281 matches
-
orice "k" ≥ 0. Întrucât resturile scad la fiecare pas dar nu pot fi niciodată negative, un rest "r" trebuie în cele din urmă să fie zero, moment în care algoritmul se oprește. Ultimul rest nenul "r" este cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Numărul "N" nu poate fi infinit deoarece există doar un număr finit de numere nenegative întregi între restul inițial "r" și zero. Corectitudinea algoritmului lui Euclid se poate demonstra în doi pași. La primul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
de numere nenegative întregi între restul inițial "r" și zero. Corectitudinea algoritmului lui Euclid se poate demonstra în doi pași. La primul pas, se arată că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea pas, se arată că orice divizor comun al lui "a" și "b", inclusiv "g", trebuie să-l dividă pe "r"; deci
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se poate demonstra în doi pași. La primul pas, se arată că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea pas, se arată că orice divizor comun al lui "a" și "b", inclusiv "g", trebuie să-l dividă pe "r"; deci, "g" trebuie să fie mai mic sau egal cu "r". Aceste două concluzii sunt
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
că ultimul rest nenul "r" divide atât pe "a" cât și pe "b". Cum este divizor comun, el trebuie să fie mai mic sau egal cu cel mai mare divizor comun "g". În al doilea pas, se arată că orice divizor comun al lui "a" și "b", inclusiv "g", trebuie să-l dividă pe "r"; deci, "g" trebuie să fie mai mic sau egal cu "r". Aceste două concluzii sunt inconsistente doar dacă "r" nu este egal cu "g". Pentru a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
a ecuației. Iterând același argument, "r" divide toate celelalte resturi, inclusiv pe "a" și pe "b". Niciunul din resturile anterioare "r", "r", etc. nu divid pe "a" și pe "b", deoarece toate lasă un rest nenul. Cum "r" este un divizor comun al lui "a" și "b", "r" ≤ "g". În al doilea pas, orice număr natural "c" care divide pe "a" și pe "b" (cu alte cuvinte, orice divizor comun al lui "a" și "b") divide resturile "r". Prin definiție, "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pe "b", deoarece toate lasă un rest nenul. Cum "r" este un divizor comun al lui "a" și "b", "r" ≤ "g". În al doilea pas, orice număr natural "c" care divide pe "a" și pe "b" (cu alte cuvinte, orice divizor comun al lui "a" și "b") divide resturile "r". Prin definiție, "a" și "b" pot fi scrise ca multipli de "c": "a" = "mc" și "b" = "nc", unde "m" și "n" sunt numere naturale. Deci "c" divide restul inițial "r", întrucât
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
și "n" sunt numere naturale. Deci "c" divide restul inițial "r", întrucât "r" = "a" − "q""b" = "mc" − "q""nc" = ("m" − "q""n")"c". O demonstrație analogă arată că "c" divide și celelalte resturi "r", "r", etc. Deci cel mai mare divizor comun "g" divide "r", de unde rezultă că "g" ≤ "r". Întrucât în prima parte a demonstrației s-a arătat că ("r" ≤ " g"), rezultă că "g" = "r". Deci "g" este cel mai mare divizor comun al tuturor perechilor succesive: Pentru ilustrare, algoritmul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
resturi "r", "r", etc. Deci cel mai mare divizor comun "g" divide "r", de unde rezultă că "g" ≤ "r". Întrucât în prima parte a demonstrației s-a arătat că ("r" ≤ " g"), rezultă că "g" = "r". Deci "g" este cel mai mare divizor comun al tuturor perechilor succesive: Pentru ilustrare, algoritmul lui Euclid se poate utiliza pentru a găsi cel mai mare divizor comun al lui "a" = 1071 și "b" = 462. Pentru început, multiplii lui 462 sunt scăzuți din 1071 până rămâne un
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
