202 matches
-
date funcțiile integrabile "f"("x"), "g"("x") și "h"("x"), notăm transformatele lor Fourier respectiv prin formula 11, formula 12 și formula 13. Transformarea Fourier are următoarele proprietăți de bază . a funcțiilor integrabile au proprietăți suplimentare care nu sunt valabile totdeauna. a funcțiilor integrabile "ƒ" sunt uniform continue și formula 32 . De asemenea aceste funcții satisfac lema Riemann-Lebesgue care stabilește că : Transformata Fourier formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
următoarele proprietăți de bază . a funcțiilor integrabile au proprietăți suplimentare care nu sunt valabile totdeauna. a funcțiilor integrabile "ƒ" sunt uniform continue și formula 32 . De asemenea aceste funcții satisfac lema Riemann-Lebesgue care stabilește că : Transformata Fourier formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
suplimentare care nu sunt valabile totdeauna. a funcțiilor integrabile "ƒ" sunt uniform continue și formula 32 . De asemenea aceste funcții satisfac lema Riemann-Lebesgue care stabilește că : Transformata Fourier formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
De asemenea aceste funcții satisfac lema Riemann-Lebesgue care stabilește că : Transformata Fourier formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil "transformarea inversă" ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când "ƒ" și formula 34 sunt integrabile, următoarea egalitate
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
care stabilește că : Transformata Fourier formula 34 a unei funcții integrabile "ƒ" este mărginită și continuă, dar nu neapărat integrabilă. De exemplu, transformata Fourier a funcției dreptunghiulare (care este o funcție treaptă și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil "transformarea inversă" ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când "ƒ" și formula 34 sunt integrabile, următoarea egalitate inversă este adevărată pentru aproape toate valorile
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
și deci integrabilă) este "funcția sinc", care nu este integrabilă Lebesgue, cu toate că are o integrală improprie care este convergentă, dar nu "absolut convergentă". În general nu este posibil "transformarea inversă" ca o integrală Lesbesgue. Totuși, când "ƒ" și formula 34 sunt integrabile, următoarea egalitate inversă este adevărată pentru aproape toate valorile "x": Aproape peste tot "ƒ" este egală cu funcția continuă dată de partea dreaptă a egalului, Dacă "ƒ" este dată ca funcție continuă pe dreaptă, atunci egalitatea este valabilă pentru toate
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
egalului, Dacă "ƒ" este dată ca funcție continuă pe dreaptă, atunci egalitatea este valabilă pentru toate valorile "x". O consecință a rezultatului precedent este aceea că transformata Fourier este injectivă pe spațiul "L"(R). Fie "f"("x") și "g"("x") integrabile și fie formula 11 și formula 12 transformatele lor Fourier. Dacă "f"("x") și "g"("x") sunt pătrat integrabile, atunci aven teorema lui Parseval : în care bara de deasupra denotă complex conjugata. Teorema lui Plancherel, care este echivalentă cu teorema lui Pearceval
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
x". O consecință a rezultatului precedent este aceea că transformata Fourier este injectivă pe spațiul "L"(R). Fie "f"("x") și "g"("x") integrabile și fie formula 11 și formula 12 transformatele lor Fourier. Dacă "f"("x") și "g"("x") sunt pătrat integrabile, atunci aven teorema lui Parseval : în care bara de deasupra denotă complex conjugata. Teorema lui Plancherel, care este echivalentă cu teorema lui Pearceval, stabilește că : Teorema lui Planchenel face posibilă definirea transformatei Fourier pentru funcții din "L"(R), după cum este
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
că transformarea Fourier conservă energia. Vezi și dualitatea Pontryagin pentru o formulare generală a acestui concept în contextul grupului abelian local compact. Formula de sumare Poisson furnizează o legătură între studiul transformatei Fourier și seriile Fourier. Fiind dată o funcție integrabilă "ƒ" putem considera periodizarea lui "ƒ" dată de: în care sumarea este făcută pentru toți "intregii k". Formula de sumare Poisson leagă seria Fourier a lui formula 42 de transformarea Fourier a lui formula 42, și anume stabilește că seria Fourier este
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
Poisson leagă seria Fourier a lui formula 42 de transformarea Fourier a lui formula 42, și anume stabilește că seria Fourier este dată de: Transformarea Fourier efectuează o translație între convoluție și multiplicarea funcțiilor. Dacă "ƒ"("x") și "g"("x") sunt funcți integrabile cu transformatele Fourier formula 11 și formula 12, atunci transformata Fourier a convoluției este dată de produsul transformatelor Fourier. Aceast lucru înseamnă că, dacă: în care * denotă operația de convoluție, atunci: În teoria sistemului invariant liniar în timp (LTI), în mod obișnuit
