2,094 matches
-
postulatul până am face-o adevărată. Postulatele lui Euclid au venit din teorema pitagoreică, nu pe altă cale. De mai bine de 30 de ani am făcut observația că, dacă vii în cabinetul meu și-mi arăți o demonstrație că teorema lui Cauchy este falsă, aș fi foarte interesat, dar cred că după analiza finală am altera ipotezele până când teorema ar fi adevărată. Astfel, există în matematică multe rezultate care sunt independente de ipoteze și demonstrație. Într-un moment de "criză
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mai bine de 30 de ani am făcut observația că, dacă vii în cabinetul meu și-mi arăți o demonstrație că teorema lui Cauchy este falsă, aș fi foarte interesat, dar cred că după analiza finală am altera ipotezele până când teorema ar fi adevărată. Astfel, există în matematică multe rezultate care sunt independente de ipoteze și demonstrație. Într-un moment de "criză", cum hotărâm ce părți ale matematicii păstrăm și pe care le abandonăm? Utilitatea este un criteriu important, dar adeseori
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
unor funcții diverse, mai întâi ca un număr al lor ce poate fi calculat și apoi ca un număr al lor ce nu poate fi calculat și anume, mă refer la serii Fourier și integrala Fourier. Ei bine, există o teoremă în teoria integralelor Fourier care spune că variabilitatea funcției multiplicate cu variabilitatea transformării sale depășește o constantă fixă, notată 1/2 pi. Asta-mi spune că, în orice sistem liniar, invariant de timp, trebuie să găsești un principiu de incertitudine
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
drept un instrument major în examinarea acestor trei celebre întrebări. Într-adevăr, pentru a generaliza, aproape toate experiențele noastre din această lume nu cad sub incidența domeniilor științei sau matematicii. Mai mult, știm (sau, cel puțin, credem că știm), de la teorema lui Godel, că există limite definite pentru ceea ce poate face simpla manipulare logică a simbolurilor și, deci, există limite în domeniile matematicii. A fost un act de credință din partea oamenilor de știință faptul că lumea poate fi explicată în termenii
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
până la aplicarea lor în mecanica ondulatorie în anul 1927. Referitor la tema aplicațiilor surprinzătoare, permiteți-mi să vă ofer un exemplu istoric remarcabil, cu un caracter ușor diferit. În anul 1931, tânărul matematician austriac Kurt Gödel și-a demonstrat celebra teoremă a incompletitudinii, una din cele mai mari realizări în evoluția logicii matematice. Dacă a existat vreodată un rezultat matematic pur în cel mai pur sens, atunci acesta a fost. Marele matematician german Hilbert, răspunzând criticilor școlii lui L.E.J. Brower, a
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
reale. Teoria probabilității s-a dezvoltat în acest secol folosind ideile și tehnicile introduse de matematicieni precum rusul Andrei Kolmogorov, americanul Norbert Wiener și francezul Paul Levy. În 1931, George D. Birkhoff și John von Neumann au demonstrat primele două teoreme ergodice generale, dând o formulare strict matematică ipotezei ergodice deseori dezbătute a lui Ludwig Boltzmann și Josiah Willard Gibbs. Această ipoteză privind comportamentul pe termen lung al sistemelor mecanice care conțin un mare număr de componente se referă la mediile
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
ghiontul matematicii. Aș putea adăuga că nu există nimic pe lume care să facă mai multă plăcere, chiar și oamenilor celebri (și chiar și oamenilor care au folosit și cuvinte peiorative la adresa matematicii), decât să descopere sau să redescopere o teoremă matematică adevărată. Herbert Spencer a republicat în autobiografia sa o teoremă despre cerc pe care o demonstrase când avea douăzeci de ani (neștiind că fusese demonstrată cu două mii de ani înainte de Platon). Profesorul Soddy este un exemplu mai recent și
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
care să facă mai multă plăcere, chiar și oamenilor celebri (și chiar și oamenilor care au folosit și cuvinte peiorative la adresa matematicii), decât să descopere sau să redescopere o teoremă matematică adevărată. Herbert Spencer a republicat în autobiografia sa o teoremă despre cerc pe care o demonstrase când avea douăzeci de ani (neștiind că fusese demonstrată cu două mii de ani înainte de Platon). Profesorul Soddy este un exemplu mai recent și mai frapant (dar teorema lui era într-adevăr a lui). O
