4,066 matches
-
mult de tangentă (Figura 25). Când distanța dintre puncte devine nulă, aproximarea voastră ajunge să fie perfectă: ați găsit tangenta. Există însă o problemă, firește. Cea mai importantă proprietate a unei linii este panta ei și, pentru a o măsura, matematicienii se ghidează după cât de mult se înalță o linie în raport cu distanța pe orizontală care corespunde proiecției sale. Ca exemplu, imaginați-vă că mergeți cu mașina înspre răsărit, pe un deal; pentru fiecare kilometru pe care îl parcurgeți către est, câștigați
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
pentru fiecare kilometru pe care îl parcurgeți către est, câștigați o jumătate de kilometru în altitudine. Panta dealului este pur și simplu egală cu înălțimea - o jumătate de kilometru - împărțită la distanța orizontală pe care ați parcurs-o - un kilometru. Matematicienii spun că panta dealului este de 1/2. Lucrul acesta este valabil și pentru linii; pentru a măsura coeficientul unghiular al unei linii, observați cât de mult se înalță linia (înălțime pe care matematicienii o notează cu simbolul Dy) pe parcursul
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
care ați parcurs-o - un kilometru. Matematicienii spun că panta dealului este de 1/2. Lucrul acesta este valabil și pentru linii; pentru a măsura coeficientul unghiular al unei linii, observați cât de mult se înalță linia (înălțime pe care matematicienii o notează cu simbolul Dy) pe parcursul unei distanțe orizontale date (notată Dx). Coeficientul unghiular al liniei este Dy/Dx. Când încercați să calculați coeficientul unghiular al unei tangente, zero vă distruge procesul de aproximare. Pe măsură ce aproximările tangentelor devin din ce în ce mai corecte
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
corecte, Dy/Dx se apropie de 0/0. Zero împărțit la zero poate fi egal cu orice număr din univers. Are coeficientul unghiular al tangentei vreun sens? De fiecare dată când au încercat să lucreze cu infinitul sau cu zero, matematicienii au obținut rezultate ilogice. Pentru a calcula volumul unui butoi sau suprafața de sub o parabolă, ei au adunat șiruri infinite de zerouri; pentru a descoperi tangenta unei curbe, l-au împărțit pe zero la el însuși. Zero și infinitatea au
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
Analiza matematică este o combinație între aceste două instrumente, diferențierea și integrarea, luate laolaltă. Deși Newton a încălcat câteva reguli matematice importante în jocul său cu puterile lui zero și ale infinitului, analiza matematică era atât de puternică încât nici un matematician nu a putut s-o respingă. Natura vorbește în ecuații. Este o coincidență stranie. Regulile matematice au fost inventate din necesitatea numărării oilor și supravegherii proprietăților, însă tocmai aceste reguli guvernează funcționarea universului. Legile naturale sunt descrise cu ajutorul ecuațiilor, iar
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
cazurile și în toate condițiile. Pentru prima dată, știința putea face cunoștință cu legile universale ce stau la baza tuturor acestor mici jumătăți de legi. Deși știau că analiza matematică avea multe lacune - din cauza matematicii lui zero și a infinității -, matematicienii au îmbrățișat repede noile instrumente matematice. Și asta, deoarece adevărul este că natura nu vorbește în ecuații obișnuite. Vorbește în ecuații diferențiale, iar analiza matematică este instrumentul de care aveți nevoie pentru a scrie și rezolva aceste ecuații diferențiale. Ecuațiile
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
a lui Newton - metoda fluxiunilor - a făcut exact acest lucru, aducând laolaltă concepte precum cele de poziție, viteză și accelerație. Când a notat poziția cu variabila x, el a realizat că viteza este chiar fluxiunea - sau derivata, după cum o numesc matematicienii moderni - lui x:x.. Iar accelerația nu este decât derivata vitezei, x .. . Trecerea de la poziție la viteză, apoi la accelerație și înapoi, este la fel de simplă precum diferențierea (adăugarea unui punct) sau integrarea (eliminarea unui punct). Cu această notație la îndemână
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
-uri din ecuațiile fluxiunilor sale, care uneori se purtau ca zerourile, iar alteori, ca numerele diferite de zero. Aceste infinitezimale erau infinit de mici, mai mici decât orice număr pozitiv cunoscut, și, în același timp, mai mari decât zero. Pentru matematicienii din acea vreme, conceptul era ridicol. Newton s-a simțit încurcat de infinitezimalele din ecuațiile sale, așa că le-a măturat ușor sub preș. Acele o-uri din calculele lui erau numai niște simboluri auxiliare, niște proptele care au dispărut în
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