prima parte a demonstrației s-a arătat că ("r" ≤ " g"), rezultă că "g" = "r". Deci "g" este cel mai mare divizor comun al tuturor perechilor succesive: Pentru ilustrare, algoritmul lui Euclid se poate utiliza pentru a găsi cel mai mare divizor comun al lui "a" = 1071 și "b" = 462. Pentru început, multiplii lui 462 sunt scăzuți din 1071 până rămâne un rest mai mic decât 462. Se pot scădea doi astfel de multipli ("q" = 2), lăsând numărul 147 Apoi multiplii lui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se scad multiplii lui 21 din 147 până când restul este mai mic decât 21. Se pot scădea șapte multipli ("q" = 7) și nu rămâne niciun rest Cum ultimul rest este zero, algoritmul se termină cu 21 ca cel mai mare divizor comun al lui 1071 și 462. Rezultatul este în concordanță cu CMMDC(1071, 462) găsit prin factorizarea efectuată mai sus. În formă tabelară, pașii sunt: Algoritmul lui Euclid poate fi vizualizat în termenii analogiei pătratelor dată mai sus pentru cel
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
lui 1071 și 462. Rezultatul este în concordanță cu CMMDC(1071, 462) găsit prin factorizarea efectuată mai sus. În formă tabelară, pașii sunt: Algoritmul lui Euclid poate fi vizualizat în termenii analogiei pătratelor dată mai sus pentru cel mai mare divizor comun. Se presupune că se dorește acoperirea unui dreptunghi "a"-pe-"b" cu pătrate care să-l acopere exact, unde "a" este cel mai mare dintre cele două numere. Întâi, se încearcă împărțirea dreptunghiului în pătrate "b"-pe-"b"; aceasta
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
următorul jucător poate reduce grămada mai mare de la "x" pietre la "x" − "my" pietre, atâta vreme cât al doilea este un număr nenegativ. Câștigă primul jucător care reduce una dintre grămezi la zero pietre. Identitatea lui Bézout spune că cel mai mare divizor comun "g" al două numere întregi "a" și "b" se poate reprezenta sub formă de combinație liniară a primelor două numere "a" și "b". Cu alte cuvinte, întotdeauna există două numere întregi "s" și "t" astfel încât "g" = "sa" + "tb". Întregii
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
pe "g" sub forma unei combinații liniare de "a" și "b": "g" = "sa" + "tb". Identitatea lui Bézout, și deci și algoritmul anterior, poate fi generalizată la contextul domeniilor euclidiene. Identitatea lui Bézout dă o altă definiție a celui mai mare divizor comun "g" al două numere "a" și "b". Fie mulțimea tuturor numerelor de forma "ua" + "vb", unde "u" și "v" sunt orice două numere întregi. Cum "a" și "b" sunt ambele divizibile cu "g", toate numerele din mulțime sunt divizibile
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
două numere întregi. Cum "a" și "b" sunt ambele divizibile cu "g", toate numerele din mulțime sunt divizibile cu "g". Cu alte cuvinte, toate numerele din această mulțime sunt multipli întregi ai lui "g". Acest lucru este adevărat pentru orice divizor comun al lui "a" și "b". Spre deosebire de alți divizori comuni, însă, cel mai mare divizor comun este și el membru al mulțimii; din identitatea lui Bézout, alegând "u" = "s" și "v" = "t" rezultă "g". Un divizor comun mai mic nu
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
divizibile cu "g", toate numerele din mulțime sunt divizibile cu "g". Cu alte cuvinte, toate numerele din această mulțime sunt multipli întregi ai lui "g". Acest lucru este adevărat pentru orice divizor comun al lui "a" și "b". Spre deosebire de alți divizori comuni, însă, cel mai mare divizor comun este și el membru al mulțimii; din identitatea lui Bézout, alegând "u" = "s" și "v" = "t" rezultă "g". Un divizor comun mai mic nu poate fi membru al mulțimii, deoarece toate elementele mulțimii
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mulțime sunt divizibile cu "g". Cu alte cuvinte, toate numerele din această mulțime sunt multipli întregi ai lui "g". Acest lucru este adevărat pentru orice divizor comun al lui "a" și "b". Spre deosebire de alți divizori comuni, însă, cel mai mare divizor comun este și el membru al mulțimii; din identitatea lui Bézout, alegând "u" = "s" și "v" = "t" rezultă "g". Un divizor comun mai mic nu poate fi membru al mulțimii, deoarece toate elementele mulțimii trebuie să fie divizibile cu "g
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
este adevărat pentru orice divizor comun al lui "a" și "b". Spre deosebire de alți divizori comuni, însă, cel mai mare divizor comun este și el membru al mulțimii; din identitatea lui Bézout, alegând "u" = "s" și "v" = "t" rezultă "g". Un divizor comun mai mic nu poate fi membru al mulțimii, deoarece toate elementele mulțimii trebuie să fie divizibile cu "g". Invers, orice multiplu "m" al lui " g" poate fi obținut alegând "u" = "ms" și "v" = "mt", unde "s" și "t" sunt
