2,111 matches
-
Euclid poate fi utilizat pentru a construi fracții continue, în metoda lanțului Sturm pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de factorizare a întregilor. În fine, este o unealtă de bază pentru demonstrarea unor teoreme din teoria modernă a numerelor, cum ar fi teorema celor patru pătrate a lui Lagrange și teorema fundamentală a aritmeticii (factorizarea unică). Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
în metoda lanțului Sturm pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de factorizare a întregilor. În fine, este o unealtă de bază pentru demonstrarea unor teoreme din teoria modernă a numerelor, cum ar fi teorema celor patru pătrate a lui Lagrange și teorema fundamentală a aritmeticii (factorizarea unică). Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un număr de pași mai mare decât de cinci ori
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de factorizare a întregilor. În fine, este o unealtă de bază pentru demonstrarea unor teoreme din teoria modernă a numerelor, cum ar fi teorema celor patru pătrate a lui Lagrange și teorema fundamentală a aritmeticii (factorizarea unică). Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un număr de pași mai mare decât de cinci ori numărul de cifre (în bază 10) al celui
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
algoritmul lui Euclid care calculează CMMDC al doi întregi este suficient pentru a calcula CMMDC al oricât de mulți întregi. Trei metode matematice sunt utilizate mai jos: inducția, recursivitatea și coborârea infinită. Inducția este utilizată adesea pentru a demonstra o teoremă pentru toate numerele naturale "n". Această abordare începe prin a arăta că, dacă teorema este valabilă pentru "n", ea este valabilă și pentru "n" + 1. Astfel, dacă teorema este valabilă pentru un singur caz (de regulă, "n" = 1), ea este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
CMMDC al oricât de mulți întregi. Trei metode matematice sunt utilizate mai jos: inducția, recursivitatea și coborârea infinită. Inducția este utilizată adesea pentru a demonstra o teoremă pentru toate numerele naturale "n". Această abordare începe prin a arăta că, dacă teorema este valabilă pentru "n", ea este valabilă și pentru "n" + 1. Astfel, dacă teorema este valabilă pentru un singur caz (de regulă, "n" = 1), ea este valabilă pentru toate numerele mai mari ("n" = 2, 3, etc.). Recursivitatea unei ecuații este
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
recursivitatea și coborârea infinită. Inducția este utilizată adesea pentru a demonstra o teoremă pentru toate numerele naturale "n". Această abordare începe prin a arăta că, dacă teorema este valabilă pentru "n", ea este valabilă și pentru "n" + 1. Astfel, dacă teorema este valabilă pentru un singur caz (de regulă, "n" = 1), ea este valabilă pentru toate numerele mai mari ("n" = 2, 3, etc.). Recursivitatea unei ecuații este proprietatea ei de a lega numerele ce formează un șir "a", "a", "a", etc.
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
și 462, dimensiunile dreptunghiului original (verde). La fiecare pas "k", algoritmul lui Euclid calculează un cât "q" și un rest "r" ale două numere "r" și "r" unde modulul lui "r" este strict mai mic decât cel al lui "r". Teorema împărțirii cu rest asigură că există întotdeauna acest cât și acest rest. Teorema împărțirii cu rest a numerelor naturale spune și că "q" și "r" sunt unice, dar unicitatea lor nu este necesară pentru algoritmul lui Euclid. În versiunea originală
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
calculează un cât "q" și un rest "r" ale două numere "r" și "r" unde modulul lui "r" este strict mai mic decât cel al lui "r". Teorema împărțirii cu rest asigură că există întotdeauna acest cât și acest rest. Teorema împărțirii cu rest a numerelor naturale spune și că "q" și "r" sunt unice, dar unicitatea lor nu este necesară pentru algoritmul lui Euclid. În versiunea originală dată de Euclid pentru acest algoritm, câtul și restul se găsesc prin scădere
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
în astronomie și la realizarea de calendare precise. Spre sfârșitul secolului al V-lea, matematicianul și astronomul indian Aryabhata a descris algoritmul sub numele de „pulverizatorul”, poate din cauza eficienței sale în rezolvarea de ecuațiilor diofantice. Deși un caz special al teoremei chinezești a resturilor fusese deja descris de matematicianul și astronomul chinez Sun Tzu, soluția generală a fost publicată de Qin Jiushao în cartea sa din 1247 intitulată "Shushu Jiuzhang" (數書九章 „Tratat matematic în nouă secțiuni”). Algoritmul lui Euclid a fost
