17,513 matches
-
de descreștere" (sau "de coborâre"), iar formula 43 are ca efect creșterea cu o unitate a numărului a valorii proprii motiv pentru care mai este denumit și "operator de creștere" Printr-un procedeu de algebra operatorilor și trecerea la o nouă variabilă prin care se transormă coordonata x a microparticulei într-o nouă coordonată adimensională:formula 52, se găsesc pentru operatorii de crestere si de descrestere formele: Ecuația care determină univoc forma funcției formula 53 este de forma: Prin integrare si normare se obține
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
integrare si normare se obține soluția normată în scara naturală formula 22: Aplicând de n ori relația de recurență dintre formula 42 si formula 35 se ajunge la expresia: Folosind identitatea: unde formula 57 reprezintă o funcție arbitrară, continuă, de n ori derivabilă de variabilă reală formula 22, relația de recurență (3.17) capătă forma: formula 59 Pornind de la forma ecuației cu valori proprii pentru hamiltonianul oscilatorului clasic Pentru simplificarea formei ecuației, se introduce o notație ajutătoare dată de relația această schimbare este echivalentă cu alegerea unei
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
notație ajutătoare dată de relația această schimbare este echivalentă cu alegerea unei unități naturale de lungime pentru exprimarea elongațiilor. Avantajul acestei alegeri constă în aceea că exponențialele din expresiile funcțiilor de undă vor avea exponenții adimensionali și va permite separarea variabilei temporale de cea spațială. Cu această notație, forma ecuației (2.1) devine: Ecuația de mai sus este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea și ea admite două soluții liniar independente, oricare ar fi valoarea parametrului real E. Se
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
de mai sus este o ecuație diferențială liniară de ordinul al doilea și ea admite două soluții liniar independente, oricare ar fi valoarea parametrului real E. Se poate arăta, că în general, soluțiile analitice cresc nemărginit pentru cazul în care variabila formula 60 tinde la ±formula 61. Un asemenea comportament neasimptotic nu este convenabil din punct de vedere al mecanicii cuantice din cauza faptului că nu îndeplinește condiția de normare. Pentru anumite valori însă ale parametrului E, se pot obține soluții particulare ce respactă
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
cuantice din cauza faptului că nu îndeplinește condiția de normare. Pentru anumite valori însă ale parametrului E, se pot obține soluții particulare ce respactă limitările impuse de condiția de normare. Ceficienții ecuației (2.2) nu prezintă singularități pentru valori finite ale variabilei formula 60, probleme pot apărea numai la infinit, datorită prezenței termenului formula 63 din expresia ecuației; acest termen provine de la energia potențială a câmpului de forțe ce acționează asupra microparticulei. Studiul influenței acestui termen se poate face pornid de la constatarea că funcțiile
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
compenseze exponențiala. Prin înlocuirea expresiei (2.5) în ecuația (2.2) se obține pentru funcția formula 66 ecuația În vederea simplificării scrierii se introduc următoarele notații ajutătoare: cu aceste notații, ecuația (2.6) ia forma Această ecuație este invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 66 este o soluție, atunci și formula 69 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 70 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
invariantă la schimbarea semnului variabilei, din acest motiv, dacă formula 66 este o soluție, atunci și formula 69 este o soluție. Prin urmare, datorită liniarității și omogenității ecuației rezultă că și formula 70 sunt soluții ale ecuației. Prima este invariantă la schimbarea semnului variabilei, în timp ce a doua își schimbă semnul: se zice că prima este pară iar a doua impară. Pentru ecuația (2.8) se caută o soluție pară și una impară. Cele două soluții se scriu sub forma unor serii de puteri, astfel
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
pare, iar cea de a doua ca serie de puteri impare: Prin înlocuirea acestor serii în ecuația (2.8)se găsesc de asemenea serii care, pentru a satisface ecuația, trebuie să fie identic nule. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a variabilei formula 60 se anulează și se obțin relațiile de recurență ce permit găsirea coeficienților formula 72 și formula 73: Relații din care se deduc expresiile: În relațiile de mai sus numă rul natural n poate lua succesiv valorile 0,1,2... . Cele două
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
numărătorul termenilor din serie poate avea și valori întregi și negative sau nul, de aceea se poate lua formula 74,cu formula 75. Din acest motiv expresia seriei din definiția funcției hipergeometrice degenerate se reduce la un polinom de gradul n în variabila formula 76, se spune că are loc trunchierea seriei. Pentru a demonstra o proprietate remarcabilă a funcției formula 77 se face uz de o teoremă cunoscută din teoria seriilor de funcții: →(de aici voi continua cu demonstrarea suficienței)← Revenind la expresia de
