202 matches
-
natural de a introduce conceptul de entropie. Teorema lui Frobenius implică anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Y(U,x,x..x) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ. O formă diferențială care conține numai doi termeni:formula 23 este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x,y), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție unică y(x,y) definită intr-o vecinătate U "X" U a lui (x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
se dovedește a fi esențial pentru analiza echilibrului termic - poate fi tratat fără a face recurs la "teoria generală" urmând pe Max Planck. O prezentare detaliată a procedurii sale se găsește într-un . Pentru n≥3 1-formele diferențiale nu sunt integrabile, decât dacă anumite condiții asupra coeficienților lor sunt îndeplinite. Deducția acestor condiții pentru n=3 o prezentăm aici; cazul general (n oarecare) păstrează același spirit și este tratat sumar în paragraful următor. Presupunem că ne aflăm într-o vecinătate a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
z)/c(x,y,z) și b(x,y,z)/c(x,y,z):formula 36 Remarcă:dacă b=0, atunci condiția (2.12) se reduce la ∂a/∂y=0:dacă diferențiala dy nu apare, atunci, pentru ca 1-forma Ω să fie integrabilă, trebuie ca variabila y să nu mai apară de loc în coeficienții formei. Dacă coeficientul lui dz depinde de x, atunci dependența de y dispare după ce Ω a fost împărțită cu acest coeficient. Folosind această "remarcă", arătăm acum suficiența condiției
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
mai sus, dacă (2.13) este satisfăcută, atunci în noile variabile x,y,z, dependența de y trebuie să dispară complet când coeficientul lui dx sau dz este o constantă:formula 40Dar atunci Ω' nu conține decât două variabile și este integrabilă după § 2.1. Considerăm formula 42 pentru x,y,z împrejurul lui (x,y,z)=(1,1,1). Condiția (2.13) este satisfăcută, dar Ω nu e o diferențială totală. Pentru a găsi pe F (a "integra" pe Ω) , rezolvăm întâi
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Pentru n variabile, hiperplanul Ω=0 conține (n-1) vectori liniar independenți și deci ecuația (3.4) înseamnă (n-1)(n-2)/2 (numărul de perechi de vectori) condiții independente. "Remarca" din paragraful precedent rămâne adevărată: dacă forma Ω este integrabilă, unul din coeficienții ei este ales constant și coeficientul unei diferențiale - o numim dx - este nul în întreaga vecinătate U a unui punct x, atunci nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
când Ω(e) ≠ 0, atunci dΩ(e,e)=0.Aceasta justifică formularea (4.8). Teorema lui Frobenius poate fi generalizată la sisteme de p forme diferențiale cu n variabile (p≤n-1):formula 57 Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
p≤n-1):formula 57 Spunem că un astfel de sistem este integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
integrabil daca există p funcții f(x),f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
f(x)...astfel incâtformula 58 cu b funcții netede de x. Observăm că aceasta nu inseamnă că fiecare formă diferențială a sistemului este integrabilă: un sistem de 2 1-forme de trei variabile este totdeauna integrabil, deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
deși fiecare formă separat nu este integrabilă. De exemplu, sistemul format din:formula 59 poate fi scris:formula 60 după schimbarea de variabile: "x=x/y, z=z-x (1-y)/3". În general, un sistem de n-1 1-forme cu n variabile este integrabil daca există un determinant de ordinul n-1 al coeficienților care este nenul (1-formele sunt "independente"). Motivul este că putem alege una din variabile - o numim x - ca variabilă independentă și exprima diferențialele dx, i≤n-1 ca functie de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
că este invariantă atât la shimbări de coordonate cât și la combinații liniare între elemenetele sistemului (5.1). Urmându-l pe Feodor Deahna, Frobenius demonstrează că, în general, "condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (II) de forme diferențiale să fie integrabil, este ca cele p forme antisimetrice (5.9) să se anuleze pe orice pereche de vectori aparținând varietății liniare (5.10) determinate de Ω=0, q=1..p." Din (5.7) se vede că, dacă a(x)≡0, q=1
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Din (5.7) se vede că, dacă a(x)≡0, q=1,2, atunci ∂a/∂y = 0, q=1,2; deci, la fel ca în cazul unei singure forme (vezi "remarca" din §2.3), dacă un sistem de 1-forme este integrabil și coeficienții uneia din diferențiale se anulează identic, atunci variabila corespunzătoare dispare complet din toți coeficienții formelor sistemului . Aceasta este adevărat pentru orice p. Cu aceasta, integrarea sistemului (5.5), atunci când (5.7) sunt satisfăcute, urmărește aceiași pași ca în
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
coeficienții lui dy dispar complet, și, după ce sistemul a fost rezolvat față de diferențialele dζ,dζ, dependența de y dispare și ea. Dar acum avem de a face cu un sistem de 2 forme cu trei variabile independente, care este totdeauna integrabil. Procedura e ușor de generalizat pentru orice p, cu mai mulți pași intermdiari. În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
nu se anulează, există n-p vectori liniar independenți ale căror componente, netede față de x, le numim A(x), q=1...,n-p, i=1...n, soluții ale sistemului de ecuații (k=1...p):formula 70 Dacă sistemul (5.1) este integrabil, soluțiile sistemului de ecuații diferențiale:formula 71 se găsesc pe o varietate n-p dimensională dată de ecuațiile f(x)=C...,f(x)=C (vezi (5.2)), cu C..,C constante. Deci, pentru orice k =1...p: formula 72 Reciproc, să presupunem
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ale formelor (5.1). Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