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Spencer a republicat în autobiografia sa o teoremă despre cerc pe care o demonstrase când avea douăzeci de ani (neștiind că fusese demonstrată cu două mii de ani înainte de Platon). Profesorul Soddy este un exemplu mai recent și mai frapant (dar teorema lui era într-adevăr a lui). O problemă de șah este matematică autentică, dar în același timp este matematică "trivială". Oricât de ingenioase și complicate, oricât de originale și surprinzătoare ar fi mutările, lipsește ceva esențial. Problemele de șah sunt
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
de șah este, în sens brut, "nefolositoare", atunci acest lucru este la fel de adevărat pentru cea mai mare parte din matematica de cea mai bună calitate, întrucât foarte puțină matematică este de folos practic, iar acel puțin este plictisitor. "Seriozitatea" unei teoreme matematice constă nu în consecințele sale practice, care de obicei sunt neglijabile, ci în semnificația ideilor matematice la care se conectează. Putem afirma, cu aproximație, că ideea matematică este "semnificativă" dacă poate fi conectată, într-un fel natural și aducător
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
ci în semnificația ideilor matematice la care se conectează. Putem afirma, cu aproximație, că ideea matematică este "semnificativă" dacă poate fi conectată, într-un fel natural și aducător de clarificări, cu un complex larg de alte idei matematice. Astfel, o teoremă matematică serioasă, o teoremă care unește idei semnificative, este probabil să conducă la un progres important al matematicii înseși, și chiar al altor științe. Nicio problemă de șah nu a afectat vreodată dezvoltarea generală a gândirii științifice: în vremea lor
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
matematice la care se conectează. Putem afirma, cu aproximație, că ideea matematică este "semnificativă" dacă poate fi conectată, într-un fel natural și aducător de clarificări, cu un complex larg de alte idei matematice. Astfel, o teoremă matematică serioasă, o teoremă care unește idei semnificative, este probabil să conducă la un progres important al matematicii înseși, și chiar al altor științe. Nicio problemă de șah nu a afectat vreodată dezvoltarea generală a gândirii științifice: în vremea lor, Pitagora, Newton, Einstein i-
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
conducă la un progres important al matematicii înseși, și chiar al altor științe. Nicio problemă de șah nu a afectat vreodată dezvoltarea generală a gândirii științifice: în vremea lor, Pitagora, Newton, Einstein i-au schimbat în întregime direcția. Seriozitatea unei teoreme nu stă, bineînțeles, în consecințele sale, care sunt pur și simplu dovada seriozității sale. Shakespeare a avut o influență enormă în dezvoltarea limbii engleze, Otway aproape niciuna, dar nu de asta a fost Shakespeare un poet mai bun. El a
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
în consecințele, ci în conținutul ei. A mai rămas doar un punct, pe care-l voi expune foarte pe scurt, nu pentru că este neinteresant, ci pentru că este dificil și pentru că nu am calificările necesare unei discuții serioase despre estetică. Frumusețea teoremei matematice depinde în mare măsură de seriozitatea ei, așa cum, în poezie, frumusețea unui vers depinde de anumite îmbogățiri ale semnificației ideilor pe care le conține. Am citat două rânduri ale lui Shakespeare ca exemplu pentru frumusețea absolută a unui model
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
avut competența s-o fac, dar îmi voi expune opinia în mod dogmatic pentru a evita unele mici neînțelegeri. Cred că realitatea matematică se află în afara noastră, că menirea noastră este s-o descoperim sau s-o observăm și că teoremele pe care le demonstrăm, pe care le descriem bombastic drept "creația noastră" sunt, în fapt, simple note ale observațiilor noastre. Acest punct de vedere a fost îmbrățișat, într-o formă sau alta, de mulți filosofi de mare reputație, începând cu
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
despre un sistem geometric oarecare, cum ar fi geometria euclidiană normală, și că desenez pe tablă imagini pentru a stimula imaginația publicului, niște desene de linii drepte sau cercuri sau elipse pline de stângăcie. Mai întâi, este clar că adevărul teoremelor pe care le demonstrez nu este în niciun fel afectat de calitatea desenelor mele. Funcția lor este doar să transmită mesajul meu ascultătorilor, și, dacă pot face asta, nu merită să fie redesenate de cel mai priceput desenator. Ele sunt
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fizică". În continuare, să presupunem că se introduce în sală un dinam violent, sau un corp gravitațional masiv. Atunci fizicienii ne vor spune că geometria sălii s-a schimbat, întregul său tipar fizic a fost ușor, dar definitiv, deformat. Devin teoremele pe care le-am demonstrat false? Cu siguranță ar fi un nonsens să presupunem că demonstrațiile pe care le-am dat acestor teoreme sunt afectate în vreun fel. Ar fi ca și cum am presupune că o piesă de teatru a lui
