202 matches
-
Adesea este de dorit să avem cel mai general domeniu posibil al transformatei Fourier. Definirea transformatei Fourier ca o integrală, restricționează domeniul la spațiul funcțiilor integrabile. Din nefericire, nu există caracterizări simple pentru care funcțiile sunt transformate Fourier de funcții integrabile. Este posibil să extindem domeniul transformatei Fourier pe diverse căi. Lista următoare detaliază câteva din domeniile comune și raza pentru care transformata Fourier este definită. Alte notații pentru formula 97 sunt: Notarea transformatei Fourier cu literă mare corespunde literei folosite pentru
Transformata Fourier () [Corola-website/Science/305957_a_307286]
-
de vectori , adică primele 2 cu valoarea 2, și următoarele 0, converge la pentru , dar nu și pentru : Mai general decât șirurile de numere reale, funcțiile sunt dotate cu o normă care înlocuiește suma de mai sus cu Spațiul funcțiilor integrabile pe un anumit domeniu Ω (de exemplu un interval) care satisfac , și sunt echipate cu această normă se numesc spații Lebesgue, notate "L"(Ω). Aceste spații sunt complete. (Dacă se folosește integrala Riemann în schimb, spațiul "nu" este complet, ceea ce
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
Lebesgue, notate "L"(Ω). Aceste spații sunt complete. (Dacă se folosește integrala Riemann în schimb, spațiul "nu" este complet, ceea ce poate fi considerat a fi o justificare pentru teoria integrării Lebesgue.) Concret, aceasta înseamnă că pentru orice șir de funcții integrabile Lebesgue , cu , care îndeplinesc condiția există o funcție "f"("x") aparținând spațiului vectorial "L"(Ω), astfel încât Impunerea condițiilor de mărginire nu numai pe funcție ci și pe derivatele ei duce la . Spațiile prehilbertiene complete se numesc "spații Hilbert", în cinstea
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
integrarea. La început, "dx" reprezenta o "cantitate infinitezimală", iar S-ul alungit însemna „sumă”. Însă teoria modernă a integralei este construită pe alte fundamente, iar aceste simboluri tradiționale au devenit simple notații. Dacă o funcție are integrală, ea se numește integrabilă. Funcția pentru care se calculează integrala se mai numește integrand. Regiunea peste care este integrată o funcție se numește domeniu de integrare. În general, integrandul poate fi o funcție de mai multe variabile, iar domeniul de integrare poate fi o suprafață
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
formă diferențială. Rezultatul obținut va fi același. Există mai multe moduri de definire a integralelor, și nu toate sunt echivalente între ele. Diferențele au apărut mai ales din nevoia de a trata diferitele cazuri speciale de funcții care nu sunt integrabile sub o anume definiție, dar ocazional și din motive pedagogice. Cele mai comune definiții sunt cele ale integralei Riemann și a integralei Lebesgue. Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului. Fie
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
și a găsi astfel masa unei bare de oțel, dar nu poate trata cazul unei bile de oțel care stă pe aceasta. Din această cauza au apărut și alte definiții, care permit unei game mai largi de funcții să fie integrabile . În particular, integrala Lebesgue aduce o mare flexibilitate atrăgând atenția asupra ponderilor din sumă. Astfel, definiția integralei Lebesgue începe cu o măsură μ. În cazul cel mai simplu, măsura Lebesgue μ("A") a unui interval "A" = ["a","b"] este lățimea
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
nenegativă "f" se definește adică, integrala lui "f" este supremum al tuturor integralelor de funcții simple mai mici sau egale cu "f". O funcție măsurabilă generală "f", este împărțită între valorile sale pozitive și negative definind În final, "f" este integrabilă Lebesgue dacă și integrala este definită de Dacă spațiul pe care sunt definite funcțiile este spațiu topologic local compact (ca în cazul numerelor reale formula 30), pot fi definite diferit măsuri compatibile cu topologia (Măsuri Radon, din care face parte și
