328 matches
-
proprietatea de simetrie a conjugatei este simplă "simetrie" a produsului scalar, adică Observații. Un exemplu trivial îl constituie numerele reale cu înmulțirea standard ca produs scalar Mai general, orice spațiu euclidian R cu produsul scalar Forma generală a unui produs scalar peste C este dată de: unde " M" este orice matrice pozitiv-definită, și x este conjugata transpusă a lui x. Pe spațiul vectorial C([a, b]) al funcțiilor reale continue pe intervalul [a, b] se definește produsul scalar canonic a două
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
a unui produs scalar peste C este dată de: unde " M" este orice matrice pozitiv-definită, și x este conjugata transpusă a lui x. Pe spațiul vectorial C([a, b]) al funcțiilor reale continue pe intervalul [a, b] se definește produsul scalar canonic a două funcții "f", "g" prin formula: Spațiile cu produs scalar au o normă naturală Aceasta este bine definită de axioma de nenegativitate din definiția spațiului cu produs scalar. Norma lui "x" este considerată ca lungime a vectorului "x
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
orice matrice pozitiv-definită, și x este conjugata transpusă a lui x. Pe spațiul vectorial C([a, b]) al funcțiilor reale continue pe intervalul [a, b] se definește produsul scalar canonic a două funcții "f", "g" prin formula: Spațiile cu produs scalar au o normă naturală Aceasta este bine definită de axioma de nenegativitate din definiția spațiului cu produs scalar. Norma lui "x" este considerată ca lungime a vectorului "x" și posedă proprietățile: Direct din axiome, se pot demonstra următoarele: Un sir
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
funcțiilor reale continue pe intervalul [a, b] se definește produsul scalar canonic a două funcții "f", "g" prin formula: Spațiile cu produs scalar au o normă naturală Aceasta este bine definită de axioma de nenegativitate din definiția spațiului cu produs scalar. Norma lui "x" este considerată ca lungime a vectorului "x" și posedă proprietățile: Direct din axiome, se pot demonstra următoarele: Un sir {"e"} este "ortonormal" dacă și numai dacă este ortogonal și "e" are norma 1. O "bază ortonormală" într-
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
într-un spațiu prehilbertian de dimensiune finită "V" este un șir ortonormal care generează "V". Această definiție a bazei ortonormale nu generalizează convenabil în cazul dimensiunilor infinite, unde conceptul (corect formulat) are o importanță majoră. Folosind norma asociată cu produsul scalar, există noțiunea de submulțime densă, și definiția corectă pentru o bază ortonormală este cea că spațiul generat de ea trebuie să fie dens. Procedeul Gram-Schmidt este o metodă canonică care pornește de la un șir liniar independent {"v"} pe un spațiu
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
orice mulțime numărabilă. În particular, se obține următorul rezultat din teoria seriilor Fourier: Teoremă. Fie "V" spațiul prehilbertian formula 41. Atunci secvența (indexată pe mulțimea numerelor întregi) de funcții continue este o bază ortonormală a spațiului formula 41 cu "L" ca produs scalar. Aplicația este o aplicație liniară izometrică cu imaginea densă. Ortogonalitatea șirului {e} se deduce imediat din faptul că dacă j ≠ k, atunci Șirul este normal prin construcția lui, pentru că are coeficienții aleși de așa natură încât norma este 1. În
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
deduce imediat din faptul că dacă j ≠ k, atunci Șirul este normal prin construcția lui, pentru că are coeficienții aleși de așa natură încât norma este 1. În cele din urmă, faptul că șirul generează un spațiu dens, în "norma produsului scalar", rezultă din faptul că șirul generează un subspațiu dens în spațiul funcțiilor periodice continue definite pe formula 46 cu norma uniformă. Acesta este conținutul teoremei lui Weierstrass privind densitatea uniformă a polinoamelor trigonometrice. Unele tipuri de aplicații liniare "A" dintr-un
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
că șirul generează un subspațiu dens în spațiul funcțiilor periodice continue definite pe formula 46 cu norma uniformă. Acesta este conținutul teoremei lui Weierstrass privind densitatea uniformă a polinoamelor trigonometrice. Unele tipuri de aplicații liniare "A" dintr-un spațiu cu produs scalar "V" în alt spațiu cu produs scalar "W" au relevanță: Din punctul de vedere al teoriei spațiilor cu produs scalar, nu este necesară distincția între două spații izometric izomorfe. Teorema spectrală furnizează o formă caninică pentru operatorii normali simetrici și
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
spațiul funcțiilor periodice continue definite pe formula 46 cu norma uniformă. Acesta este conținutul teoremei lui Weierstrass privind densitatea uniformă a polinoamelor trigonometrice. Unele tipuri de aplicații liniare "A" dintr-un spațiu cu produs scalar "V" în alt spațiu cu produs scalar "W" au relevanță: Din punctul de vedere al teoriei spațiilor cu produs scalar, nu este necesară distincția între două spații izometric izomorfe. Teorema spectrală furnizează o formă caninică pentru operatorii normali simetrici și unitari peste spațiile prehilbertiene finite. O generalizare
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
teoremei lui Weierstrass privind densitatea uniformă a polinoamelor trigonometrice. Unele tipuri de aplicații liniare "A" dintr-un spațiu cu produs scalar "V" în alt spațiu cu produs scalar "W" au relevanță: Din punctul de vedere al teoriei spațiilor cu produs scalar, nu este necesară distincția între două spații izometric izomorfe. Teorema spectrală furnizează o formă caninică pentru operatorii normali simetrici și unitari peste spațiile prehilbertiene finite. O generalizare a teoremei spectrale este valabilă pentru operatorii normali continui din spațiile Hilbert.