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
că geometria sălii s-a schimbat, întregul său tipar fizic a fost ușor, dar definitiv, deformat. Devin teoremele pe care le-am demonstrat false? Cu siguranță ar fi un nonsens să presupunem că demonstrațiile pe care le-am dat acestor teoreme sunt afectate în vreun fel. Ar fi ca și cum am presupune că o piesă de teatru a lui Shakespeare s-ar putea schimba atunci când un cititor și-ar vărsa ceaiul peste o pagină. Piesa de teatru este independentă de paginile pe
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
au fost și nu vor fi niciodată matematicieni să înțeleagă mai clar că matematica înseamnă mai mult decât puteau ei gândi. Dar cu greu putem spune că înțelegea matematica "reală" (așa cum este evident pentru oricine citește ce spune el despre teorema lui Pitagora sau despre Euclid sau Einstein), sau că avea cea mai mică simpatie pentru ea (așa cum nu precupețește niciun efort s-o arate). Matematica "reală" este pentru el doar motiv de milă disprețuitoare. Nu lipsa de înțelegere sau de
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
niciodată recunoscută, dintre un spațiu matematic și un spațiu fizic. Identificarea inițială a celor două s-a datorat unei neînțelegeri. Vizitatori efemeri în mintea noastră, senzațiile vizuale și tactile au sugerat că axiomele geometriei euclidiene erau adevărate pentru spațiul fizic. Teoremele deduse din aceste axiome erau verificate prin senzații vizuale și tactile și, iată, se potriveau perfect, cel puțin atât timp cât puteau dezvălui aceste senzații. Se presupunea că geometria euclidiană e o descriere exactă a spațiului fizic. Acest obicei de gândire a
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
mai tulburător poate adevărul era diferit și față de aceste geometrii. Crearea unor noi geometrii a forțat, totuși, recunoașterea faptului că ar putea exista un "dacă" în privința tuturor axiomelor matematice. Dacă axiomele geometriei euclidiene sunt adevărate în privința lumii fizice, atunci și teoremele sunt. Dar, din nefericire, nu putem hotărî a priori că axiomele lui Euclid, sau ale oricărei alte geometrii, sunt adevărate. În deposedarea matematicii de statutul său de colecție de adevăruri, crearea geometriilor neeuclidiene a răpit cel mai respectat adevăr și
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
o poziție în care se ating ușor fără să se întretaie. În lipsa unei analize riguroase, ajungem la concluzia că o curbă are întotdeauna o tangentă. Pentru un al doilea exemplu voi lua principiul lui Dirichlet, pe care se sprijină atâtea teoreme de fizică matematică; astăzi, îl stabilim prin raționamente foarte riguroase, dar și foarte lungi; altădată, dimpotrivă, era suficientă o demonstrație sumară. O anumită integrală care depinde de o funcție arbitrară nu se poate anula niciodată. Așadar, ea trebuie să aibă
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
altceva nu poate fi denumit cu un alt cuvânt decât cu cel de intuiție. Dar câte înțelesuri diferite ascund aceste cuvinte? Să comparăm aceste patru axiome: 1. Două cantități egale cu a treia sunt egale între ele. 2. Dacă o teoremă este adevărată pentru numărul 1 și dacă se demonstrează că este adevărată și pentru n +1, fiind adevărată pentru n, atunci ea va fi adevărată pentru toate numerele întregi. 3. Dacă, pe o dreaptă, punctul C se află între A
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
fără nicio îndoială, Da. Și este matematica "inofensivă"? Din nou răspunsul nu este evident, iar întrebarea este una pe care aș fi preferat oarecum s-o ocolesc, întrucât aduce în prim-plan întreaga problematică a efectului științei asupra războiului. [...] O teoremă "serioasă" e o teoremă care conține idei "semnificative", și presupun că ar trebui să încerc să analizez un pic mai atent calitățile care fac ca o idee matematică să fie semnificativă. Acest lucru e foarte dificil, și sunt puține șanse
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]
-
Și este matematica "inofensivă"? Din nou răspunsul nu este evident, iar întrebarea este una pe care aș fi preferat oarecum s-o ocolesc, întrucât aduce în prim-plan întreaga problematică a efectului științei asupra războiului. [...] O teoremă "serioasă" e o teoremă care conține idei "semnificative", și presupun că ar trebui să încerc să analizez un pic mai atent calitățile care fac ca o idee matematică să fie semnificativă. Acest lucru e foarte dificil, și sunt puține șanse ca analiza pe care
by VIOREL BARBU [Corola-publishinghouse/Science/1112_a_2620]