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
adică având o infinitate de termeni. Convergența seriei este asigurată prin criteriul de convergență al raportului, cu alte cuvinte: modulul raportului a doi termeni consecutivi tinde la zero atunci când n tinde la infinit, pentru toate valorile reale sau complexe ale variabilei formula 76. Acest criteriu se poate verifica simplu prin scrierea limitei de mai jos în care variabila formula 76, parametrii a și b pot avea orice valoare dar sunt finite. În condițiile acestea, ținând seama de relația formula 92, demonstrată mai sus funcția
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
cu alte cuvinte: modulul raportului a doi termeni consecutivi tinde la zero atunci când n tinde la infinit, pentru toate valorile reale sau complexe ale variabilei formula 76. Acest criteriu se poate verifica simplu prin scrierea limitei de mai jos în care variabila formula 76, parametrii a și b pot avea orice valoare dar sunt finite. În condițiile acestea, ținând seama de relația formula 92, demonstrată mai sus funcția hipergeometrică degenerată se supune relației relație care este adevărată oricare ar fi numărul k cuprins strict
Oscilatorul armonic liniar (cuantic) () [Corola-website/Science/326491_a_327820]
-
găsește astfel, forma ecuației Schrödinger temporale pentru oscilatorul armonic liniar (unidimensional): Legătura dintre ecuația lui Schrödinger și ecuația clasică al lui Hamilton-Jacobi sugerează căutarea unei soluții particulare de forma: formula 9, unde formula 10 este un polinom de gradul al doilea de variabilă x având coeficienții formula 11, formula 12, formula 13 în general dependenți de timp. Expresia generală a acestui polinom se scriesub forma formula 14 (1.4). Folosind această formă, se exprimă derivatele parțiale din ecuația Schrödinger prin expresiile: formula 15formula 16 formula 17formula 18 formula 19formula 20 Întrucât factorul exponențial
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
Întrucât factorul exponențial este definit strict pozitiv, prin înlocuirea acestor derivate în expresia ecuației, se poate simplifica prin el și se găsește egalitatea: formula 21formula 22 Condiția necesară, ca această egalitate să fie satisfăcută este aceea ca toți coeficienții acelorași puteri ale variabilei spațiale să fie nule. Din această condiție se obține sistemul de ecuații lineare ce permite calcularea coeficienților formula 23, formula 12 și formula 13: formula 26formula 27 formula 28formula 29 formula 30formula 31 Soluția trivială a ecuației (1.7) este aceea în care coeficientul formula 32 este independent de timp
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
fizic este nesemnificativ pentru soluția de la (1.3). Înlocuind expresiile găsite pentru formula 23, formula 12 și formula 13 în formula (1.4) rezultă forma funcției formula 10 formula 51formula 52 Pentru aducerea la o formă mai simplă a acestei expresii se face o schimbare de variabilă prin care se trece de la coordonata x a microparticulei la o nouă coordonată adimensională: formula 53formula 54 această schimbare induce alegerea unei unități naturale de lungime pentru măsurarea elongațiilor. Avantajul acestei alegeri constă în aceea că exponențialele din expresiile funcțiilor de undă
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
microparticulei la o nouă coordonată adimensională: formula 53formula 54 această schimbare induce alegerea unei unități naturale de lungime pentru măsurarea elongațiilor. Avantajul acestei alegeri constă în aceea că exponențialele din expresiile funcțiilor de undă vor avea exponenții adimensionali și va permite separarea variabilei temporale de cea spațială. Cu această notație, forma funcției formula 55 devine: formula 56formula 57 Folosind notația ajutătoare: formula 58formula 59 soluția (1.4) se scrie formula 60formula 61 se observă că factorul ce conține variabila formula 62 se poate dezvolta în serie de puteri ale acestei variabile
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
variabilei temporale de cea spațială. Cu această notație, forma funcției formula 55 devine: formula 56formula 57 Folosind notația ajutătoare: formula 58formula 59 soluția (1.4) se scrie formula 60formula 61 se observă că factorul ce conține variabila formula 62 se poate dezvolta în serie de puteri ale acestei variabile, având coeficienți care depind de variabila spațială formula 63: formula 64formula 65 Dacă dezvoltarea în serie se face dezvoltând separat factorul formula 66 respectiv formula 67 se constată că funcțiile formula 68 sunt polinoame de gradul formula 69, de variabilă formula 63. De fapt, ele sunt polinoamele Hermite
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