adevăr, derivata lui y în raport cu x nu era egală cu raportul fără infinitezimale ale fluxiunilor y./x., ci cu raportul infinitezimalelor dy/dx. Cu metoda lui Leibniz, orice dy sau dx poate fi manipulat ca un număr obișnuit. De aceea, matematicienii și fizicienii moderni preferă de obicei notația sa, decât a lui Newton. Analiza matematică a lui Leibniz a avut un impact la fel de mare ca cea a lui Newton și, datorită notației, chiar un pic mai mare. Cu toate acestea, dedesubtul
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
din nimic mai mult decât Dumnezeu/1 și vid/0. El a încercat chiar să-i determine pe iezuiți să se folosească de această idee pentru a-i converti pe chinezi la creștinism.) Aveau să mai treacă mulți ani până când matematicienii să înceapă să elibereze analiza matematică de punctele de sprijin mistice pe care stătea, deoarece lumea matematicii era prea ocupată, certându-se pe tema persoanei căreia i se cuveneau drepturile de autor asupra analizei matematice. Nu există aproape nici o îndoială
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
realizările. Între timp, pe când Newton reflecta asupra descoperirii sale, Leibniz și-a dezvoltat propria metodă de analiză matematică. Și, cu promptitudine, s-au acuzat reciproc de plagiat, iar comunitatea matematică engleză, care îl susținea pe Newton, s a desprins de matematicienii de pe continent, care îl susțineau pe Leibniz. În consecință, englezii au adoptat notația fluxiunilor lui Newton în locul celei diferențiale, mai bune, a lui Leibniz - făcându-și singuri rău. Matematicienii englezi au rămas cu mult în urma rivalilor de pe continent în ceea ce privește dezvoltarea
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
matematică engleză, care îl susținea pe Newton, s a desprins de matematicienii de pe continent, care îl susțineau pe Leibniz. În consecință, englezii au adoptat notația fluxiunilor lui Newton în locul celei diferențiale, mai bune, a lui Leibniz - făcându-și singuri rău. Matematicienii englezi au rămas cu mult în urma rivalilor de pe continent în ceea ce privește dezvoltarea analizei matematice. Un francez, și nu un englez, avea să rămână în istorie ca fiind primul om care și-a încercat puterile cu misterioasele zerouri și infinități care împânzeau
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
rămas cu mult în urma rivalilor de pe continent în ceea ce privește dezvoltarea analizei matematice. Un francez, și nu un englez, avea să rămână în istorie ca fiind primul om care și-a încercat puterile cu misterioasele zerouri și infinități care împânzeau analiza matematică; matematicienii află de regula lui l’Hôpital imediat ce încep să studieze analiza matematică. Destul de straniu este însă faptul că nu l’Hôpital a stabilit regula care-i poartă numele. Născut în 1661, Guillaume-François-Antoine de l’Hôpital era marchiz - și, deci, foarte
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
matematică și, cu toate că a petrecut ceva vreme în armată, devenind căpitan de cavalerie, s-a întors repede la dragostea lui adevărată, matematica. L’Hôpital și-a cumpărat cel mai bun profesor ce putea fi cumpărat cu bani: Johann Bernoulli, un matematician elvețian, devenit unul dintre primii maeștri ai analizei matematice leibniziene a infinitezimalelor. În anul 1692, Bernoulli l-a învățat analiză matematică pe l’Hôpital, iar acesta a fost atât de încântat de noua matematică, încât l a convins pe profesorul
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
aceste expresii, dar în special 0/0, ar putea lua orice valoare dorită; depinde doar de funcțiile pe care le punem la numărător și la numitor. De aceea 0/0 este considerat nedeterminat. El nu mai constituia un mister total; matematicienii ar fi putut acum afla câteva informații despre 0/0 dacă îl abordau cu foarte multă grijă. Zero nu mai era un dușman ce trebuia evitat; era o enigmă ce trebuia studiată. Curând după moartea lui l’Hôpital, în 1704
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
ce trebuia studiată. Curând după moartea lui l’Hôpital, în 1704, Bernoulli a început să sugereze că acesta i-ar fi furat lucrările. La acea vreme, comunitatea matematică i-a respins acuzațiile; nu numai că l’Hôpital se dovedise un matematician abil, dar Johann Bernoulli avea reputația știrbită. Mai încercase să pretindă că era autorul unei demonstrații matematice care aparținea, de fapt, altcuiva. (Acel altcineva fiind, din întâmplare, chiar fratele său, Jakob.) De data aceasta însă, acuzația lui Johann Bernoulli era
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
a doua. Ca s-o spunem de la bun început, regula lui l’Hôpital studiază raportul 0/0 cu instrumentele inventate chiar pe baza lui 0/0. Discuțiile pe această temă se pot învârti în cerc, la infinit. Pe măsură ce fizicienii și matematicienii din întreaga lume începeau să folosească analiza matematică pentru a explica natura, Biserica protesta tot mai mult. În 1734, după șapte ani de la moartea lui Newton, un episcop irlandez, George Berkeley, scria o carte intitulată Analistul, sau Discurs adresat unui
