2,111 matches
-
al teoremei lui Liouville. Pentru a o enunța trebuie să introducem câteva notații. Pentru toate valorile formula 9 cuprinse între 1 și formula 10, notăm formula 11 proiecția spațiului fazelor pe un plan formula 12. Este deci funcția care asociază pe formula 12 la formula 6. Teorema lui Poincaré afirmă că: pentru toate suprafețele formula 15 din spațiul fazelor, suma proiecțiilor ariilor formula 16 se conservă atunci când sistemul evoluează. O structură simplectică peste un ansamblu este un mecanism de atribuire a unui număr tuturor suprefețelor din spațiu care verifică
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
care verifică anumite condiții. Asocierea fiecărei suprafețe formula 15 din spațiul fazelor la suma proiectiilor ariilor formula 16 este un exemplu de structură simplectică, pe care o vom numi "structură simplectică canonică" din spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
structură simplectică, pe care o vom numi "structură simplectică canonică" din spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
spațiul fazelor. Timp îndelungat nimeni nu a știut dacă teorema lui Poincaré ne-a permis într-adevăr să obținem mai multe informații despre modificarea modelelor din spațiul fazelor decât teorema lui Liouville. Dar in 1985 Mikhail Gromov a demonstrat următoarea teoremă: pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
pentru un sistem mecanic cu formula 10 grade de libertate, sfera: nu poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
poate niciodată evolua într-un ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor este ușurința cu care permite integrarea în teorie a problemelor de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
ansamblu în care toate punctele verifică relația: cu formula 22, (strict mai mic decât 1). Sau o astfel de evoluție poate fi posibilă numai dacă teorema lui Liouville este adevărată, dar nu și teorma lui Poincaré. Teorema lui Gramov este o teoremă complicată cu multe consecințe, dar revoluționară pentru geometria simplectică. Al doilea argument care confirmă ideea că geometria simplectică este geometria naturală a spațiului fazelor este ușurința cu care permite integrarea în teorie a problemelor de simetrie și a consecințelor lor
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sistem este invariant la o translație, înseamnă că, pe direcția respectivă impulsul se conservă. Dacă un sistem este invariant la o rotație în jurul unei axe, atunci, momentul cinetic se conservă. În cadrul mecanicii clasice Newtoniene, este imposibil de a enunța o teoremă generală care să înglobeze exemplele de mai sus, în afară de cazurile în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
invariant la o rotație în jurul unei axe, atunci, momentul cinetic se conservă. În cadrul mecanicii clasice Newtoniene, este imposibil de a enunța o teoremă generală care să înglobeze exemplele de mai sus, în afară de cazurile în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se conservă în timpul evoluției acestui sistem. De fapt, enunțul complet al teoremei dă o formulă pentru cantitățile care se
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
în care sistemele posedă simetrii foarte complicate. Teorema lui Noether afirmă că: odată ce avem un grup de transformări a parametrilor care păstrează un sistem mecanic, există o cantitate care se conservă în timpul evoluției acestui sistem. De fapt, enunțul complet al teoremei dă o formulă pentru cantitățile care se conservă, în funcție de transformări și sistemul considerat. Una din consecințele existenței cantităților care se conservă este aceea de a constrânge sistemul mecanic studiat să rămână într-o regiune oarecare a spațiului fazelor definit de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sistemul mecanic studiat să rămână într-o regiune oarecare a spațiului fazelor definit de condițiile inițiale. Când avem cantități care se conservă, precum gradele de libertate, spunem că sistemul mecanic este integrabil, iar situația devine foarte simplă, ceea ce afirmă și teorema d’Arnold-Liouville: pentru aproape toate energiile de start există coordonatele formula 23 și numerele formula 24, astfel încât: Desigur, multe sisteme mecanice nu sunt integrabile, dar multe sunt aproape integrabile, deci, putem încerca să înțelegem modul în care se depărtează aceste sisteme de
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
de similarități dar și diferențe cu geometria Riemanniană, care studiază mulțimile diferențiabile înzestrate cu tensori simetrici de ordinul 2 nedegenerați, numiți tensori metrici. Spre deosebire de cazul Riemannian, mulțimile simplectice nu au invarianți locali precum curbura. Acest lucru este o consecință a teoremei lui Darboux care stipulează că: "o vecinătate a oricărui punct dintr-o mulțime simplectică 2n-dimensională este izomorfică pe o structură simplectică obișnuită dintr-o mulțime deschisă din" R. O altă diferență față de geometria Riemanniană este aceea că nu orice mulțime
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
explicit, diferențiala formula 38 este un izomorfism simplectic liniar. Ansamblul difeomorfismelor simplectice formula 39 formează un grup, care se numește grupul difeomorfismelor simplectice, notat cu formula 40, al cărui studiu este de prim interes. Unul din rezultatele principale elementare ale geometriei simplectice este teorema lui Darboux, care precizează că: local, două mulțimi simplectice având aceeași dimensiune sunt izomorfe. Cu alte cuvinte, nu există nici un invariant local, astfel, opunându-se complet geometriei riemanniene: Această dihotomie rezumă bine opoziția dintre suplețea geometriei riemaniene și rigiditatea geometriei
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
sunt izomorfe. Cu alte cuvinte, nu există nici un invariant local, astfel, opunându-se complet geometriei riemanniene: Această dihotomie rezumă bine opoziția dintre suplețea geometriei riemaniene și rigiditatea geometriei simplectice. Această rigiditate se regăsește și la alte nivele, precum rigiditatea simplectomorfismelor, teorema de rigiditale a lui Gramov, etc. Studiul geometriei simplectice s-a născut din constatarea că evoluția unui sistem mecanic păstrează structura simplectică canonică din spațiul fazelor. Mai general, putem să căutăm acele ansamble de transformări care păstrează o structură simplectică
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
ansamblu de dimensiune infinită numit grupul simplectomorfismelor. Pentru a înțelege forma acestui ansamblu, îl comparăm cu ansamble mai mici, pe care le putem înțelege mai bine. Primele rezultate semnificative în acest domeniu se datorează lui Gramov, începând cu a sa teoremă de necompactare.