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
alternativă a integralei. Aceasta este abordarea lui Daniell pentru cazul functiilor cu valori reale pe o mulțime "X", generalizate de Bourbaki la funcții cu valori într-un spațiu vectorial topologic local compact. Sunt valabile mai multe inegalități generale pentru funcții integrabile Riemann, definite pe un interval închis și mărginit ["a", "b"]. Acestea pot fi generalizate și pentru alte feluri de integrală (cum ar fi integralele Lebesgue și Daniell). Fie "f" o funcție cu valori reale integrabilă Riemann. Integrala pe un interval
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
multe inegalități generale pentru funcții integrabile Riemann, definite pe un interval închis și mărginit ["a", "b"]. Acestea pot fi generalizate și pentru alte feluri de integrală (cum ar fi integralele Lebesgue și Daniell). Fie "f" o funcție cu valori reale integrabilă Riemann. Integrala pe un interval ["a", "b"] este definită dacă "a" < "b". Aceasta înseamnă că sumele inferioară și superioară ale funcției "f" sunt evaluate pe o partiție "a" = "x" ≤ "x" ≤ . . . ≤ "x" = "b" cu valorile "x" crescătoare. Geometric, aceasta înseamnă că
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
a", "b"]; cea de-a doua spune că o integrală pe un interval degenerat, sau un punct, trebuie să fie zero. Un motiv pentru prima convenție este că integrabilitatea lui "f" e un interval ["a", "b"] înseamnă că "f" este integrabilă pe orice subinterval ["c", "d"], dar în particular integralele au proprietatea: Cu prima convenție, integrala rezultată este bine definită pentru orice permutare ciclică a lui "a", "b", și "c". În loc de a privi cele de mai sus drept convenții, se poate
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
ecuației lui Schrödinger. Este o ecuație a unui câmp clasic cu aplicații în optică si unde generate de vânt. Spre deosebire de ecuația Schrödinger liniară, ecuația neliniară nu descrie niciodată evoluția în timp a unei stări cuantice. Ea este exemplul unui model integrabil. În mecanica cuantică, ecuația neliniară este un exemplu al câmplului neliniar Schrödinger, iar când acesta este cuantificat canonic, descrie o particulă bosonică interacționând cu funcția delta - particulele respingându-se sau atrăgându-se atunci când se află în același punct. Ecuația neliniară
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
neliniară este un exemplu al câmplului neliniar Schrödinger, iar când acesta este cuantificat canonic, descrie o particulă bosonică interacționând cu funcția delta - particulele respingându-se sau atrăgându-se atunci când se află în același punct. Ecuația neliniară a lui Schrödinger este integrabilă atunci când particulele se mișcă în spațiul unidimensional. Când forța repulsivă tinde spre infinit, ecuația neliniară Schrödinger bosonică este echivalentă cu fermionul liber din unidimensional. este o ecuație cu derivate parțiale pentru un câmp complex ψ. Această ecuație provine din Hamiltonianul
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
Pentru a obține versiunea cuantificată, pur și simplu se înlocuiesc parantezele Poisson prin comutatori: iar prin ordine normală hamiltoniană: Versiunea cuantică a fost rezolvată prin metoda Bethe ansatz. De asemenea a fost evaluată și funcția de corelare cuantică, vezi . este integrabilă: ea poate fi rezolvată cu metoda dispersiei inverse. Sistemul liniar corespunzător este cunoscut sub numele de sistem Zakharov-Shabat: unde Ecuația neliniară a lui Schrödinger apare ca o conditie de compatibilitatea a sistemului Zaharov-Shabat: Setând formula 11 sau formula 12, se obține ecuația
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
de la suprafața apei adânci, coeficienții importanți ai ecuației neliniare Schrödinger sunt: în care "g" este accelerația gravitațională. NLSE (1) este măsura echivalentă a ecuației Landau-Lifshitz izotropice (LLE) sau a ecuației feromagnetului Heisenberg: De notat că aceste ecuații admit câteva generalizări integrabile și neintegrabile în dimensiunea 2+1, precum ecuația Ishimori.
