4,066 matches
-
că la mijloc ceva este în neregulă, puneți 1 în loc de x și vedeți ce se întâm 142 ZERO: BIOGRAFIA UNEI IDEI PERICULOASE plă.) Euler a fost un matematician genial - de fapt, a fost unul dintre cei mai prolifici și influenți matematicieni din istorie -, dar, în acest caz, utilizarea neglijentă a lui zero și a infinității l-a condus pe o cale greșită. Un copil de pripas a dat o mână de ajutor, în final, la supunerea zerourilor și a infinităților din
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
ce se apropie tot mai mult de zero. Lucrul cu o sumă infinită - provenită fie din problema lui Ahile, fie din aflarea ariei de sub o curbă sau din găsirea unei forme alternative pentru o funcție matematică - i a făcut pe matematicieni să ajungă la rezultate contradictorii. D’Alembert a înțeles că problema lui Ahile dispare dacă stabilești o limită pentru cursă. În exemplul nostru de la pagina 48, cu fiecare pas pe care îl fac, Ahile și țestoasa se apropie tot mai
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
1,875, la 1,9375 și așa mai departe; se apropie tot mai mult de doi. Sumele au o destinație - o limită. Același lucru este valabil și pentru operația de derivare. În loc să împartă la zero, cum făceau Newton și Leibniz, matematicienii moderni împart la un număr pe care îl lasă să tindă spre zero. Fac împărțirea - perfect legal, din moment ce nu există zerouri - și apoi iau în considerare limita. Șiretlicurile de a face dispărute infinitezimalele ridicate la pătrat, pentru ca apoi să se
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
obținerii derivatei, nu mai erau necesare (vezi anexa C). Această logică poate semăna cu despicarea firului în patru, cu un argument la fel de mistic ca și „fantomele“ lui Newton, însă în realitate nu este chiar așa. Ea satisface stricta necesitate a matematicienilor de a avea totul cu cea mai mare rigurozitate. Există o bază foarte fermă, consistentă pentru conceptul de limite. Vă puteți lipsi chiar și de formulări de genul „Te provoc“, deoarece există și alte moduri de a defini o limită
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
la zero rezultă infinit; din împărțirea unui număr la infinit rezultă zero. Adunați zero la un număr și acesta rămâne neschimbat. Adunați un număr cu infinitul și infinitul nu se schimbă. Aceste asemănări erau evidente încă din timpul Renașterii, însă matematicienii au trebuit să aștepte până la sfârșitul Revoluției franceze pentru a putea, în sfârșit, clarifica marele secret al lui zero. Zero și infinitul sunt ca și cele două fețe ale aceleiași monede - egale și opuse, yin și yang, adversari la fel de puternici
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
opuse, yin și yang, adversari la fel de puternici, aflați la capetele opuse ale tărâmului numerelor. Natura problematică a lui zero emană din capacitățile bizare ale infinitului, iar infinitul poate fi înțeles numai prin studierea lui zero. Pentru a afla acest lucru, matematicienii au fost nevoiți să se aventureze în lumea imaginarului, o lume ciudată, în care cercurile sunt linii, liniile sunt cercuri, iar infinitul și zero stau la polii opuși. Imaginarul ... un refugiu frumos, minunat al spiritului divin - aproape un amfibiu între
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
linii, liniile sunt cercuri, iar infinitul și zero stau la polii opuși. Imaginarul ... un refugiu frumos, minunat al spiritului divin - aproape un amfibiu între ființă și neființă. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ Zero nu este singurul număr care a fost respins de matematicieni timp de secole. Așa cum zero a suferit din cauza prejudecăților grecești, și alte numere au fost ignorate, numere ce nu aveau nici o logică geometrică. Unul dintre aceste numere, i, deținea cheia proprietăților stranii ale lui zero. Algebra oferea un alt mod
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
geometrică. Unul dintre aceste numere, i, deținea cheia proprietăților stranii ale lui zero. Algebra oferea un alt mod de a privi numerele, neavând nici o legătură cu ideile geometrice grecești. În loc să încerce măsurarea ariei de sub o parabolă, cum făcuseră grecii, primii matematicieni care s-au aventurat în acest domeniu, al algebrei, au încercat să găsească soluții pentru ecuațiile care codifică relațiile dintre diferite numere. De exemplu, ecuația simplă 4x - 12 = 0 arată ce relație există între numărul necunoscut x și numerele cu
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