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
și ieșirea "h"("x"), deoarece substituind impulsul unitate pentru "ƒ"("x") obținem "h"("x") = "g"("x"). În acest caz formula 12 reprezintă răspunsul în frecvență al sistemului. În schimb, dacă "ƒ"("x") poate fi descompusă ca produs a două funcții pătrat integrabile "p"("x") și "q"("x"), atunci transformata Fourier a lui "ƒ"("x") este dată prin convoluția respectivelor transformări Fourier formula 50 and formula 51. Într-o manieră analoagă se poate arăta că, dacă "h"("x") este corelație încrucișată a lui "ƒ"("x
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
localizate în ambele domenii de frecvență și timp, dând astfel un punct de plecare pentru transformata Fourier fractională folosită în analiza timp-frecvență . Transformata Fourier poate fi definită și pe spații "n-dimensionale", caz în care transformata unei funcții "ƒ"("x") integrabile, se definește prin integrala: In care "x" și "ξ" sunt vectori n-dimensionali, iar este produsul lor scalar. Produsul scalar se scrie câteodată sub forma formula 60. Toate proprietățile de bază de mai sus sunt valabile și pentru transformata Fourier n-
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
vectori n-dimensionali, iar este produsul lor scalar. Produsul scalar se scrie câteodată sub forma formula 60. Toate proprietățile de bază de mai sus sunt valabile și pentru transformata Fourier n-dimensională, precum și teoremele lui Plancherel și Parseval. Când funcția este integrabilă transformata Fourier este uniform continuă, fiind valabilă și lema Riemann-Lebesgue. În general vorbind, cu cât este mai concentată funcția "f"("x"), cu atât trebuie să fie mai intinsă transformata Fourier formula 11 . În particular, pentru proprietatea schimbării de scală a transformatei
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
drept variabile conjugate cu privire la forma simplectică pe domeniul timp-frecvență. Din punctul de vedere al transformării canonice liniare, transformata Fourier reprezintă o rotație de 90° în domeniul timp-frecvență care păstrează forma simplectică. Să presupunem că funcția "ƒ"("x") este de pătrat integrabilă și, fără a pierde din generalitate, să presupunem că funcția este normalizată: Din teorema lui Planchenel urmează că formula 11 este de asemenea normalizată. Dispersia în jurul lui "x" = 0 poate fi măsurată prin "dispersia față de zero" definită prin: În termeni probabilistici
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
dispersia față de zero" definită prin: În termeni probabilistici acesta este momentul al doilea al lui formula 65 față de zero. Principiul de incertitudine arată că: dacă "ƒ"("x") este absolut continuă, iar funcțiile "x"•"ƒ"("x") și "ƒ" ("x") sunt de pătrat integrabile, atunci: Egalitatea este obținută numai în cazul în care formula 67 (deci formula 68 ) în care "σ" > 0 este arbitrar, iar " C" este de așa natură încât "ƒ" este "L"-normalizată . Cu alte cuvinte, acolo unde "ƒ" este o funcție Gaussiană normalizată
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
prima speță și ordin ("n" + 2"k" − 2)/2. Când "k" = 0 se obține o formulă folositoare pentru transformata Fourier a funcției radiale . În spații n-dimensionale devine interesant studiul "problemelor restrictive" pentru transformata Fourier. Transformata Fourier a unei funcții integrabile este continuă, iar restricția acestei funcții este definită pe orice mulțime. Dar pentru funcțiile de pătrat integrabile transformata Fourier poate fi o "clasă" generală de funcții de pătrat integrabile. Ca de pildă, restricția transformatei Fourier a unei funcții din "L
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
pentru transformata Fourier a funcției radiale . În spații n-dimensionale devine interesant studiul "problemelor restrictive" pentru transformata Fourier. Transformata Fourier a unei funcții integrabile este continuă, iar restricția acestei funcții este definită pe orice mulțime. Dar pentru funcțiile de pătrat integrabile transformata Fourier poate fi o "clasă" generală de funcții de pătrat integrabile. Ca de pildă, restricția transformatei Fourier a unei funcții din "L"(R) nu poate fi definită pe o mulțime cu măsura 0. Este încă a arie activă de
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