Spațiu prehilbertian () [Corola-website/Science/309773_a_311102]
-
În matematică și analiză numerică, procedeul Gram-Schmidt este o metodă de ortogonalizare a unei mulțimi de vectori într-un spațiu cu produs scalar, în mod obișnuit în spațiul euclidian R. se execută pe o mulțime finită liniar independentă "S" = {"v", ..., "v"} și produce o mulțime ortogonală "S"<nowiki>'</nowiki> = {"u", ..., "u"} care generează același subspațiu ca și "S". Metoda își trage numele de la
Procedeul Gram–Schmidt () [Corola-website/Science/309782_a_311111]
-
grupurilor Lie, el este generalizat de descompunerea Iwasawa. Aplicarea procedeului Gram-Schmidt pe vectorii coloană ai unei matrice rang produce descompunerea QR (se descompune într-o matrice ortogonală și una triunghiulară). Se definește operatorul proiecție prin unde cu se notează produsul scalar al vectorilor u și v. Acest operator proiectează v ortogonal pe vectorul u. Procedeul Gram-Schmidt funcționează după cum urmează: </math> Secvența u, ..., u este sistemul cerut de vectori ortogonali, iar vectorii normalizați e, ..., e formează o mulțime orto"normală". Pentru a
Procedeul Gram–Schmidt () [Corola-website/Science/309782_a_311111]
-
cel generat de u, ..., u. Dacă procedeul Gram-Schmidt se aplică pe o secvență liniar dependentă, rezultă vectorul 0 la pasul formula 12, presupunând că formula 13 este o combinație liniară de formula 14. Se consideră următoarea mulțime de vectori din R (cu produsul scalar convențional) Acum, aplicăm Gram-Schmidt, pentru a obține o mulțime ortogonală de vectori: Verificăm că vectorii u și u sunt ortogonali: Apoi putem normaliza vectorii împărțindu-i la norma lor: La implementarea pe calculator a procedeului, vectorii formula 21 nu sunt chiar
Procedeul Gram–Schmidt () [Corola-website/Science/309782_a_311111]
-
În matematică, ortogonalitatea, este o generalizare a "perpendicularității". Înseamnă "în unghi drept, și vine din grecescul "ὀρθός" "orthos", care înseamnă "drept" și "γωνία" "gonia", care înseamnă "unghi". Formal, doi vectori formula 1 și formula 2 dintr-un spațiu cu produs scalar formula 3 sunt ortogonali dacă produsul lor scalar formula 4 este zero. Această proprietate este scrisă formula 5. Două subspații vectoriale formula 6 și formula 7 din spațiul vectorial formula 3 se numesc subspații ortogonale dacă toți vectorii din formula 6 sunt ortogonali pe toți vectorii din
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
generalizare a "perpendicularității". Înseamnă "în unghi drept, și vine din grecescul "ὀρθός" "orthos", care înseamnă "drept" și "γωνία" "gonia", care înseamnă "unghi". Formal, doi vectori formula 1 și formula 2 dintr-un spațiu cu produs scalar formula 3 sunt ortogonali dacă produsul lor scalar formula 4 este zero. Această proprietate este scrisă formula 5. Două subspații vectoriale formula 6 și formula 7 din spațiul vectorial formula 3 se numesc subspații ortogonale dacă toți vectorii din formula 6 sunt ortogonali pe toți vectorii din formula 7. Cel mai mare subspațiu ortogonal pe
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
toți vectorii din formula 6 sunt ortogonali pe toți vectorii din formula 7. Cel mai mare subspațiu ortogonal pe un subspațiu dat se numește complement ortogonal al respectivului subspațiu. O transformare liniară formula 11 se numește transformare liniară ortogonală dacă ea păstrează produsul scalar. Adică pentru toate perechile de vectori formula 1 și formula 2 din din spațiul cu produs scalar formula 3, Aceasta înseamnă că formula 16 păstrează unghiul între formula 1 și formula 2, și că lungimile lui formula 19 și formula 1 sunt egale. Termenul de normal este folosit
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
ortogonal pe un subspațiu dat se numește complement ortogonal al respectivului subspațiu. O transformare liniară formula 11 se numește transformare liniară ortogonală dacă ea păstrează produsul scalar. Adică pentru toate perechile de vectori formula 1 și formula 2 din din spațiul cu produs scalar formula 3, Aceasta înseamnă că formula 16 păstrează unghiul între formula 1 și formula 2, și că lungimile lui formula 19 și formula 1 sunt egale. Termenul de normal este folosit adesea în locul celui de ortogonal, dar "normal" se poate referi și la vectori unitate. În
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