exemplu, se dă ecuația de mai sus și se schimbă semnul - în +. Acest fapt ne conduce la o ecuație în aparență nevinovată, 4x + 12 = 0, însă soluția acestei ecuații este acum -3, un număr negativ. Așa cum, vreme de secole întregi, matematicienii indieni l-au acceptat pe zero în timp ce europenii l-au respins, tot așa Orientul a îmbrățișat numerele negative, în timp ce Apusul a încercat să le ignore. Chiar și în secolul al XVII-lea, Descartes refuza să accepte ideea că numerele negative
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
și în cea europeană. Ele apăreau mereu în rezolvarea ecuațiilor, cum ar fi a celor pătratice. O ecuație liniară, precum 4x - 12 = 0, este extrem de ușor de rezolvat, așa că astfel de probleme nu i-au amuzat prea mult timp pe matematicieni. De aceea, și-au îndreptat repede atenția spre altele, mai grele: ecuațiile pătratice - cele care încep cu termenul x2, de genul x2 - 1 = 0. Ecuațiile pătratice sunt mai complicate decât ecuațiile obișnuite; un motiv ar fi că pot avea două
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
importantă în algebra de liceu. Formula pentru aflarea rădăcinilor unei ecuații pătratice, ax2 + bx + c = 0 este: Semnul + ne dă o rădăcină, în timp ce semnul - ne o dă pe cealaltă. Formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea era cunoscută de secole; matematicianul al-Khowarizmi, din secolul al IX lea, știa să rezolve aproape orice ecuație pătratică, deși nu părea să considere că numerele negative pot fi rădăcini. La puțin timp după aceea, matematicienii au învățat să accepte numerele </formula>. negative ca soluții valabile
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea era cunoscută de secole; matematicianul al-Khowarizmi, din secolul al IX lea, știa să rezolve aproape orice ecuație pătratică, deși nu părea să considere că numerele negative pot fi rădăcini. La puțin timp după aceea, matematicienii au învățat să accepte numerele </formula>. negative ca soluții valabile ale ecuațiilor. Numerele imaginare, însă, erau puțin diferite. Numerele imaginare nu apăreau niciodată în ecuații liniare, dar începuseră să se strecoare prin cele pătratice. Luați în considerare ecuația x2 + 1
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
vă trece prin minte și tot nu obțineți rezultatul corect. Efectiv, expresia nu se scindează. Mai rău, când încerci să extragi rădăcina de ordinul doi, obții două rezultate ridicole: + √-1 și - √-1 Aceste expresii par a nu avea nici un sens. Matematicianul indian Bhaskara scria în secolul al XII-lea că „nu există rădăcina pătrată a unui număr negativ, deoarece un număr negativ nu este un pătrat“. Ceea ce înțelesese Bhaskara și alții era că atunci când ridici un număr pozitiv la pătrat, obții
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
numere sunt chiar mai rele decât numerele negative; a dat și o denumire ironică rădăcinilor pătrate ale numerelor negative: numere imaginare. Denumirea aceasta a dăinuit și, în cele din urmă, simbolul pentru rădăcina pătrată a lui -1 a devenit i. Matematicienii specializați în algebră îl iubeau pe i. Aproape toți ceilalți îl urau, însă. El făcea minuni în rezolvarea polinoamelor - expresii de genul x3+ 3x + 1, care îl conțin pe x ridicat la diverse puteri. De fapt, odată ce îi permiți lui
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
gradul al cincilea - cele care încep cu x5 - se scindează în cinci. Toate polinoamele de grad n - cele ce încep cu xn - se scindează în n termeni diferiți. Aceasta este teorema fundamentală a algebrei. Încă din secolul al XVI-lea, matematicienii foloseau numere care îl includeau pe i - așa numitele numere complexe - pentru a rezolva polinoame de gradul trei și patru. Și, în timp ce mulți matematicieni considerau numerele complexe drept o ficțiune convenabilă, alții îl vedeau în ele pe Dumnezeu. Leibniz credea
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
în n termeni diferiți. Aceasta este teorema fundamentală a algebrei. Încă din secolul al XVI-lea, matematicienii foloseau numere care îl includeau pe i - așa numitele numere complexe - pentru a rezolva polinoame de gradul trei și patru. Și, în timp ce mulți matematicieni considerau numerele complexe drept o ficțiune convenabilă, alții îl vedeau în ele pe Dumnezeu. Leibniz credea că i este un amestec ciudat între existență și nonexistență, ceva ca un fel de încrucișare între 1 (Dumnezeu) și 0 (vid) în schema
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
revolta avea să deposedeze Anglia de cea mai bogată colonie a sa. În 1789, imediat după ce George Washington depusese jurământul ca președinte al nou-fondatelor State Unite, a izbucnit Revoluția franceză. După încă patru ani, revoluționarii îl decapitau pe regele Franței. Un matematician, Gaspard Monge, a semnat raportul guvernului revoluționar, prin care se comunica oficial execuția regelui. Monge era un geometru renumit, specializat în geometrie tridimensională. Era responsabil de modul în care arhitecții și inginerii proiectau clădiri și mașini: ei proiectau modelul pe
