17,513 matches
-
matematicianului francez Siméon-Denis Poisson. În coordonatele canonice formula 2 din spațul fazelor, fiind date două funcții formula 3 și formula 4, paranteza lui Poisson este definită de următoarea ecuație: are o serie de proprietăți analoage produsului vectorial. Fie formula 6 și formula 7, funcții de variabilele formula 8, iar formula 9 o constantă oarecare. Paranteza lui Poisson verifică următoarele relații: Ultima relație poartă numele de identitatea Poisson-Jacobi. [[Ecuația Hamilton-Jacobi|Ecuația de mișcare Hamilton-Jacobi]] are o expresie echivalentă în termenii parantezei lui Poisson. Pentru a demonstra acest lucru fie
Paranteza lui Poisson () [Corola-website/Science/317866_a_319195]
-
mecanic evoluează într-o manieră deterministă și îi putem determina pozițiile ulterioare dacă se cunoaște poziția și viteza inițală a lui într-un punct oarecare. Pentru a considera și viteza este necesar să adăugăm la cele n coordonate alte noi variabile formula 5, care reprezintă impulsurile pe direcțiile coordonatelor. Ansamblul valorilor formula 6 pe care le pot lua diferiți parametrii se numește "spațiul fazelor". Ca un exemplu al mișcărilor în spațiul fazelor este vizualizată mișcare unui pendul simplu în acest spațiu. În cele
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
(n. 20 octombrie 1863, la Londra - d. 7 iulie 1942, la Lausanne) a fost un matematician englez. Printre domeniile în care și-a adus contribuții, putem enumera: teoria măsurii, seriile Fourier, calculul diferențial și funcțiile cu mai multe variabile complexe. În analiza matematică, două tipuri de inegalități îi poartă numele: inegalitatea lui Young și inegalitatea Hausdorff-Young. A colaborat cu soția sa, matematiciana Grace Chisholm Young. Fiica acestora, Laurence Chisholm Young, urmează drumul părinților, fiind la rândul acesteia o cunoscută
William Henry Young () [Corola-website/Science/318039_a_319368]
-
ramuri ale matematicii sau fizicii, precum sistemele dinamice, geometria simplectică sau haosului cuantic. De exemplu, ecuația Hamilton-Jacobi este folositoare la determinarea geodezicelor pe o mulțime Riemanniană, care este o problemă importantă variațională din geometria Riemanniană. Pentru a fi conciși, folosim variabile îngroșate, precum formula 24, pentru a reprezenta cele formula 25 coordonate generalizate: care nu se transformă neapărat printr-o rotație ca un vector. Produsul scalar este definit aici drept suma produselor componentelor corespunzătoare, adică: Orice transformare canonică implică o funcție generatoare formula 28
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
scrise pentru componentele lui formula 40: Aceste formula 25 ecuații pot fi inversate pentru a găsi coordonatele generalizate originale formula 24 ca funcții de constantele formula 48 și formula 49, astfel putând rezolva problema originală. Ecuația Hamilton-Jacobi este foarte folositoare când poate fi rezolvată via variabilelor separabile aditive, care identifică direct constantele de mișcare. De exemplu, timpul t poate fi separat dacă Hamiltonianul nu depinde explicit de timp. Î acest caz, derivata funcție de timp formula 50 trebuie să fie o constantă, notată cu formula 51, dând soluția: în
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
să fie o constantă, notată cu formula 51, dând soluția: în care, funcția independentă de timp formula 53 este numită uneori și funcția caracteristică a lui Hamilton. Atunci, ecuația Hamilton-Jacobi redusă poate fi scrisă astfel: Pentru a ilustra separabilitatea și pentru alte variabile presupunem că, oricare coordonată generalizată formula 55 și derivata ei formula 56 apar împreună în Hamiltonian ca o singură funcție formula 57, iar H se scrie: În acest caz, funcția formula 3 poate fi despărțită în două funcții, una care depinde numai de formula 55
Ecuația Hamilton–Jacobi () [Corola-website/Science/318026_a_319355]
-
a/3k (vezi Fig.2). Proprietatea de integrabilitate este invariantă atât la schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
la schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n, astfel încât, în noile variabile, coeficienții tuturor diferențialelor să se anuleze, cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
cu excepția unuia singur. Intuitiv, dacă ecuațiile suprefețelor "înfășurate" de planele Ω=0 sunt cunoscute: x=x(x,x...x,x), unde x este coordonata intersecției lor cu axa x și dacă ∂x/∂x ≠ 0, atunci o astfel de schimbare de variabile se obține din soluția acestei ecuații față de x: x=x(x1,x2..xn) și punând x' = x, x'=x...x'=x , x'=x. În noile coordonate, ecuația suprafețelor devine simplu x = const. (Vezi Fig.3) În formularea termodinamicii după Carathéodory