această notație, forma funcției formula 55 devine: formula 56formula 57 Folosind notația ajutătoare: formula 58formula 59 soluția (1.4) se scrie formula 60formula 61 se observă că factorul ce conține variabila formula 62 se poate dezvolta în serie de puteri ale acestei variabile, având coeficienți care depind de variabila spațială formula 63: formula 64formula 65 Dacă dezvoltarea în serie se face dezvoltând separat factorul formula 66 respectiv formula 67 se constată că funcțiile formula 68 sunt polinoame de gradul formula 69, de variabilă formula 63. De fapt, ele sunt polinoamele Hermite care formează un sistem complet de
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
dezvolta în serie de puteri ale acestei variabile, având coeficienți care depind de variabila spațială formula 63: formula 64formula 65 Dacă dezvoltarea în serie se face dezvoltând separat factorul formula 66 respectiv formula 67 se constată că funcțiile formula 68 sunt polinoame de gradul formula 69, de variabilă formula 63. De fapt, ele sunt polinoamele Hermite care formează un sistem complet de polinoame ortogonale. Prin schimbarea simultană a semnelor variabilelor formula 71 și formula 63 în primul membru, expresia acestui membru nu se modifică. Prin urmare: formula 73formula 74 prin compararea acestei relații
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
se face dezvoltând separat factorul formula 66 respectiv formula 67 se constată că funcțiile formula 68 sunt polinoame de gradul formula 69, de variabilă formula 63. De fapt, ele sunt polinoamele Hermite care formează un sistem complet de polinoame ortogonale. Prin schimbarea simultană a semnelor variabilelor formula 71 și formula 63 în primul membru, expresia acestui membru nu se modifică. Prin urmare: formula 73formula 74 prin compararea acestei relații cu forma expresiei (1.17)se obține formula explicită a polinoamelor Hermite formula 75formula 76 Prin înlocuirea dezvoltărilor anterioare în relația (1.16
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
în relația (1.16) a soluției și ținând cont de notațiile făcute se obține formula 77formula 78 sau în forma explicită: formula 79formula 80 Expresia de mai sus (1.22.1) reprezintă o soluție a ecuației lui Schrödinger (1.2), transcrisă cu schimbarea de variabilă x→formula 81 (1.13), oricare ar fi valoarea de regulă complexă a constantei arbitrare de integrare u. Prin urmare, coeficientul fiecărei puteri a acestei mărimi este și el o soluție a ecuației temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
acestei mărimi este și el o soluție a ecuației temporale al lui Schrödinger (1.2). Pe baza acestui raționament se obțin următoarele soluții ale acestei ecuații: Se poate observa că în această ultimă formă a soluțiilor, termenii spațiali (care conțin variabila spațială formula 81-elongația exprimată în unități naturale) se pot separa de termenul temporal (cel care conține variabila t-timpul). Dacă notăm prin formula 83 partea spațială și prin formula 84 parte temporală a soluțiilor, atunci se poate scrie soluția scriindu-se prin expresia
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
baza acestui raționament se obțin următoarele soluții ale acestei ecuații: Se poate observa că în această ultimă formă a soluțiilor, termenii spațiali (care conțin variabila spațială formula 81-elongația exprimată în unități naturale) se pot separa de termenul temporal (cel care conține variabila t-timpul). Dacă notăm prin formula 83 partea spațială și prin formula 84 parte temporală a soluțiilor, atunci se poate scrie soluția scriindu-se prin expresia formală formula 85 (1.24.2). Soluția formula 83 (1.24) este rezolvarea ecuației Schrödinger atemporale scrisă în
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
din anul 1900 Prin înmulțirea ambilor membrii ai egalității (1.17) cu expformula 89 se obține următoarea relație pentru formula 83 Forma aceasta permite găsirea normelor pentru funcțiile formula 83. Dacă se transcrie această relație prin înlocuirea lui n cu m și al variabilei v cu w: prin înmulțirea membru cu membru a celor două egalități și integrarea după formula 81 între limitele formula 93 și formula 94 se obține Primul membru se poate transforma sub forma: prin urmare: Membrul întâi depinde numai de produsul formula 95 este
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
necesar ca și membrul al doilea să depindă de același produs, rezultă în continuare că pentru n diferit de m coeficienții tuturor termenilor trebuie să se anuleze: Această relație reprezintă condiția de ortogonalitate pentru funcțiile formula 83, aceste funcții sunt de variabilă reală și corespund unor nivele de energie diferite, cuantificate prin numărul natural n. Prin egalarea coeficienților termenului formula 97 în ambii membrii a egalității, se obține identitatea: Funcțiile proprii normate, exprimate în scara naturală formula 81 se scrie deci sub forma: sau
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda analitică) () [Corola-website/Science/326494_a_327823]
-
B: în care notația lui Feynman ∇ însemnă operatorul gradient subscris aplicat numai asupra factorului B. În notație cu punct deasupra: Gradientul produsul scalar a două câmpuri scalare formula 33 și formula 34 urmează aceeași regulă ca cea a produsului pentru o singură variabilă:
Identitățile calculului vectorial () [Corola-website/Science/323691_a_325020]