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
deschide și se transformă într-o parabolă. Astfel, punctul de la infinit al lui Kepler a demonstrat că parabolele și elipsele sunt, de fapt, unul și același lucru. Acesta a fost începutul disciplinei cunoscută sub denumirea de geometrie proiectivă, în care matematicienii privesc umbrele și proiecțiile figurilor geometrice, pentru a descoperi adevărurile ascunse în ele, unele chiar mai puternice decât echivalența parabolelor și elipselor. Dar totul depindea de acceptarea unui punct aflat la infinit. Gérard Desargues, un arhitect din secolul al XVII
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
unul dintre pionierii geometriei proiective. El a folosit punctul de la infinit pentru a demonstra câteva teoreme noi și foarte importante, însă colegii săi nu i-au putut înțelege terminologia și au ajuns la concluzia că Desargues era nebun. Deși unii matematicieni, puțini la număr, ca Blaise Pascal, au învățat câte ceva de la Desargues, contribuția acestuia a fost uitată. Nimic din toate acestea nu a avut importanță pentru Jean-Victor Poncelet. Ca elev al lui Monge, Poncelet învățase tehnica proiectării figurilor pe două planuri
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
două planuri, iar ca prizonier de război avea destul timp liber la dispoziție. El a profitat de perioada petrecută în închisoare pentru a reinventa conceptul de punct aflat la infinit și, combinându-l cu ideile lui Monge, a devenit primul matematician cu adevărat specialist în geometrie proiectivă. Când s-a întors din Rusia (aducând cu el un abac rusesc, considerat pe atunci o ciudățenie antică), a ridicat această disciplină la rang de artă. Dar Poncelet nu avea nici cea mai vagă
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
și Poncelet. Pur și simplu liniile din plan sunt echivalentele cercurilor de pe sferă ce trec prin polul nord - punctul de la infinit (Figura 37). De îndată ce Riemann a constatat că planul complex (cu un punct la infinit) era același lucru cu sfera, matematicienii au putut judeca înmulțirea, împărțirea și alte operații mai dificile analizând modul în care sfera se deforma și se rotea. De exemplu, înmulțirea cu numărul i era echivalentă cu rotirea globului cu 90 de grade în jurul axei verticale, în sensul
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
rădăcinile, ca să zic așa, până am descoperit cel dintâi motiv sigur al existenței tuturor lucrurilor create. GEORG CANTOR Infinitul nu mai avea legături cu misticismul; devenise un număr obișnuit. Era un specimen înfipt într-un ac, gata de studiu, și matematicienii s-au grăbit să-l analizeze. Însă în adâncurile infinitului - cuibărite în vastul șir neîntrerupt de numere -, zero continua să apară. Și, lucrul cel mai înfricoșător: însuși infinitul putea fi zero. În timpurile străvechi, înainte ca Riemann să înțeleagă că
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
zero continua să apară. Și, lucrul cel mai înfricoșător: însuși infinitul putea fi zero. În timpurile străvechi, înainte ca Riemann să înțeleagă că planul complex era de fapt o sferă, funcțiile de tipul 1/x i-ar fi încurcat pe matematicieni. Când x se apropie de zero, 1/x crește și tot crește, până când, brusc, ajunge la infinit. Riemann a făcut ca ajungerea unui număr la infinit să devină perfect acceptabilă; din moment ce infinitul nu era decât un punct de pe sferă, ca
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
crește, până când, brusc, ajunge la infinit. Riemann a făcut ca ajungerea unui număr la infinit să devină perfect acceptabilă; din moment ce infinitul nu era decât un punct de pe sferă, ca orice alt punct, nu mai putea fi de temut. Mai mult, matematicienii au început chiar să analizeze și să clasifice punctele din care o funcție se îndreaptă brusc spre infinit: punctele singulare. Curba 1/x are un punct singular în x = 0 - un tip foarte simplu de punct singular, pe care matematicienii
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]
-
matematicienii au început chiar să analizeze și să clasifice punctele din care o funcție se îndreaptă brusc spre infinit: punctele singulare. Curba 1/x are un punct singular în x = 0 - un tip foarte simplu de punct singular, pe care matematicienii l-au numit pol. Mai există și alte tipuri de puncte singulare; de exemplu, curba sin (1/x) are un punct singular esențial în x = 0. Punctele singulare esențiale par a fi niște bestii nepământești; când se apropie de un
Zero-biografia unei idei periculoase by Charles Seife () [Corola-publishinghouse/Science/1320_a_2892]