adesea numite) dar suficiența lor a fost demonstrată pentru prima oară de F.Deahna în 1840, și pentru sisteme de forme diferențiale (vezi §4). Metoda lui de construcție a suprafețelor integrale e cea descrisă în text. Chiar dacă Ω nu este integrabilă, numărul ei de termeni poate totuși, la schimbări de coordonate judicioase, să scadă: de exemplu, astfel incât Ω să poata fi prezentată ca o sumă de două diferențiale totale, cu coeficienți depinzând de x. ""Problema lui Pfaff”" constă în determinarea
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
a prezentat o formulare "geometrică" a termodinamicii, în care conținutul principiului al doilea este în bună măsură redus la afirmația că forma diferențială reprezentând cantitatea de căldură schimbată de un sistem fizic cu exteriorul are proprietatea remarcabilă de a fi "integrabilă" (§2.3). Analiza echilibrului termic între sisteme fizice duce la identificarea factorului integrand cu temperatura absolută. Modul acesta de privire a fost adoptat numai treptat de fizicieni (Max Born a fost un promotor important al lui, iar mai târziu trebuie
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Scorecard este un sistem de management și optimizare a execuției strategiei unei organizații, care-i permit obținerea unei creșteri accelerate în performanță operațională și atingerea obiectivelor strategice definite. Execuția sistemului BSC necesită și instrumente informatice consistente, colaborative, analitice și adaptive, integrabile cu celelalte sisteme ale organizației. Inițiat cu aproape 20 ani în urmă de Robert Kaplan și David Norton (și dezvoltat în continuare de colectivul lor de la Palladium Group), Balanced Scorecard este adoptat de către mii de firme din lumea întreagă, care
Balanced scorecard () [Corola-website/Science/320114_a_321443]
-
poate fi oricât de mare - care descriu toate stările accesibile prin procese adiabatice reversibile pornind de la o stare dată ((U,V) in cazul nostru) se găsesc pe o suprafață (în spațiul parametrilor):spunem că, în acest caz, forma dQ este "integrabilă",ceea ce trebuie deosebit de proprietatea energiei interne de a fi o "diferențială totală": ea diferă de diferențiala totală a unei funcții F printr-o funcție N de parametrii sistemului, numită "factor integrand" al lui dQ:<br>formula 4Pentru un număr de parametri
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
a unui astfel de sistem compus are doi parametri geometrici și unul negeometric: cele două volume și temperatura empirică comună. Un astfel de sistem este ""simplu"" în sensul lui Carathéodory și prin urmare, forma diferențială a cantității de căldură este integrabilă, drept consecință a principiului (PC), prin intermediul lemei sale: integrabilitatea este acum o afirmație "netrivială": nu orice formă diferențială cu trei variabile independente este integrabilă. Argumentația lui Carathéodory este mai departe următoarea: dacă drept variabile geometrice independente alegem entropiile empirice S
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
este ""simplu"" în sensul lui Carathéodory și prin urmare, forma diferențială a cantității de căldură este integrabilă, drept consecință a principiului (PC), prin intermediul lemei sale: integrabilitatea este acum o afirmație "netrivială": nu orice formă diferențială cu trei variabile independente este integrabilă. Argumentația lui Carathéodory este mai departe următoarea: dacă drept variabile geometrice independente alegem entropiile empirice S, S ale celor două sisteme și ca parametru negeometric temperatura θ și notăm cu "N" un factor integrand al cantității de căldură a sistemului
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
N=T(θ)N(S), N=T(θ)N(S), definim entropiile standard ale lui K și K prin: <br>formula 19 astfel incât: <br>formula 20 unde se vede direct că forma dQ pentru sistemul compus din K și K este integrabilă (vezi (2.4)), "T(θ)" este factorul integrand , iar entropia standard a sistemului, definită natural de (4.2.3) satisface:<br>formula 21 Deducția lui Planck are o simplitate incontestabilă. În manualele „clasice“ (de exemplu Ș. Țițeica ) , urmărind dezvoltarea istorică a
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
Înlocuind diferențialele dS, dS cu diferențialele dV, dV ,dθ, obținem o formă de trei variabile. Dacă sistemul evoluează adiabatic, "dQ=0"; în general, nu există o funcție θ(V,V) care să satisfacă această ecuație; dacă există, atunci dQ este integrabilă. Să presupunem că la o pereche (V,V) dată, ar exista două valori θ, θ care ar putea fi atinse prin procese adiabatice reversibile pe drumuri diferite în planul (V,V) pornind dintr-un punct (V,V). Atunci, presupunând θ
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
deoarece "ΔU = ΔL + ΔQ" , "ΔU= 0" iar "ΔQ>0", lucrul mecanic efectuat "asupra" exteriorului este pozitiv (ΔL<0). Dar după formularea lui Kelvin-Planck, aceasta e imposibil; deci e o singura temperatură care corespunde lui V,V; deci forma dQ este integrabilă. Din acest punct, putem folosi argumentația lui Carathéodory. Max Planck pune următoarea chestiune: două corpuri K, K se află inițial în stările (θ,V),(θ,V); ele sunt puse în contact unul cu celălalt, izolate complet de mediul exterior, cu excepția
Principiul al doilea: Planck versus Carathéodory () [Corola-website/Science/320567_a_321896]
-
a lumii interioare, Pervolovici răspunde acum provocărilor erei globalizării și verticalizării accentuate, în același timp, a discursului personal. Demersul său este unul care-l definește pe de o parte că autor reprezentativ pe plan local, pe de altă îl face integrabil, remarcat, și în circuitul internațional.” Mică Gherghescu despre Romelo Pervolovici:<br> „Creația lui Romelo Pervolovici se situează undeva la întâlnirea dintre dimensiuni. E și multidimensionala, e și hiperdimensionala. Proliferează fără să intre în disoluție, pentru că nu își abandonează niciodată punctul
Romelo Pervolovici () [Corola-website/Science/329076_a_330405]