1,785 matches
-
și și "h" sunt în "H", deci elementele lui " H", echipate cu operația pe grupuri a lui "G" restrânsă la submulțimea "H" a lui " G", formează într-adevăr un grup. În exemplul de mai sus, identitatea și rotațiile constituie un subgrup "R" = {id, r, r, r}, evidențiat cu roșu pe tabelul grupului: oricare două rotații compuse formează tot o rotație, și o rotație poate fi inversată de rotația complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
R" = {id, r, r, r}, evidențiat cu roșu pe tabelul grupului: oricare două rotații compuse formează tot o rotație, și o rotație poate fi inversată de rotația complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o condiție necesară și suficientă pentru ca o submulțime "H" a unui grup "G" să fie subgrup: este suficient să se verifice că pentru orice elemente "g", "h" ∈ " H". Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
o rotație, și o rotație poate fi inversată de rotația complementară, 270° pentru 90°, 180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o condiție necesară și suficientă pentru ca o submulțime "H" a unui grup "G" să fie subgrup: este suficient să se verifice că pentru orice elemente "g", "h" ∈ " H". Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului. Dată fiind o submulțime "S" a unui grup "G", subgrupul generat de "S" constă din produsele elementelor
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
180° pentru 180°, și 90° pentru 270°. Testul de subgrup este o condiție necesară și suficientă pentru ca o submulțime "H" a unui grup "G" să fie subgrup: este suficient să se verifice că pentru orice elemente "g", "h" ∈ " H". Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului. Dată fiind o submulțime "S" a unui grup "G", subgrupul generat de "S" constă din produsele elementelor lui "S" cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din "G" care conține
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
H" a unui grup "G" să fie subgrup: este suficient să se verifice că pentru orice elemente "g", "h" ∈ " H". Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului. Dată fiind o submulțime "S" a unui grup "G", subgrupul generat de "S" constă din produsele elementelor lui "S" cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din "G" care conține "S". În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r și f constă din cele două elemente, elementul
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
g", "h" ∈ " H". Cunoașterea subgrupurilor este importantă pentru înțelegerea proprietăților de ansamblu ale grupului. Dată fiind o submulțime "S" a unui grup "G", subgrupul generat de "S" constă din produsele elementelor lui "S" cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din "G" care conține "S". În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r și f constă din cele două elemente, elementul identitate și f = f • r. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
ale grupului. Dată fiind o submulțime "S" a unui grup "G", subgrupul generat de "S" constă din produsele elementelor lui "S" cu inversele lor. Este cel mai mic subgrup din "G" care conține "S". În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r și f constă din cele două elemente, elementul identitate și f = f • r. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului. În multe
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
inversele lor. Este cel mai mic subgrup din "G" care conține "S". În exemplul introductiv de mai sus, subgrupul generat de r și f constă din cele două elemente, elementul identitate și f = f • r. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului. În multe situații, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind același, dacă ele diferă printr-un element al unui
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
mai sus, subgrupul generat de r și f constă din cele două elemente, elementul identitate și f = f • r. Din nou, acesta este un subgrup, deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului. În multe situații, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind același, dacă ele diferă printr-un element al unui subgrup dat. În exemplul de mai sus, în D, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
deoarece combinând oricare două elemente din cele patru sau inversele acestora dă un element al subgrupului. În multe situații, este de dorit să se considere două elemente de grup ca fiind același, dacă ele diferă printr-un element al unui subgrup dat. În exemplul de mai sus, în D, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă, pătratul nu se mai întoarce în configurația dată de r doar prin aplicarea operațiilor de rotație (fără întoarceri în oglindă). Clasele laterale sunt utilizate pentru
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
mai sus, în D, după ce se efectuează o întoarcere în oglindă, pătratul nu se mai întoarce în configurația dată de r doar prin aplicarea operațiilor de rotație (fără întoarceri în oglindă). Clasele laterale sunt utilizate pentru a formaliza aceasta: un subgrup "H" definește clasele laterale la stânga și la dreapta, care pot fi considerate a fi translații ale lui "H" printr-un element arbitrar "g" al grupului. În termeni simbolici, clasele laterale la stânga și la dreapta pentru "H" care conțin "g" sunt
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
la stânga și la dreapta, care pot fi considerate a fi translații ale lui "H" printr-un element arbitrar "g" al grupului. În termeni simbolici, clasele laterale la stânga și la dreapta pentru "H" care conțin "g" sunt Clasele laterale ale oricărui subgrup "H" formează o partiție a lui "G"; adică, două clase laterale la stânga sunt fie egale, fie intersecția lor este o mulțime vidă. Primul caz, "g""H" = "g""H" are loc dacă și numa dacă , adică dacă cele două elemente diferă
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
clasele laterale la dreapta ale lui "H". Clasele laterale la stânga și la dreapta ale lui "H" pot să fie sau nu egale. Dacă sunt, adică pentru orice "g" din "G", "gH" = "Hg", atunci despre " H" se spune că este un "subgrup normal". "N" poate fi considerat mulțime de clase laterale. În D, grupul de simetrie de mai sus, clasele laterale la stânga "gR" ale subgrupului "R" care constă din transformările de rotație sunt fie egale cu "R", dacă "g" este un element
