Suma impulsurilor punctelor materiale se numește "impulsul total al
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
total rezultă "legea conservării momentului cinetic total" potrivit căreia: momentul cinetic total al unui sistem de puncte materiale se conservă dacă momentul rezultant al forțelor externe aplicate sistemului este nulă:formula 170 Aceasta este o integrală primă vectorială echivalentă cu trei integrale prime scalare formula 171. Lucrul mecanic elementar al rezultantei tuturor forțelor (externe și interne) formula 155 care acționează asupra unui punct formula 157 de masă formula 174 din sistemul de puncte materiale se poate da prin relația: formula 175 , prin însumarea acestor cantități se găsește
Teoreme generale ale mecanicii () [Corola-website/Science/319681_a_321010]
-
ca punctul reprezentativ al stării sistemului să se afle în interiorul volumului elementar formula 27 situat la coordonate canonice formula 9 este Densitatea de probabilitate este o funcție în spațiul fazelor, care nu poate lua valori negative și tinde spre zero la infinit. Integrala ei pe întreg spațiul fazelor satisface condiția care rezultă din regula de sumare a probabilităților și exprimă certitudinea că punctul reprezentativ se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
de sumare a probabilităților și exprimă certitudinea că punctul reprezentativ se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul unei traiectorii în spațiul fazelor; se spune că ea e o "integrală primă" a ecuațiilor canonice. Un sistem hamiltonian admite formula 33 integrale prime care nu depind explicit de timp, una dintre ele fiind energia, adică hamiltoniana (2). Densitatea de probabilitate va fi deci o funcție de hamiltoniana formula 34 și de alte formula 35 integrale
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
se află în spațiul fazelor. Din teorema lui Liouville rezultă că densitatea de probabilitate este constantă de-a lungul unei traiectorii în spațiul fazelor; se spune că ea e o "integrală primă" a ecuațiilor canonice. Un sistem hamiltonian admite formula 33 integrale prime care nu depind explicit de timp, una dintre ele fiind energia, adică hamiltoniana (2). Densitatea de probabilitate va fi deci o funcție de hamiltoniana formula 34 și de alte formula 35 integrale prime independente de timp. Pentru a reprezenta la scară microscopică
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
loc la scară microscopică duce la concluzia că densitatea de probabilitate depinde exponențial de energia sistemului, adică de hamiltoniană. Se obține distribuția "canonică" Pentru a satisface condiția de normare (5), parametrul formula 56 trebuie să fie pozitiv, iar cantitatea formula 57 numită "integrală de stare" sau "funcție de partiție", are valoarea Dacă sistemul constă din mai multe componente, între care are loc atât transfer de energie cât și transfer de substanță, este convenabilă descrierea sa printr-un colectiv statistic macrocanonic, care este o colecție
Mecanică statistică () [Corola-website/Science/319326_a_320655]
-
ci o "funcție generalizată" (sau o "distribuție"). Poartă numele fizicianului englez P.A.M. Dirac care a utilizat-o extensiv în formularea sa a mecanicii cuantice, dar prezența ei în matematică este mai veche și e de exemplu implicită în folosirea integralei Stieltjes. Introducerea ei simplifică considerabil prezentările diferitelor capitole ale fizicii matematice. Descrierea matematică riguroasă a statutului funcției lui Dirac (și a altor funcții generalizate) este datorită lui Laurent Schwartz. Calitativ, funcția delta poate fi concepută ca o funcție care este
Funcția lui Dirac () [Corola-website/Science/315680_a_317009]
-
Schwartz. Calitativ, funcția delta poate fi concepută ca o funcție care este egală cu "zero" peste tot, cu excepția lui x=0 unde este "infinită", dar astfel încât pentru orice interval care conține pe x=0. De aceea se poate afirma că integrala indefinită a funcției Dirac este treapta unitate Heaviside Deci funcția lui Dirac este „derivata” funcției Heaviside. Pentru orice funcție φ(x), continuă în x=0, este adevărat că: Aceasta poate servi ca o definiție posibilă a lui δ(x). Se
Funcția lui Dirac () [Corola-website/Science/315680_a_317009]
-
de undă relevante ale radiației. Are sens să vorbim atunci despre variația în timp a câmpului electric la „poziția” oscilatorului. Pentru început câmpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; variația sa în timp poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier, pe care o scriem, după cum e convenabil:<br>formula 20Este comod de a folosi forma complexă a integralei Fourier:<br>formula 21unde, <br>formula 22 În apropiere de echilibru, ne așteptăm ca E(t) să aibă oscilații neregulate, dar astfel incât, pe
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
poziția” oscilatorului. Pentru început câmpul electric este presupus polarizat paralel cu axa oscilatorului; variația sa în timp poate fi reprezentată printr-o integrală Fourier, pe care o scriem, după cum e convenabil:<br>formula 20Este comod de a folosi forma complexă a integralei Fourier:<br>formula 21unde, <br>formula 22 În apropiere de echilibru, ne așteptăm ca E(t) să aibă oscilații neregulate, dar astfel incât, pe de o parte valoarea medie E într-un interval de timp suficient de lung să fie zero, dar