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
sunt x,x... și un parametru intensiv x(în mod obișnuit presiunea p sau temperatura T). Scriind expresia (1.17) am presupus că ecuația U=U(x,x,x..x) este rezolvabilă în raport cu x, și deci că putem să folosim variabila U în locul acestuia. Forma DQ nu are o integrală independentă de drum, dar toate soluțiile ecuatiei DQ=0, adică multimea punctelor (U,x,x...x) care sunt accesibile de la un punct inițial (U,x...x) prin procese "adiabatice și reversibile
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție unică y(x,y) definită intr-o vecinătate U "X" U a lui (x,y), cu derivate continue față de ambele variabile și astfel incât y(x,y)=y pentru un y în U. Deoarece ∂y(x,y)/∂y tinde către 1 când x tinde către x , putem rezolva ecuația y=y(x,y) față de y pentru x și y într-o
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
integrală primă a ecuației diferențiale: o funcție constantă de-a lungul soluțiilor ecuației. Scriind diferențiala totală a funcției y(x,y):formula 26 deducem : formula 27 și identificăm factorul integrand cu (∂y/∂y)(x,y))b(x,y). În concluzie, schimbarea de variabile (2.3) (și x'=x) "integrează" 1-forma Ω : soluțiile lui Ω=0 sunt y = const (vezi Fig.4). În 2 dimensiuni, aceasta este totdeauna posibil. Interpretarea (inversului) temperaturii absolute ca factor integrand al cantității de căldură este datorită lui Helmholtz
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
y,z) și b(x,y,z)/c(x,y,z):formula 36 Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției (2.13) și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
explicit funcția z(x,y). Considerăm pentru aceasta la fiecare x fixat (dx=0) ecuația diferențială pentru z(x,y):formula 37 care are, într-o vecinătate U a punctului considerat (x,y,z) o soluție z(x,y,z), unde variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x fixat, ecuația "z=z(x,y,z)" poate fi rezolvată față de z, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
soluție z(x,y,z), unde variabila z este definită de condiția inițială : z(x,y,z) = z. La fiecare x fixat, ecuația "z=z(x,y,z)" poate fi rezolvată față de z, ca mai sus. Facem acum schimbarea de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de variabile:formula 38 unde am folosit soluția ecuației (2.14); după această transformare, 1-forma Ω devine:formula 39 Dar în virtutea ecuației (2.14 ) termenii conținând pe dy dispar. După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz este o constantă:formula 40Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1. Considerăm formula 42 pentru x,y,z împrejurul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
După remarca de mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz este o constantă:formula 40Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1. Considerăm formula 42 pentru x,y,z împrejurul lui (x,y,z)=(1,1,1). Condiția (2.13) este satisfăcută, dar Ω nu e o diferențială totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
dar Ω nu e o diferențială totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe Ω) , rezolvăm întâi Ω=0 punând x=const (dx=0); obținem soluția z(x,y,z)=z/y² (z=z când y=1). În noile variabile x,y,z:formula 43 Soluția ecuației Ω=0 (trebuie să fie independentă de y!) este z(x,z)=z/x³ cu condiția la limită z(1,z)=z Deducem: z = z/(x³y²), deci o funcție F posibilă este:formula 44 Construcția
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
fie e: dar atunci, când dΩ(e,e) ≠ 0, Ω (e)=0; când Ω(e) ≠ 0, atunci dΩ(e,e)=0.Aceasta justifică formularea (4.8). Teorema lui Frobenius poate fi generalizată la sisteme de p forme diferențiale cu n variabile (p≤n-1):formula 57 Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
q=1,2, atunci ∂a/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure forme (vezi "remarca" din §2.3), dacă un sistem de 1-forme este integrabil și coeficienții uneia din diferențiale se anulează identic, atunci variabila corespunzătoare dispare complet din toți coeficienții formelor sistemului . Aceasta este adevărat pentru orice p. Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în cazul unei singure 1-forme: fixăm intâi pe x (dx=0
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]