329 matches
-
Un spațiu vectorial (numit și spațiu liniar) este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și („scalați”) cu numere, denumite în acest context "". Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
este o colecție de obiecte numite vectori, care pot fi adunați între ei și („scalați”) cu numere, denumite în acest context "". Scalarii sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite "axiome", enumerate mai jos. Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sunt de multe ori luați ca numere reale, dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu numere complexe, numere raționale, sau, în general, orice corp. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite "axiome", enumerate mai jos. Vectorii euclidieni sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități fizice, cum ar fi forțele: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sunt funcții. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o structură suplimentară, care poate fi o topologie, care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de continuitate. Printre aceste topologii, cele definite printr-o sau produs scalar sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de distanță dintre doi vectori. Este în special cazul spațiilor Banach și spațiilor Hilbert, care sunt fundamentale în analiza matematică. Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
punctelor lor de capăt. Un spațiu vectorial peste un corp este structura formată dintr-o mulțime împreună cu două operații, care satisface cele opt axiome enumerate mai jos. Elementele din sunt de obicei numite "vectori". Elementele de sunt de obicei numite "scalari". Prima operațiune, numită "adunare vectorială" sau pur și simplu "adunare", ia orice doi vectori și și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca , și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
adunare vectorială" sau pur și simplu "adunare", ia orice doi vectori și și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca , și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită "," ia orice scalar și orice vector și dă un alt vector. În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate. În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
al treilea vector, care este de obicei scris ca , și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită "," ia orice scalar și orice vector și dă un alt vector. În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate. În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale. Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și "a" și scalari în . Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
reale. Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite axiome. În lista de mai jos, fie , și vectori arbitrari din , și "a" și scalari în . Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea operanzilor: De asemenea, în exemplul geometric de vectorii
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
multe altele, într-o singură noțiune de spațiu vectorial. Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca: Atunci când corpul de scalari este mulțimea numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix . Ideea este cunoscută atunci
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
numerelor reale , spațiul vectorial se numește "spațiu vectorial real". Atunci când câmpul scalar este mulțimea numerelor complexe, se numește "spațiu vectorial complex". Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice corp fix . Ideea este cunoscută atunci ca "spațiu vectorial peste ". Un corp este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. De exemplu, numerele raționale formează și ele
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de vecinătate, unghi sau . Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți mai jos. Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de : și în pentru în , , în . Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate. În limbajul algebrei abstracte, primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un grup abelian în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de -. Cu alte cuvinte, există un definit pe corpul în al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar "a"v este definită ca . Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a grupurilor la grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul nul din și elementul invers al oricărui
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
o simplificare a aplicațiilor liniare. În același timp, Grassmann a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni. În lucrarea sa sunt prezente conceptele de și dimensiune, precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim algebre. Peano a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
introducerea de mai sus. Mułțimea numerelor complexe , de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma pentru numere reale și , unde este unitatea imaginară, formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: și pentru numerele reale , , "a", și . Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe. De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
esență, aceleași (de exemplu, este "izomorf") cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex ca reprezentând perechea ordonată în planul complex atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior. Mai mult, în general, oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și : un corp conține un este spațiu vectorial peste "E", prin operațiunile de înmulțire de adunare
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
peste R, iar extensia de corp formula 1 este un spațiu vectorial peste Q. Funcțiile definite pe orice mulțime fixă cu valori într-un corp formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea punctuală a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții și este funcția dată de și în mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi mai jos. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: este dat de
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
ecuații liniare omogene sunt strâns legate de spații vectoriale. De exemplu, soluțiile sistemului sunt date de triplete arbitrare cu "a", b = "a"/2 și c = −5"a"/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. Matricele pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-un singur vector ecuație, și
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
vectorul , reprezintă , și este vectorul nul. În mod similar, soluții "ecuațiilor diferențiale liniare "formează spații vectoriale. De exemplu, produce , unde "a" și sunt constante arbitrare, și e funcția exponențială cu baza naturală. "Bazele" permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui șir de scalari numit "coordonate" sau "componente". O bază este o mulțime (finită sau infinită) de vectori , pentru comoditate de multe ori indexați cu un " i", care generează întregul spațiu și este liniar independentă. "Care generează întregul spațiu" înseamnă că orice vector poate
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
pentru comoditate de multe ori indexați cu un " i", care generează întregul spațiu și este liniar independentă. "Care generează întregul spațiu" înseamnă că orice vector poate fi exprimat ca sumă finită (numită "combinație liniară") a elementelor bazei: formula 3 unde sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului în raport cu baza , iar elemente din . Independența liniară înseamnă că coordonatele sunt unic determinate pentru orice vector din spațiu vectorial. De exemplu, , , până la , formează o bază în , numit , deoarece orice vector poate fi exprimat unic ca
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
sunt liniar independente peste , astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației. O extensie de corp peste mulțimea numerelor raționale poate fi gândită ca spațiu vectorial peste (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea multiplicarea scalarilor ca fiind multiplicarea cu elemente din , și altfel ignorând multiplicarea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extensiei de domeniu peste depinde de . Dacă satisface o ecuație polinomială ("α este "), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu gradul de având α
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este transcendent. Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o "aplicație liniară" sau "transformare liniară". Acestea sunt funcții care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar: Un "izomorfism" este o aplicație liniară astfel încât există o , cu proprietatea că cele două posibile și sunt egale cu . Echivalent, "f" este atât injectivă cât și surjectivă. Dacă există un izomorfism între "V" și "W", cele două spații se spune
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]