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
E(t) este finită: dacă E(ω) sunt componentele Fourier ale lui E(t) restrîns la (-T,T), rezultă din Teorema lui Parseval referitoare la transformatele Fourier că :<br>formula 23 Când T→∞, media lui E(t) rămâne finită numai dacă integrala asupra lui e divergentă. De aceea, vom face presupunerea că mărimile:<br>formula 24 sunt bine definite. Rescriem atunci pe E(t) ca:<br>formula 25și avem în vedere situația T foarte mare (T→∞).Remarcăm de asemenea că E=0 (anularea mediei
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
u (nu numai în |uΔt|≤1): acesta este un prim mod ("în medie", adică integrat după frecvențe) de a formula ipoteza „luminii naturale”. Folosind forma (1) a lui E(t) această ipoteză e ușor de interpretat:<br>formula 30pentru u≠0, integrala se anulează din cauza "totalei" neregularități a fazelor φ(ω); când u=0, rezultatul devine infinit când T→∞. Ipoteza de neregularitate privește fazele, dar nu și modulele H(ω). Ipoteza „luminii naturale” a lui Planck cere ca o egalitate ca (IC1
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
infinit când T→∞. Ipoteza de neregularitate privește fazele, dar nu și modulele H(ω). Ipoteza „luminii naturale” a lui Planck cere ca o egalitate ca (IC1) să fie satisfăcută nu numai în medie, ci de fiecare frecvență în parte. Inversând integralele în expresia de mai sus (2.3) pentru E(t), putem scrie:<br>formula 31Max Planck argumentează că funcția I(ω,t) poate fi determinată cu ajutorul unui oscilator „analizator” a cărui energie, grație unui coeficient de amortizare judicios ales, poate urmări
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
lui pe intervalul (-T,T) deducem că <br>formula 33De aici deducem:<br>formula 34 și deci <br>formula 35 Interpretarea este similară:înmulțind Ĩ(ω,u) cu o funcție netedă oarecare de u, dependența total neregulată a fazelor de frecvență face ca integrala să se anuleze, dacă intervalul de integrare nu conține u=0. La u=0, când T->∞,|E(ω)| ->∞ astfel incât efectul este acela al unei funcții δ. Pe de altă parte, |Ē(ω)| variază lent cu ω; aceasta permite ca
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
I(ω,t). În ecuația (IC2) prezența lui E*(ω) (care nu conține variabila de integrare u) face ca produsul E*E să crească proporțional cu T, când T->∞. Dacă lipsește, variația rapidă a fazei lui E(ω) face ca integrala lui E(ω) cu orice funcție f(ω),"lent" variabilă de ω, pentru orice interval Δω:<br>formula 36 Subliniem: relațiile (IC1)-(IC3) nu sunt în nici un fel „deduse”, ci sunt numai o expresie posibilă a ideii noastre de "incoerență". Oscilatorii
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
mai lung; trebuie să folosim expresia (E) a câmpului electric și condiția de incoerență (IC2). Deoarece γ este foarte mic față de ω, integrandul are maxime foarte pronunțate la ω și -ω și numai valorile numărătorului împrejurul acestor puncte contribuie la integrale. Este avantajoasă o integrare prin părți: E(t)dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
la ω și -ω și numai valorile numărătorului împrejurul acestor puncte contribuie la integrale. Este avantajoasă o integrare prin părți: E(t)dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos ωt se anulează Ultimul termen duce la o integrală independentă de timp care (vezi Apendicele) se dovedește a fi: <br>formula 47 Urmărind cartea lui Max Planck, descriem
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
dx(t)=d(x(t)E(t))-x(t)dE(t); un calcul condus cu acuratețe și folosind integralele date în Apendice arată că contribuțiile termenilor conținând pe sin ωt și cos ωt se anulează Ultimul termen duce la o integrală independentă de timp care (vezi Apendicele) se dovedește a fi: <br>formula 47 Urmărind cartea lui Max Planck, descriem acum mișcarea oscilatorului în mod mai detaliat pentru intervale de timp mici; arătăm că energia absorbită oscilează considerabil împrejurul valorii ei medii
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
formula 60unde am folosit faptul ca U este energia de echilibru, și am presupus că radiația externa I(ν) este nepertubată. Pentru integrandul din dS scriem o dezvoltare în serie analogă, împrejurul lui U:<br>formula 61<br>formula 62 Evaluăm în dS integrala după dΩ și, folosind (7.2),(7.6) obținem pentru variația totală de entropie în timpul dt:<br>formula 63<br>formula 64 unde am folosit :<br>formula 65Această variație poate fi numai pozitivă; cum ΔU are un semn arbitrar, deducem că S(U
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
Implicit ea apare în discuția difuziei undelor electromagnetice la trecerea prin medii materiale . Un tratament cuprinzător, cu un interes însă diferit de acela al lucrărilor lui Planck, se gaseste in ultimul capitol al manualului „standard” al lui J.D.Jackson. Următoarele integrale sunt utile:<br>formula 72<br>formula 73 Dacă F(ω) este peste tot diferențiabilă, F(-ω)=F*(ω) și astfel ca integrala să fie convergentă:<br>formula 74
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
de acela al lucrărilor lui Planck, se gaseste in ultimul capitol al manualului „standard” al lui J.D.Jackson. Următoarele integrale sunt utile:<br>formula 72<br>formula 73 Dacă F(ω) este peste tot diferențiabilă, F(-ω)=F*(ω) și astfel ca integrala să fie convergentă:<br>formula 74
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]