2,111 matches
-
ale lui L.Boltzmann critice cu privire la formulările lui Planck. Evident, posibilitatea „demonstrației” că, la apropierea de echilibru, entropia crește, este datorită ipotezei suplimentare a luminii naturale, care are analogii cu ipotezele de uniformitate folosite de Boltzmann pentru demonstrația lui celebră ("teorema H") că entropia este o funcție crescătoare de timp. Problema interacției oscilatorului armonic incărcat cu câmpul electromagnetic este tratată în manuale, însă în alte contexte. Implicit ea apare în discuția difuziei undelor electromagnetice la trecerea prin medii materiale . Un tratament
Rezonatorul lui Planck () [Corola-website/Science/316720_a_318049]
-
adică pentru o "macrostare" determinată). Forma celebră a acestei identificări este dată de formula: unde k este o constantă universală (constanta lui Boltzmann), relație care are o validitate care depășește cadrul teoriei cinetice. Un rezultat cunoscut al lui L.Boltzmann ("teorema H") este că—sub o ipoteză de "dezordine moleculară"—entropia S definită astfel (Mai precis, o cantitate (-H) care poate fi interpretată ca entropie în stări de neechilibru) are proprietatea că este monoton crescătoare în timp, până când atinge un maximum
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
o cantitate (-H) care poate fi interpretată ca entropie în stări de neechilibru) are proprietatea că este monoton crescătoare în timp, până când atinge un maximum, corespunzător unei stări de echilibru (adică unei distribuții maxwelliene a vitezelor), analog entropiei termodinamice. Această teoremă remarcabilă a fost primită cu scepticism: motivul este că ireversibilitatea macroscopică a evoluției sistemelor naturale este în contradicție cu reversibilitatea în timp a legilor mecanicii clasice, presupuse că guvernează mișcarea particulelor gazului. Una din criticile celebre ale interpretării lui Boltzmann
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
aparent haotică în întreg recipientul, dar aceasta este ea însăși instabilă și, după un timp suficient de lung, particulele se vor reîntoarce, cel puțin pentru un timp scurt, din nou în partea stângă a recipientului. (Aceasta este o consecință a "teoremei de recurență" a lui Poincaré). Discuția inițiată atunci nu este încă încheiată. Conștient de aceste dificultăți, Max Planck face un ocol împrejurul mecanicii statistice a lui Boltzmann până în 1900. În răspunsul său la critica lui Zermelo, Boltzmann s-a declarat
Formula lui Planck () [Corola-website/Science/315089_a_316418]
-
cu toate că trebuiesc făcute modificări minore anumitor formule. Există și geometrie sferică multidimensională; vezi geometria eliptică. Geometria sferică a fost studiată din antichitate de matematicienii greci precum Menelaus din Alexandria, care a scris o carte de trigonometrie sferică numită Sphaerica dezvoltând teorema lui Menelaus. Cartea arcelor necunoscute pe o sferă scrisă de matematicianul Islamic Al-Jayyani este considerată a fi primul tratat de geometrie sferică. Cartea conține formule ale triunghiurilor dreptunghice, teorema sinusului și soluții ale triunghiului sferic prin intermediul triunghiului polar. Cartea "De
Geometrie sferică () [Corola-website/Science/320042_a_321371]
-
care a scris o carte de trigonometrie sferică numită Sphaerica dezvoltând teorema lui Menelaus. Cartea arcelor necunoscute pe o sferă scrisă de matematicianul Islamic Al-Jayyani este considerată a fi primul tratat de geometrie sferică. Cartea conține formule ale triunghiurilor dreptunghice, teorema sinusului și soluții ale triunghiului sferic prin intermediul triunghiului polar. Cartea "De Triangulis omnimodis" a lui Regiomontanus, scrisă în anul 1464, este prima lucrare de trigonometrie pură din Europa. Girolamo Cardano nota un secol mai târziu că multe din problemele de
Geometrie sferică () [Corola-website/Science/320042_a_321371]
-
mare importanță în calculele din astronomie și suprafața Pământului, precum și în navigația orbitală și spațială. Triunghurile sferice au fost studiate din antichitate de matematicienii greci precum Menelaus din Alexandria, care a scris o carte despre triunghiurile sferice numită Sphaerica dezvoltând teorema lui Menelaus. E.S. Kennedy a precizat că, în pricipiu, în antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile sferice, prin folosirea tabelelor corzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus, dar în practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă. Un
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
Menelaus din Alexandria, care a scris o carte despre triunghiurile sferice numită Sphaerica dezvoltând teorema lui Menelaus. E.S. Kennedy a precizat că, în pricipiu, în antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile sferice, prin folosirea tabelelor corzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus, dar în practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă. Un progres mai însemnat s-a produs în lumea Islamică. În scopul respectării zilelor sfinte din calendarul Islamic în care cronometrările erau determinate de fazele Lunii, astronomii