Ecuația Schrödinger neliniară () [Corola-website/Science/317730_a_319059]
-
cantităților care se conservă este aceea de a constrânge sistemul mecanic studiat să rămână într-o regiune oarecare a spațiului fazelor definit de condițiile inițiale. Când avem cantități care se conservă, precum gradele de libertate, spunem că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
precum gradele de libertate, spunem că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de cele integrabile, acesta fiind obiectul teoriei perturbațiilor, care face referire la geometria simplectică în spațiul fazelor. De asemenea sunt necesare cunoștințe elementare
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de cele integrabile, acesta fiind obiectul teoriei perturbațiilor, care face referire la geometria simplectică în spațiul fazelor. De asemenea sunt necesare cunoștințe elementare de geometrie diferențială pentru abordarea
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de cele integrabile, acesta fiind obiectul teoriei perturbațiilor, care face referire la geometria simplectică în spațiul fazelor. De asemenea sunt necesare cunoștințe elementare de geometrie diferențială pentru abordarea aspectelor tehnice din geometria simplectică. Geometria simplectică are un număr de similarități dar și diferențe
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
în particular Robert Gompf a arătat că, fiecare grup finit apare ca un grup fundamental al unor mulțimi simplectice de ordinul 4, în contrast vizibil cu cazul Kahler. Multe mulțimi simplectice nu sunt mulțimi Kähler, deci nu au structură complexă integrabilă compatibilă cu forma simplectică. Totuși, Mikhail Gromov a făcut observația importantă că, mulțimile simplectice care posedă numeroase structuri cvasi-complexe verifică toate axiomele unei mulțimi complexe "cu excepția" faptului că funcțiile de tranziție nu sunt olomorfe. Gramov folosește existența structurior aproape complexe
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
care se conservă, joacă un rol important în găsirea soluțiilor sistemului, sau al informațiilor despre natura lor. Modelele cu un număr infinit de grade de libertate, evident sunt mult mai complicate, dar o arie interesantă de cercetare este studiul sistemelor integrabile, în care se pot construi un număr infinit de marimi independente care se conservă. Putem obține ecuațiile lui Hamilton văzând cum se schimbă Lagrangianul unei particule în timp, spațiu și viteză: Impulsul generalizat este definit ca formula 11, iar ecuațiile lui
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
sunt transformări simetrice. Hamiltonianul poate avea multe cantități "G" care se conservă. Dacă mulțimea simplectică are dimensiunea 2"n" și dacă există "n" cantități "G" independente funcțional care se conservă, fiind în involuție (adică, { "G", "G" } = 0), atunci Hamiltonianul este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
mulțimea simplectică are dimensiunea 2"n" și dacă există "n" cantități "G" independente funcțional care se conservă, fiind în involuție (adică, { "G", "G" } = 0), atunci Hamiltonianul este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile deviații față de sistemele integrabile guvernate de teorema KAM. Integrabilitatea câmpului vectorial Hamiltonian este încă o problemă deschisă. În general, sistemele Hamiltoniene sunt haotice, iar conceptele de măsură, de completitudine, de integrabilitate și stabilitate sunt slab definite. Un caz special important este acela în care
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
dF = 0 să descrie același plan este suficientă proporționalitatea coeficienților diferențialelor dx cu un factor depinzând de punctul x = x...,x): formula 17. Forma Ω o scriem atunci:formula 18 Spunem despre o formă Ω care satisface astfel de relații că este integrabilă. Factorul μ(x) se numește factor integrant(d). Factorul integrant(d) nu este unic definit: el poate fi înmulțit cu o funcție oarecare Ψ(F) și atunci:formula 19 În general (când factorul μ are o dependență reala de x), integrala
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Vezi Fig.3) În formularea termodinamicii după Carathéodory principiul al doilea este în mare măsură exprimat prin afirmația că forma diferențială DQ care reprezintă cantitatea de caldură schimbată de un sistem ("simplu")cu exteriorul în cursul unui proces reversibil este integrabilă, în sensul paragrafului precedent. Forma DQ este :formula 21 unde x,x...x sunt parametri geometrici ai sistemului, Y sunt „forțele” corespunzătoare (care pot duce la modificarea lor) iar U este energia internă , care - după principiul intâi - este o funcție univocă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]