colecție de vectori care sunt și ortogonali și normali (de lungime egală cu unitatea). Astfel, folosirea termenului "normal" cu sensul de "orthogonal" este adesea evitată. În spațiile euclidiene de 2 sau 3 dimensiuni, doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor scalar este zero, adică fac un unghi de 90° sau π/2 radiani. Astfel, ortogonalitatea vectorilor este o generalizare a conceptului de perpendicular. În termenii subspațiilor euclidiene, complementul ortogonal al unei drepte este planul perpendicular pe el, și invers. Se observă
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
iar o mulțime de astfel de vectori se numește mulțime ortogonală. O astfel de mulțime este mulțime ortonormală dacă toți vectorii acesteia sunt vectori unitate. Vectorii nenuli ortogonali doi câte doi sunt întotdeauna liniar independenți. Adesea se folosește următorul produs scalar între două funcții "f" și "g": Se introduce aici o funcție pondere nenegativă formula 22 în definirea produsului scalar. Se spune că aceste funcții sunt ortogonale dacă acel produs scalar este zero: Scriem normele în raport cu acest produs scalar și cu ponderea
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
dacă toți vectorii acesteia sunt vectori unitate. Vectorii nenuli ortogonali doi câte doi sunt întotdeauna liniar independenți. Adesea se folosește următorul produs scalar între două funcții "f" și "g": Se introduce aici o funcție pondere nenegativă formula 22 în definirea produsului scalar. Se spune că aceste funcții sunt ortogonale dacă acel produs scalar este zero: Scriem normele în raport cu acest produs scalar și cu ponderea astfel Membrii unei secvențe { "f" : "i" = 1, 2, 3, ... } sunt: unde este Delta Kronecker. Cu alte cuvinte, oricare
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
câte doi sunt întotdeauna liniar independenți. Adesea se folosește următorul produs scalar între două funcții "f" și "g": Se introduce aici o funcție pondere nenegativă formula 22 în definirea produsului scalar. Se spune că aceste funcții sunt ortogonale dacă acel produs scalar este zero: Scriem normele în raport cu acest produs scalar și cu ponderea astfel Membrii unei secvențe { "f" : "i" = 1, 2, 3, ... } sunt: unde este Delta Kronecker. Cu alte cuvinte, oricare două funcții sunt ortogonale, și norma fiecăreia este 1 în cazul
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
folosește următorul produs scalar între două funcții "f" și "g": Se introduce aici o funcție pondere nenegativă formula 22 în definirea produsului scalar. Se spune că aceste funcții sunt ortogonale dacă acel produs scalar este zero: Scriem normele în raport cu acest produs scalar și cu ponderea astfel Membrii unei secvențe { "f" : "i" = 1, 2, 3, ... } sunt: unde este Delta Kronecker. Cu alte cuvinte, oricare două funcții sunt ortogonale, și norma fiecăreia este 1 în cazul secvenței ortonormale. Din utilizarea inițială din matematică, au
Ortogonalitate () [Corola-website/Science/309781_a_311110]
-
a calcula factorizarea QR a unei matrice. "Q" poate fi folosită pentru a reflecta un vector în așa fel încât dispar toate coordonatele mai puțin una. Fie formula 46 un vector-coloană arbitrar "m"-dimensional cu proprietatea că ||formula 46|| = |α| pentru un scalar α. Dacă algoritmul este implementat folosind aritmetica în virgulă mobilă, atunci α trebuie să aibă semnul opus primei coordonate a lui formula 46 pentru a evita pierderea de semnificație. Dacă formula 46 e un vector complex, atunci definiția ar trebui să fie
Descompunerea QR () [Corola-website/Science/309783_a_311112]
-
formula 61. De fapt, se iau funcții din spațiul Lp "L"(μ), unde μ este măsura Lebesgue normalizată a intervalului [-π,π] (astfel încât formula 62. Putem transforma "L"(μ) într-un spațiu Hilbert, ceea ce este potrivit pentru proiecții ortogonale, prin definirea produsului scalar: unde formula 64 reprezintă conjugata lui "f"("x"). Vom nota cu formula 65 norma asociată. formula 66 este o bază ortonormală din "L"(μ), deci se poate scrie De regulă se definește formula 68. Aceste numere se numesc coeficienți Fourier complecși. Expresia lor este
Serie Fourier () [Corola-website/Science/309816_a_311145]
-
ușor de interpretat. Dacă "G" grup Abelian local compact și T este cercul unitate, se poate defini dualul lui "G" prin formula 96. Acestea constituie mulțimea rotațiilor pe cercul unitate și elementele sale se numesc caractere. Se poate defini un produs scalar formula 97 pe C["G"] prin: formula 98. formula 99 este atunci bază ortonormală în C["G"] în raport cu acest produs scalar. Fie "f" :"G" → C. Coeficienții Fourier ai lui "f" sunt definiți prin: formula 100 și avem formula 101. Dacă grupul este discret, atunci integrala
Serie Fourier () [Corola-website/Science/309816_a_311145]