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
carte despre triunghiurile sferice numită Sphaerica dezvoltând teorema lui Menelaus. E.S. Kennedy a precizat că, în pricipiu, în antichitate a fost posibil calculul mărimilor din figurile sferice, prin folosirea tabelelor corzilor și aplicarea teoremei lui Menelaus, dar în practică aplicarea teoremei la problemele sferice era foarte dificilă. Un progres mai însemnat s-a produs în lumea Islamică. În scopul respectării zilelor sfinte din calendarul Islamic în care cronometrările erau determinate de fazele Lunii, astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
de fazele Lunii, astronomii au folosit inițial metoda lui Menelaus pentru a calcula locul în care se află Luna și stelele, dar metoda era dificilă și greoaie. Aceasta implica asamblarea a două triunghiuri dreptunghice care se intersectau, iar prin aplicarea teoremei lui Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase, dar cu condiția ca celelalte cinci laturi să fie cunoscute. De exemplu, pentru a afla timpul în funcție de înălțimea Soarelui, se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
prin aplicarea teoremei lui Menelaus era posibilă soluționarea unei laturi din cele șase, dar cu condiția ca celelalte cinci laturi să fie cunoscute. De exemplu, pentru a afla timpul în funcție de înălțimea Soarelui, se cerea repetarea de mai multe ori a teoremei lui Menelaus. Deci, pentru astronomii Islamici medievali a fost o adevărată provocare de a găsi o metodă simplă de revolvare a triunghiurilor sferice. La începutul secolului al 9-lea, Muhammad ibn Mūsă al-Khwărizmī a fost un pionier în trigonometria sferică
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
scris ceea ce unii consideră a fi primul tratat de trigonometrie sferică intitulat "Cartea arcelor necunoscute ale unei sfere","circa" 1060, în care trigonometria sferică a fost publicată într-o formă modernă. Cartea lui Al-Jayyani mai conține formule ale triunghiurilor dreptunghice, teorema sinusului și soluția unui triunghi sferic prin intermediul triunghiului polar. Mai târziu, acest tratat a avut "o puternică influență asupra matematicii europene", iar "definiția raportului ca număr" și "metoda sa de rezolvare a triunghiurilor sferice având toate laturile necunoscute" probabil că
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
independentă de astronomie, iar mai apoi a dezvoltat trigonometria sferică, aducând-o la forma ei actuală. El a arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice în trigonometria sferică. De asemenea, în capitolul "On the Sector Figure", a enunțat teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice, descoperind și teorema tangentei pentru triunghiurile sferice. Pe suprafața unei sfere, cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari, adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei. De exemplu, considerând Pământul o
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
sferică, aducând-o la forma ei actuală. El a arătat că există șase cazuri distincte ale triunghiurilor dreptunghice în trigonometria sferică. De asemenea, în capitolul "On the Sector Figure", a enunțat teorema sinusului pentru triunghiuri plane și sferice, descoperind și teorema tangentei pentru triunghiurile sferice. Pe suprafața unei sfere, cel mai apropiat analog al dreptelor sunt cercurile mari, adică cercurile ale căror centre coincid cu centrul sferei. De exemplu, considerând Pământul o sferă (în realitare este un geoid), meridianele și ecuatorul
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
unghiurilor unui triunghi sferic este întotdeauna mai mare decât suma unghiurilor unui triunghi plan care are exact 180°. Mărimea E prin care suma unghiurilor depășește 180° se numește exces sferic: în care α, β și γ sunt unghiurile triunghiului sferic. Teorema lui Girard, numită astfel după matematicianul francez Albert Girard (descoperită mai devreme de matematicianul englez Thomas Harriot, dar nepublicată), demonstrează că acest surplus determină aria suprafeței oricărui triunghi sferic: în care "R" este raza sferei. Din acestă formulă și din
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
Din acestă formulă și din formula ariei unei sfere rezultă că suma unghiurilor unui triunghi sferic este: Un rezultat analog se obține pentru un triunghi hiperbolic, în care excesul sferic este înlocuit cu defectul hiperbolic, amândouă fiind cazuri speciale ale teoremei Gauss-Bonnet. Rezultă de aici că nu există triunghiuri similare netriviale (triunghiuri cu unghiuri egale dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită) pe o sferă. În cazul special în care sfera are raza 1, aria este egală cu excesul
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
dar cu lungimi diferite ale laturilor și arie diferită) pe o sferă. În cazul special în care sfera are raza 1, aria este egală cu excesul sferic: A = E. Se poate folosi chiar formula lui Girard pentru a se obține teorema Gauss-Bonnet discretă. Pentru a rezolva problemele geometrice pe o sferă, împărțim figura în "triunghiuri sferice drepte", adică unul din unghiurile triunghiului are 90°, deoarece putem folosi pentagonul lui Napier. Pentagonul lui Napier (de asemenea cunoscut ca cercul lui Napier) este