Geometrie simplectică () [Corola-website/Science/317822_a_319151]
-
induce un flux Hamiltonian peste această mulțime. Curbele integrale ale câmpului vectorial sunt o familie uniparametrică de transformări ale mulțimii, parametrul curbelor numindu-se timp, iar evoluția în timp este dată prin simplectomorfism, care păstrează volumul în spațiul fazelor conform teoremei lui Liouville. Colecția simplectomorfismelor indusă de fluxul Hamiltonian este numită mecanica Hamiltoniană a unui sistem Hamiltonian. Structura simplectică induce o paranteză Poisson, iar paranteza Poisson dă spațiul funcțiilor pe structura mulțimii unei algebre Lie. Fiind dată funcția "f", aven: Dacă
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
algebre Lie. Fiind dată funcția "f", aven: Dacă avem o probabilitate de distribuție ρ, deoarece viteza din spațiul fazelor (formula 33) are divergența egală cu zero și probabilitatea se conservă, derivata ei convectivă este zero și putem scrie: Aceasta se numește teorema lui Liouville: Fiecare funcție netedă "G" peste o mulțime simplectică generează o familie uniparametrică de simplectomorfisme, iar dacă { "G", "H" } = 0, atunci " G" se conservă, iar simplectomorfismele sunt transformări simetrice. Hamiltonianul poate avea multe cantități "G" care se conservă. Dacă
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
avea multe cantități "G" care se conservă. Dacă mulțimea simplectică are dimensiunea 2"n" și dacă există "n" cantități "G" independente funcțional care se conservă, fiind în involuție (adică, { "G", "G" } = 0), atunci Hamiltonianul este integrabil în sensul lui Liouville. Teorema Liouvile-Arnol’d afirmă că, local orice Hamiltonian integrabil în sensul lui Liouville poate fi transformat printr-un simplectomorfism într-un Hamiltonian cu cantitățile "G" conservate sub forma coordonatelor, iar noile coordonate se numesc "coordonate unghi-acțiune". Hamiltonianul transformat depinde numai de
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
depinde numai de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile deviații față de sistemele integrabile guvernate de teorema KAM. Integrabilitatea câmpului vectorial Hamiltonian este încă o problemă deschisă. În general, sistemele Hamiltoniene sunt haotice, iar conceptele de măsură, de completitudine, de integrabilitate și stabilitate sunt slab definite. Un caz special important este acela în care Hamiltonianul are formă
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
unic cometrica, și vice-versa. Acest lucru presupune ca fiecare submulțime Riemanniană să fie unic determinată de Hamiltonianul submulțimii Riemanniene, deci, este adevărat faptul că: fiecare submulțime Riemanniană are un unic Hamiltonian al submulțimii Riemanniene. Existența subgeodezicelor Riemanniene este dată de teorema Chow-Rashevskii. Un exemplu simplu de submulțime Riemanniană este grupul Heisenberg real. Pentru acest grup Hamiltonianul este dat de: formula 40 nefiind implicat în Hamiltonian. Sistemele Hamiltoniene pot fi generalizate în diverse feluri. În loc de privi în mod simplist la algebra funcțiilor netede
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
și filozof franceză. Alături de Carl Friedrich Gauss (cu care a întreținut o intensă corespondență), a fost unul dintre pionierii teoriei elasticității, obținând marele premiu din partea Academiei Franceze de Științe pentru tratarea acestui subiect. De asemenea, mai este celebră pentru o teoremă din teoria numerelor care îi poartă numele. A început să studieze matematica încă de la 13 ani, pasiune pe care a dobândit-o în urma lecturării unei cărți de istoria matematicii. Corespondența pe care a întreținut-o cu Gauss se referă în
Sophie Germain () [Corola-website/Science/318027_a_319356]
-
formula formula 1, numită curbură medie, care nu se mai anulează pentru suprafețele desfășurabile și toate acestea într-o lucrare apărută în 1831 și care a fost premiată de Academia Franceză de Științe. În 1823 a dat o demonstrație pentru marea teoremă a lui Fermat, dar numai pentru valori particulare ale lui "n", formula 2 și anumite condiții restrictive pentru "X", "Y", "Z" și "n". A studiat încovoierea plăcilor subțiri și a stabilit ecuațiile diferențiale care o descriu. Cea mai importantă lucrare a
Sophie Germain () [Corola-website/Science/318027_a_319356]
-
este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element "X" dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel. Fie formula 1 un spațiu Hilbert și să presupunem că formula 2 este un șir ortonormat în formula 1. Atunci
Inegalitatea lui Bessel () [Corola-website/Science/318040_a_319369]
-
Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială (sau formă Pfaff) Ω este o expresie:formula 1
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]