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Cursurile lui Dirichlet pe tema teoriei numerelor au fost editate și extinse de Richard Dedekind, care a utilizat algoritmul lui Euclid pentru a studia întregii algebrici, un tip general de numere. De exemplu, Dedekind a fost primul care a demonstrat teorema celor două pătrate a lui Fermat folosind factorizarea unică a întregilor gaussieni. Dedekind a definit și conceptul de domeniu euclidian, un sistem numeric în care se poate defini o versiune generalizată a algoritmului lui Euclid. În ultimele decenii ale secolului
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
el se poate folosi ca alternativă la algoritmul Berlekamp-Massey pentru decodificarea codurilor BCH și Reed-Solomon, coduri bazate pe corpuri Galois. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru a rezolva și mai multe ecuații liniare diofantice. Astfel de ecuații apar în teorema chinezească a resturilor, care descrie o metodă nouă de reprezentare a unui întreg "x". În loc de a reprezenta un număr întreg prin cifrele sale, el se poate reprezenta prin resturile "x" ale împărțirii lui modulo o mulțime de "N" numere prime
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
algoritm analog celui al lui Euclid, se poate arăta că întregii gaussieni au fiecare o factorizare unică, conform demonstrației de mai sus. Unicitatea factorizării este utilă în mai multe aplicații, cum ar fi calculul tuturor tripletelor pitagoreice sau demonstrația Primei teoreme a lui Fermat a sumei a două pătrate. În general, algoritmul lui Euclid este unul convenabil în asemenea aplicații, dar nu este indispensabil; de exemplu, teoremele pot fi adesea demonstrate prin alte metode. Algoritmul lui Euclid dezvoltat pentru două numere
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
în mai multe aplicații, cum ar fi calculul tuturor tripletelor pitagoreice sau demonstrația Primei teoreme a lui Fermat a sumei a două pătrate. În general, algoritmul lui Euclid este unul convenabil în asemenea aplicații, dar nu este indispensabil; de exemplu, teoremele pot fi adesea demonstrate prin alte metode. Algoritmul lui Euclid dezvoltat pentru două numere întregi gaussiene α și β este aproape același ca și pentru numerele întregi; el se îndepărtează de acesta din urmă în două aspecte. Ca și înainte
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se reduce; astfel, dacă "f" poate fi redus doar de un număr finit de ori, algoritmul trebuie să se termine într-un număr finit de pași. Acest principiu se bazează pe ordonarea naturală și pe existența unui număr natural minim. Teorema fundamentală a aritmeticii se aplică pe orice inel euclidian: orice element dintr-un inel euclidian poate fi factorizat în mod unic în elemente ireductibile. Orice inel euclidian este un domeniu de factorizare unică, deși reciproca nu este adevărată întotdeauna. Inelele
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
nu este adevărată: nu orice astfel de domeniu este inel euclidian. Unicitatea factorizării în inelele euclidiene este utilă în mai multe aplicații. De exemplu, unicitatea factorizării întregilor gaussieni este convenabilă la calculul formulelor pentru toate tripletele pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate. Unicitatea factorizării este și element cheie într-o tentativă de demonstrare a Ultimei teoreme a lui Fermat publicată în 1847 de Gabriel Lamé, același matematician care analizase eficiența algoritmului lui Euclid, pe baza
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
aplicații. De exemplu, unicitatea factorizării întregilor gaussieni este convenabilă la calculul formulelor pentru toate tripletele pitagoreice și la demonstrarea teoremei lui Fermat privind suma a două pătrate. Unicitatea factorizării este și element cheie într-o tentativă de demonstrare a Ultimei teoreme a lui Fermat publicată în 1847 de Gabriel Lamé, același matematician care analizase eficiența algoritmului lui Euclid, pe baza unei sugestii a lui Joseph Liouville. Abordarea lui Lamé impunea unicitatea factorizării numerelor de forma "x" + ω"y", unde ω = "e
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
bidimensionali, integrala curbilinie în 2D a unui câmp de vectori corespunde cu partea reală a integralei curbilinii a conjugatei funcției complexe cu variabile complexe corespunzătoare. Datorită ecuațiilor Cauchy-Riemann, rotorul câmpului de vectori corespunzător conjugatei unei funcții olomorfe este zero. Conform teoremei lui Stokes, ambele tipuri de integrală curbilinie sunt astfel zero. Integrala curbilinie este o unealtă fundamentală în analiza complexă. Presupunând că "U" este o submulțime deschisă a lui C, formula 12 : ["a", "b"] formula 3 "U" este o curbă iar "f" : "U