studiul "problemelor restrictive" pentru transformata Fourier. Transformata Fourier a unei funcții integrabile este continuă, iar restricția acestei funcții este definită pe orice mulțime. Dar pentru funcțiile de pătrat integrabile transformata Fourier poate fi o "clasă" generală de funcții de pătrat integrabile. Ca de pildă, restricția transformatei Fourier a unei funcții din "L"(R) nu poate fi definită pe o mulțime cu măsura 0. Este încă a arie activă de studiu înțelegerea problemelor restrictive din "L" for 1 < "p" < 2. În mod
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
spațiul unidimensional față de spațiul n-dimensional implică operatorul sumei parțiale. Considerăm o colecție crescătoare de mulțimi măsurabile "E" indexate prin "R" ∈ (0,∞), precum sfere de rază "R" cu centrul în origine sau curbe de rază 2"R". Pentru o funcție integrabilă dată "ƒ", considerăm funcția "ƒ" definită prin: Mai mult, presupunem că "ƒ" face parte din "L"(R). Pentru "n" = 1 și , dacă una este luată drept "E" = (−R, R), atunci "ƒ" converge spre "ƒ" în "L" când "R" tinde spre
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
convergentă spre "ƒ" în "L", dar pentru unele funcții "ƒ" ∈ "L"(R), "ƒ" nu este un element din "L". Este posibil de a extinde definiția transformării Fourier și pe alte spații de funcții, deoarece funcțiile netede cu suport compact sunt integrabile și dense în "L"(R), iar teorema lui Plancherel ne permite să extindem definiția transformării Fourier la funcțiile generale din "L"(R) prin continuitatea argumentelor. Mai mult, formula 75: "L"(R) → "L"(R) este un operator unitar , multe din proprietăți rămânând
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
din "L" cu "p">2 astfel încât transformata Fourier nu este definită ca o funcție . Transformata Fourier de măsură finită Borel "μ" pe R este dată de : Această transformată continuă să se bucure de multe din proprietățile transformatei Fourier pentru funcțiile integrabile, cu diferența notabilă a lemei Riemann-Lebesgue care eșuează pe această măsură . În cazul în care "dμ" = "ƒ"("x") "dx", atunci formula de mai sus se reduce la definiția uzuală pentru transformata Fourier a lui "ƒ". În cazul în care "μ
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
depinde de forma transformării Fourier folosite. Transformata Fourier reprezintă spațiul funcțiilor Schwartz pe el însuși, dând și un homeomorfism al spațiului pe el însuși . Datorită acestui lucru este posibil să definim transformata Fourier a distribuțiilor temperate, care include toate funcțiile integrabile menționale mai sus, având în plus avantajul că transformata Fourier a oricărei distribuții temperate este tot o distribuție temperată. Următoarele doua fapte oferă unele motive pentru definirea transformatei Fourier a unei distribuții. Fie "ƒ" și "g" două funcții integrabile, iar
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
funcțiile integrabile menționale mai sus, având în plus avantajul că transformata Fourier a oricărei distribuții temperate este tot o distribuție temperată. Următoarele doua fapte oferă unele motive pentru definirea transformatei Fourier a unei distribuții. Fie "ƒ" și "g" două funcții integrabile, iar formula 77 și formula 78 transformatele lor Fourier. Atunci transformata fourier se supune următoarei formule de multiplicare : În al doilea rând, fiecare funcție integrabilă "ƒ" definește o distribuție "T" prin relatia: De fapt, fiind dată o distribuție "T", definim transformata Fourier
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
fapte oferă unele motive pentru definirea transformatei Fourier a unei distribuții. Fie "ƒ" și "g" două funcții integrabile, iar formula 77 și formula 78 transformatele lor Fourier. Atunci transformata fourier se supune următoarei formule de multiplicare : În al doilea rând, fiecare funcție integrabilă "ƒ" definește o distribuție "T" prin relatia: De fapt, fiind dată o distribuție "T", definim transformata Fourier prin relația: Urmează că: Distribuțiile pot fi diferențiate și mai sus menționata compatibilitate a transformatei Fourier cu diferențierea și convoluția rămân adevărate pentru
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
De asemenea, transformata Fourier este folosită în imaginea rezonanței magnetice (IRM) și spectroscopiei de masă. Adesea este de dorit să avem cel mai general domeniu posibil al transformatei Fourier. Definirea transformatei Fourier ca o integrală, restricționează domeniul la spațiul funcțiilor integrabile. Din nefericire, nu există caracterizări simple pentru care funcțiile sunt transformate Fourier de funcții integrabile. Este posibil să extindem domeniul transformatei Fourier pe diverse căi. Lista următoare detaliază câteva din domeniile comune și raza pentru care transformata Fourier este definită
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]