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
ca produs de doi factori "u" și "v", adică "L" = "uv". Dacă un alt număr "w" îl divide și el pe "L" dar este prim cu "u", atunci înseamnă că "w" îl divide pe "v", pentru că, dacă cel mai mare divizor comun al lui "u" și "w" este 1, atunci se pot găsi doi întregi "s" și "t" astfel încât conform identității lui Bézout. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu "v" rezultă relația Cum "w" divide ambii termeni din partea dreaptă, înseamnă că
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b". Ambii termeni din ecuația "ax" + "by" sunt divizibili cu "g"; deci, fie "c" este divizibil cu "g", fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
este fracția continuă În exemplul de mai sus, s-a calculat CMMDC(1071, 462), iar câturile "q" erau 2, 3 și respectiv 7. Deci fracția 1071/462 poate fi scrisă sub forma după cum confirmă și calculele. Calculul celui mai mare divizor comun este un pas esențial în mai mulți algoritmi de factorizare a întregilor, such as Pollard's rho algorithm, algoritmul lui Shor, metoda de factorizare a lui Dixon și factorizarea Lenstra cu curbe eliptice. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
practică, mai ales pentru numere mici, datorită simplității sale. Pentru comparație, se poate determina eficiența unor alternative la algoritmul lui Euclid. O abordare ineficientă a găsirii CMMDC a două numere naturale "a" și "b" este de a le calcula toți divizorii comuni; CMMDC este, atunci, cel mai mare dintre aceștia. Divizorii comuni se pot găsi împărțind succesiv ambele numere la numerele de la 2 la cel mai mic dintre cele două, "b". Numărul de pași al acestei abordări crește liniar cu "b
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
comparație, se poate determina eficiența unor alternative la algoritmul lui Euclid. O abordare ineficientă a găsirii CMMDC a două numere naturale "a" și "b" este de a le calcula toți divizorii comuni; CMMDC este, atunci, cel mai mare dintre aceștia. Divizorii comuni se pot găsi împărțind succesiv ambele numere la numerele de la 2 la cel mai mic dintre cele două, "b". Numărul de pași al acestei abordări crește liniar cu "b", sau exponențial cu numărul de cifre. O altă abordare ineficientă
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
și Zimmermann. Acești algoritmi exploatează forma matriceală 2×2 a algoritmului lui Euclid prezentată mai sus. Aceste metode subcuadratice scalează în general ca După cum s-a descris mai sus, algoritmul lui Euclid este folosit pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere naturale (numere întregi pozitive). Acesta poate fi, însă, generalizat la numere reale, și la sisteme de numere mai exotice, cum ar fi polinoamele, întregii cuadratici și cuaternionii Hurwitz. În ultimele două cazuri, algoritmul lui Euclid este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
n" este cea mai bună aproximație rațională a lui "a"/"b" cu numitorul "n": Polinoamele de o singură variabilă "x" se pot aduna, înmulți și descompune în polinoame ireductibile, structuri analoage numerelor prime din mulțimea numerelor întregi. Cel mai mare divizor comun "g"("x") al două polinoame "a"("x") și "b"("x") este definit ca produsul polinoamelor ireductibile comune, care pot fi identificate folosind algoritmul lui Euclid. Procedura de bază este similară cu cea de la întregi. La fie care pas "k
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
predecesorului său grad["r"("x")] < grad["r"("x")]. Întrucât gradul este un număr întreg nenegativ, și întrucât el scade la fiecare pas, algoritmul lui Euclid se încheie într-un număr finit de pași. Ultimul rest nenul este cel mai mare divizor comun al celor două polinoame inițiale, "a"("x") și "b"("x"). De exemplu, fie următoarele polinoame de gradul patru, care fiecare se descompune în două polinoame de gradul doi: și Împărțind pe "a"("x") la "b"("x") rezultă un rest
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]