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
sunt, adică pentru orice "g" din "G", "gH" = "Hg", atunci despre " H" se spune că este un "subgrup normal". "N" poate fi considerat mulțime de clase laterale. În D, grupul de simetrie de mai sus, clasele laterale la stânga "gR" ale subgrupului "R" care constă din transformările de rotație sunt fie egale cu "R", dacă "g" este un element al lui "R", sau altfel egal cu "U" = f"R" = {f, f, f, f} (cu verde). Subgrupul "R" este și el normal, deoarece
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
sus, clasele laterale la stânga "gR" ale subgrupului "R" care constă din transformările de rotație sunt fie egale cu "R", dacă "g" este un element al lui "R", sau altfel egal cu "U" = f"R" = {f, f, f, f} (cu verde). Subgrupul "R" este și el normal, deoarece f"R" = "U" = "R"f și analog pentru orice element diferit de f. În plus față de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
altfel egal cu "U" = f"R" = {f, f, f, f} (cu verde). Subgrupul "R" este și el normal, deoarece f"R" = "U" = "R"f și analog pentru orice element diferit de f. În plus față de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entități cu o lege de grup denumită "grup cât" sau "grup factor". Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal "N
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
de f. În plus față de ignorarea structurii interne a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entități cu o lege de grup denumită "grup cât" sau "grup factor". Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal "N", grupul cât este definit prin Această mulțime moștenește o operație pe grupuri (uneori numită înmulțire a claselor laterale, sau adunare a claselor laterale) de la grupul original "G": ("gN") • ("hN") = ("gh
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
a unui subgrup prin luarea în considerare a claselor laterale, este de dorit dotarea acestei entități cu o lege de grup denumită "grup cât" sau "grup factor". Pentru ca aceasta să fie posibil, subgrupul trebuie să fie normal. Dat fiind un subgrup normal "N", grupul cât este definit prin Această mulțime moștenește o operație pe grupuri (uneori numită înmulțire a claselor laterale, sau adunare a claselor laterale) de la grupul original "G": ("gN") • ("hN") = ("gh")"N" pentru orice "g" și "h" din " G
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
Ng" în grupul cât este ("gN") = ("g")"N". Elementele grupului cât sunt "R" care este elementul neutru, și "U" = f"R". Operația pe grup este cea din dreapta. De exemplu, "U" • "U" = f"R" • f"R" = (f • f)"R" = "R". Atât subgrupul "R" = {id, r, r, r}, cât și câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D nu este abelian. Grupurile cât și subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
R". Operația pe grup este cea din dreapta. De exemplu, "U" • "U" = f"R" • f"R" = (f • f)"R" = "R". Atât subgrupul "R" = {id, r, r, r}, cât și câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D nu este abelian. Grupurile cât și subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor, împărțite la subgrupul relațiilor. Grupul diedral D, de exemplu, poate fi generat de două elemente, "r" și "f" (de exemplu
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
r, r, r}, cât și câtul corespunzător sunt abeliene, pe când D nu este abelian. Grupurile cât și subgrupurile formează împreună o modalitate de a descrie fiecare grup prin prezentare: orice grup este câtul grupului liber peste generatoarele grupurilor, împărțite la subgrupul relațiilor. Grupul diedral D, de exemplu, poate fi generat de două elemente, "r" și "f" (de exemplu, "r" = r, rotația la dreapta "f" = f oglindirea în verticală—sau oricare alta), ceea ce înseamnă că toate transformările de simetrie ale pătratului sunt
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
sunt o compunere finită de transformări de simetrie sau transformări inverse ale lor. Împreună cu relațiile grupul este descris complet. O prezentare a grupului se poate folosi pentru a construi graful Cayley, un dispozitiv folosit pentru a reprezenta grafic grupurile discrete. Subgrupurile și grupurile cât sunt legate în felul următor: o submulțime "H" a lui " G" se poate vedea ca aplicație injectivă , adică orice element al codomeniului cel mult un element căruia îi corespunde prin aplicație. În general, omomorfismele nu sunt nici
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
în raport cu acțiunile de grup sunt studiate în teoria invarianților. Grupurile matriceale constau dintr-o mulțime de matrice și operația de multiplicare a matricelor. "Grupul general liniar" "GL"("n", R) constă din toate matricele inversabile "n"x"n" cu elemente reale. Subgrupurile lor sunt denumite "grupuri matriceale" sau "grupuri liniare". Grupul diedral din exemplul menționat mai sus poate fi văzut ca un grup matriceal (foarte mic). Un alt grup matriceal important este grupul special ortogonal "SO"("n"). El descrie toate rotațiile posibile
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
3 litere "S" este grupul format din toate permutările posibile de trei litere "ABC", conținând astfel elementele "ABC", "ACB", ..., până la "CBA", în total 6 (sau 3 factorial) elemente. Această clasă este fundamentală, întrucât orice grup finit poate fi exprimat ca subgrup al grupului simetric "S" pentru un număr întreg "N" (teorema lui Cayley). Analog cu grupul transformărilor de simetrie ale pătratului de mai sus, "S" poate fi interpretat și ca grupul de simetrie al unui triunghi echilateral. Ordinul unui element "a
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]
-
reprezintă multiplicarea, atunci "a" corespunde lui "a" la puterea "n".) În grupurile infinite, un astfel de "n" se poate să nu existe, în care caz se spune că ordinul lui "a" este infinit. Ordinul unui element este egal cu ordinul subgrupului ciclic generat de acest element. Tehnici de numărare mai sofisticate, de exemplu numărarea claselor laterale, dau afirmații mai precise despre grupurile finite: teorema lui Lagrange spune că pentru un grup finit "G" ordinul oricărui subgrup finit "H" divide ordinul lui
Grup (matematică) () [Corola-website/Science/302726_a_304055]