Integrală curbilinie () [Corola-website/Science/311527_a_312856]
-
valori reale; în alte cazuri se poate folosi formula lui Cauchy. Dacă integrala curbilinie este o curbă închisă într-o regiune în care funcția este analitică și nu conține singularități, atunci valoarea integralei este zero, aceasta fiind o consecință a teoremei integrale a lui Cauchy. Datorită teoremei reziduurilor, se pot folosi integralele pe contur în planul complex pentru a găsi integralele cu valori reale ale functiilor cu valori reale de variabilă reală. Fie funcția "f"("z")=1/"z", și fie conturul
Integrală curbilinie () [Corola-website/Science/311527_a_312856]
-
poate folosi formula lui Cauchy. Dacă integrala curbilinie este o curbă închisă într-o regiune în care funcția este analitică și nu conține singularități, atunci valoarea integralei este zero, aceasta fiind o consecință a teoremei integrale a lui Cauchy. Datorită teoremei reziduurilor, se pot folosi integralele pe contur în planul complex pentru a găsi integralele cu valori reale ale functiilor cu valori reale de variabilă reală. Fie funcția "f"("z")=1/"z", și fie conturul "C" cercul unitate centrat în 0
Integrală curbilinie () [Corola-website/Science/311527_a_312856]
-
de nivel. Pentru a găsi un vector normal, se calculează doar gradientul lui "F" în punctul dorit. Gradientul este un câmp vectorial nerotațional, iar integralele curbilinii printr-un câmp de gradienți sunt independente de drum și pot fi evaluate cu ajutorul teoremei gradientului. Reciproca este și ea adevărată, un câmp vectorial nerotațional într-o regiune simplu conexă este întotdeauna gradientul unei funcții.
Gradient () [Corola-website/Science/311540_a_312869]
-
Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri. Fie triunghiul ABC. Notând: Rezultă: De aici, rezultă și "inegalitatea lui Euler": Se notează: Triunghiurile
Teorema lui Euler (geometrie) () [Corola-website/Science/311715_a_313044]
-
tip Cayley"). Cayley a introdus calculul tensorial, a cercetat curbele și suprafețele analagmatice, a stabilit algoritmul simbolic ("tip Cayley") pentru obținerea invarianților în teoria formelor, de care ulterior s-a ocupat matematicianul român Gheorghe Călugăreanu în 1945. A extins analitic teorema lui Pascal la sistemul de hexagoane. A cercetat analitic problema lui Malfatti pentru suprafețe de ordinul întâi. Între 1843 și 1845 s-a ocupat de fondarea teoriei funcțiilor eliptice. Cayley a ținut o serie de conferințe la Universitatea Johns Hopkins
Arthur Cayley () [Corola-website/Science/311067_a_312396]
-
matematicianului francez Étienne Bézout. Enunțul acesteia este următorul: Dacă "a" și "b" sunt două numere întregi nenule, iar " d" cel mai mare divizor comun al acestora, atunci există întregii "x" și "y" (numiți "numerele" sau "coeficienții lui Bézout") astfel încât: Aceasta teorema a fost enunțata pentru prima dată de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac în lucrarea să "Problèmes plaisants et délectables qui se font par leș nombres", editata la Lyon în 1612. Bézout a generalizat acest rezultat pentru cazul polinoamelor.
Identitatea lui Bézout () [Corola-website/Science/311127_a_312456]
-
Pentru "n ≥ 2" funcțiile "Y ... Y" trebuie să îndeplinească anumite condiții pentru ca forma să fie integrabilă (corespunzând cerinței ca derivatele față de x, x ale lui "(1/μ)Y", respectiv "(1/μ)Y" să fie egale). Aceste condiții sunt exprimate de Teorema de integrabilitate a lui Frobenius, care se scrie elegant în limbajul formelor diferențiale: formula 8 Pentru "n=2" aceasta înseamnă:<br>formula 9 În limbajul analizei vectoriale, câmpul de vectori cu componente "Y,Y,Y" este ortogonal în fiecare punct "(x,x
Entropia termodinamică (după Carathéodory) () [Corola-website/Science/311117_a_312446]
-
DQ = 0. Funcția "F" nu este încă entropia "obișnuită", ci numai o funcție de ea, încă neprecizată. (vezi articolul principal) Argumentația de mai sus se sprijină pe expunerea din . În anii 1949 - 1953 H. A. Buchdahl a oferit alte demonstrații, sau folosind teoreme generale de integrabilitate, sau arătând că, dacă DQ nu este integrabilă, atunci (P2') este falsă și orice punct din vecinătatea lui "P" este accesibil adiabatic. Există și posibilitatea de a deduce direct din alte formulări ale principiului al doilea existența
Lema lui Carathéodory (termodinamică) () [Corola-website/Science/311275_a_312604]