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
din întreaga lume începeau să folosească analiza matematică pentru a explica natura, Biserica protesta tot mai mult. În 1734, după șapte ani de la moartea lui Newton, un episcop irlandez, George Berkeley, scria o carte intitulată Analistul, sau Discurs adresat unui matematician infidel. (Matematicianul în cauză era mai mult ca sigur Edmund Halley, care a fost dintotdeauna un susținător al lui Newton.) În Analistul, Berkeley s-a luat de necuratele trucuri făcute cu zerourile de Newton (și Leibniz). Numind infinitezimalele „fantome ale
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
lume începeau să folosească analiza matematică pentru a explica natura, Biserica protesta tot mai mult. În 1734, după șapte ani de la moartea lui Newton, un episcop irlandez, George Berkeley, scria o carte intitulată Analistul, sau Discurs adresat unui matematician infidel. (Matematicianul în cauză era mai mult ca sigur Edmund Halley, care a fost dintotdeauna un susținător al lui Newton.) În Analistul, Berkeley s-a luat de necuratele trucuri făcute cu zerourile de Newton (și Leibniz). Numind infinitezimalele „fantome ale cantităților dispărute
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
Concluzia sa a fost că „el, cel ce poate înghiți o a doua sau o a treia fluxiune, o a doua sau o a treia diferență, nu trebuie, cred eu, să fie scârbit de nici un punct forte al divinității“. Deși matematicienii timpului au protestat împotriva logicii lui Berkeley, bunul episcop avea perfectă dreptate. În acea vreme, analiza matematică era foarte diferită de alte ramuri ale matematicii. Fiecare teoremă geometrică fusese demonstrată riguros; pornind de la câteva reguli euclidiene și avansând pas cu
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
protestat împotriva logicii lui Berkeley, bunul episcop avea perfectă dreptate. În acea vreme, analiza matematică era foarte diferită de alte ramuri ale matematicii. Fiecare teoremă geometrică fusese demonstrată riguros; pornind de la câteva reguli euclidiene și avansând pas cu pas, un matematician era capabil să demonstreze că unghiurile unui triunghi însumează 180 de grade sau orice altă realitate geometrică. Analiza matematică, însă, se baza pe credință. Nimeni nu putea explica cum dispăreau infinitezimalele în momentul în care erau ridicate la puterea a
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
o simplă himeră. JEAN LE ROND D’ALEMBERT Exact când norii negri ai Revoluției franceze au început să se ivească la orizont, misticismul a fost exclus din analiza matematică. În ciuda temeliilor șubrede ale analizei, până la sfârșitul secolului al XVIII-lea, matematicienii din întreaga Europă au avut un succes nebun cu noul lor instrument de lucru. Colin Maclaurin și Brook Taylor, poate cei mai buni matematicieni britanici din epoca izolării de continent, au descoperit cum să utilizeze analiza matematică pentru a rescrie
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
fost exclus din analiza matematică. În ciuda temeliilor șubrede ale analizei, până la sfârșitul secolului al XVIII-lea, matematicienii din întreaga Europă au avut un succes nebun cu noul lor instrument de lucru. Colin Maclaurin și Brook Taylor, poate cei mai buni matematicieni britanici din epoca izolării de continent, au descoperit cum să utilizeze analiza matematică pentru a rescrie funcțiile într-o formă complet diferită. De exemplu, după ce utilizau anumite șiretlicuri de analiză matematică, și-au dat seama că funcția 1/(1 - x
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... Deși cele două expresii arată total diferit, ele reprezintă (cu mici excepții) unul și același lucru. Aceste excepții, care își au originea în proprietățile lui zero și ale infinității, pot deveni foarte importante, totuși. Matematicianul elvețian Leonhard Euler, însuflețit de ușoara mânuire a lui zero și a infinității prin intermediul analizei matematice, a folosit un raționament similar cu cel al lui Taylor și Maclaurin, pentru a „demonstra“ că suma ... 1/x3 + 1/ x2 + 1/x + 1
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
x + 1 + x + x2 + x3 ... este egală cu zero. (Pentru a vă convinge că la mijloc ceva este în neregulă, puneți 1 în loc de x și vedeți ce se întâm 142 ZERO: BIOGRAFIA UNEI IDEI PERICULOASE plă.) Euler a fost un matematician genial - de fapt, a fost unul dintre cei mai prolifici și influenți matematicieni din istorie -, dar, în acest caz, utilizarea neglijentă a lui zero și a infinității l-a condus pe o cale greșită. Un copil de pripas a dat
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]