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
egal cu: De exemplu, începând cu unghiul formula 5, putem obține formula: Folosind identitățile pentru unghiurile complementare, avem: Vezi și formula Haversin care dă lungimile laturilor și unghiurile unui triunghi sferic într-o formă numeric stabilă pentru navigație. Triunghiurile sferice satisfac teorema cosinusului Această identitate poate fi obținută considerând triunghiurile formate din liniile tangente ale triunghiului sferic care subîntind unghiul A, triunghiuri în care se folosește teorema cosinusului pentru triunghiuri plane. Mai mult, acestă identitate se reduce la teorema din plan pentru
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
și unghiurile unui triunghi sferic într-o formă numeric stabilă pentru navigație. Triunghiurile sferice satisfac teorema cosinusului Această identitate poate fi obținută considerând triunghiurile formate din liniile tangente ale triunghiului sferic care subîntind unghiul A, triunghiuri în care se folosește teorema cosinusului pentru triunghiuri plane. Mai mult, acestă identitate se reduce la teorema din plan pentru triunghiuri de arie mică. De asemenea triunghiurile sferice satisfac o teoremă analoagă teoremei sinusului din geometria plană: O listă detaliată a identităților este disponibilă aici
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
Triunghiurile sferice satisfac teorema cosinusului Această identitate poate fi obținută considerând triunghiurile formate din liniile tangente ale triunghiului sferic care subîntind unghiul A, triunghiuri în care se folosește teorema cosinusului pentru triunghiuri plane. Mai mult, acestă identitate se reduce la teorema din plan pentru triunghiuri de arie mică. De asemenea triunghiurile sferice satisfac o teoremă analoagă teoremei sinusului din geometria plană: O listă detaliată a identităților este disponibilă aici În final, aceste triunghiuri satisfac și formula laturilor pe jumătate.
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
liniile tangente ale triunghiului sferic care subîntind unghiul A, triunghiuri în care se folosește teorema cosinusului pentru triunghiuri plane. Mai mult, acestă identitate se reduce la teorema din plan pentru triunghiuri de arie mică. De asemenea triunghiurile sferice satisfac o teoremă analoagă teoremei sinusului din geometria plană: O listă detaliată a identităților este disponibilă aici În final, aceste triunghiuri satisfac și formula laturilor pe jumătate.
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
ale triunghiului sferic care subîntind unghiul A, triunghiuri în care se folosește teorema cosinusului pentru triunghiuri plane. Mai mult, acestă identitate se reduce la teorema din plan pentru triunghiuri de arie mică. De asemenea triunghiurile sferice satisfac o teoremă analoagă teoremei sinusului din geometria plană: O listă detaliată a identităților este disponibilă aici În final, aceste triunghiuri satisfac și formula laturilor pe jumătate.
Trigonometrie sferică () [Corola-website/Science/320035_a_321364]
-
servi ca funcție energetică sau Hamiltonian. Asociat oricărui hamiltonian avem un câmp vectorial Hamiltonian; integralele curbilinii ale câmpului vectorial Hamiltonian sunt soluții ale ecuației Hamilton-Jacobi. Câmpul vectorial Hamiltonian definește fluxul pe o mulțime simplectică numit flux Hamiltonian sau simplectomorfism. Alături de teorema lui Liouville, fluxul Hamitonian conservă forma volumului din spațiul fazelor. O formă simplectică pe o mulțime "M" este o formă diferențială antisimetrică ω nedegenerată și închisă. Condiția de nedegenerescență înseamnă că pentru orice valoare avem proprietatea că nu există nici o
Mulțime simplectică () [Corola-website/Science/320153_a_321482]
-
optic (numită caustică, poate fi explicată în termenii submulțimilor Lagrangiene. Un fibraj Lagrangian al unei mulțimi simplectice "M" este un fibraj în care toate fibrele sunt submulțimi Lagrangiene. Deoarece "M" este de dimensiune pară, putem considera coordonatele locale , iar datorită teoremei lui Darboux forma simplectică "ω" poate fi, cel puțin local, scrisă ca , în care d este derivata exterioară, iar ∧ produsul exterior. Folosind această structură putem considera local "M" ca fiind spațiul cotangent T*R, iar fibrajul Lagarngian ca un fibraj
Mulțime simplectică () [Corola-website/Science/320153_a_321482]
-
sau arcsine (arcsin or asin), satisface formula: iar În acest articol sunt folosite următoarele notații pentru funcțiile trigonometrice inverse: Relația de bază dintre sinus și cosinus este identitatea trigonometrică a lui Pitagora: Aceasta poate fi văzută ca o versiune a teoremei lui Pitagora și se deduce din ecuația "x" + "y" = 1 pentru cercul unitate. Această ecuație poate fi rezolvată fie pentru sinus, fie pentru cosinus: Divizând identitatea Pitagoreană prin cos "θ" sau sin "θ" se obțin alte două identități: Folosind aceste
Identități trigonometrice () [Corola-website/Science/320154_a_321483]