4,066 matches
-
iar asta pare a fi în complet acord cu ceea ce spune Kant la începutul secțiunii a V-a a Introducerii la Critica Rațiunii Pure. Aici el atenționează asupra greșelii făcute de predecesorii săi care, plecând de la observația corectă că "raționamentele matematicienilor procedează toate conform principiului contradicției (ceea ce e cerut de natura oricărei certitudini apodictice), au ajuns la convingerea că și principiile ar fi cunoscute pe baza principiului contradicției" (CRP, p. 59) iar aceasta este clar greșită. După Kant, "nici una dintre axiomele
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
ajunge la ele cu ajutorul logicii, deoarece "o judecată sintetică poate fi cunoscută fără îndoială potrivit principiului contradicției, dar numai cu condiția de a se presupune o altă judecată sintetică din care să poată fi dedusă" (CRP, p. 59). Chiar dacă raționamentele matematicienilor sunt analitice, geometria este sintetică deoarece axiomele sale sunt sintetice. Deși această interpretare a viziunii kantiene asupra inferenței matematice este atractivă 3, este foarte greu, dacă nu imposibil, de susținut 4. Ne dăm seama de asta imediat ce ne îndreptăm atenția
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
avem decât "sinteza omogenului (a unităților) [care]... nu poate avea loc aici decât într-un singur mod, cu toate că folosirea acestor numere este apoi generală" (CRP, p. 189). Oricum am lua-o, nici judecățile matematice nu sunt analitice și nici raționamentele matematicienilor nu pot fi considerate astfel. 1.1.2. Aprioricitatea judecăților matematice Nu sunt analitice, dar sunt a priori. Kant identifică două criterii ale unei cunoștințe a priori: necesitatea și universalitatea. Plecând de aici, el argumentează că "judecățile matematice autentice sunt
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
108). Pentru a scăpa de această "teamă", cel mai bine este să ne uităm mai îndeaproape ce are Kant în vedere atunci când spune că cunoașterea matematică este o cunoaștere din construirea conceptelor. După el, esențial pentru demonstrația matematică este abilitatea matematicianului de a produce figuri construindu-le. Astfel, în cazul teoremei despre raportul dintre suma unghiurilor unui triunghi și un unghi drept, demonstrația este ghidată de construcții pe un triunghi dat. Pentru a ajunge la această demonstrație, geometrul trebuie să înceapă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
trage următoarea concluzie în legătură cu specificitatea conceptelor matematicii: acestea sunt date abia prin definiții și astfel se cunoaște precis care este conținutul lor din moment ce acesta este alcătuit în mod premeditat și astfel conține o sinteză arbitrară 11. Când definește un concept, matematicianul nu face altceva decât sa-l construiască, i.e. să-i prezinte conținutul sub forma unei intuiții dar cum prin intuiție se are în vedere aprehensiunea unui individual, ce am spus înainte poate fi redat astfel: când definește un concept matematicianul
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematicianul nu face altceva decât sa-l construiască, i.e. să-i prezinte conținutul sub forma unei intuiții dar cum prin intuiție se are în vedere aprehensiunea unui individual, ce am spus înainte poate fi redat astfel: când definește un concept matematicianul îi prezintă conținutul sub forma unei reprezentări singulare. Cum putem, plecând de la astfel de reprezentări singulare, să ajungem la judecăți universale? iată-ne ajunși la problema în legătură cu care spuneam mai sus că ne atrage atenția Lisa Shabel 12. Răspunsul lui
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
astfel de reguli și nu simple imagini/figuri face ca judecățile matematice să fie universale 14. Dacă în matematică s-ar pleca de la reprezentări singulare, atunci nu am ajunge să avem nici măcar concepte. Când definește, de exemplu, conceptul de triunghi, matematicianul nu poate pleca de la o imagine a acestuia pentru că "nu există imagine a unui triunghi care să poată fi vreodată adecvată conceptului de triunghi. Căci ea nu ar atinge generalitatea conceptului, care face ca acesta să fie valabil pentru toate
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
descoperirea și acceptarea geometriilor neeuclidiene sunt legate direct de acestea. Prima dintre aceste etape apare odată cu realizarea faptului că cel de-al cincilea postulat este diferit de celelalte, adevărul lui neputând fi considerat evident. Asta a făcut că foarte mulți matematicieni să încerce să-l deducă din celelalte axiome și postulate. Primii care au încercat asta au fost Proclus și Arhimede, apoi în secolul treisprezece problema a fost abordată de matematicianul arab Nasir Eddin al-Tusi. În Europa, problema paralelelor a fost
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
neputând fi considerat evident. Asta a făcut că foarte mulți matematicieni să încerce să-l deducă din celelalte axiome și postulate. Primii care au încercat asta au fost Proclus și Arhimede, apoi în secolul treisprezece problema a fost abordată de matematicianul arab Nasir Eddin al-Tusi. În Europa, problema paralelelor a fost redescoperită abia în secolul șaisprezece, dar cele mai importante rezultate apar abia la începutul secolului optsprezece odată cu opera lui Gerolamo Saccheri. Ca și predecesorii săi, acesta eșuează în încercarea sa
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
lui Lobacevski, singura diferență fiind aceea că Bolyai asumă că printr-un punct exterior unei drepte pot fi trasate mai multe paralele la acea dreaptă. Timp de aproape patruzeci de ani, lucrările celor doi nu au atras deloc atenția, unii matematicieni neștiind de existența lor, iar unii dintre "matematicienii care aflaseră de noul sistem geometric erau înclinați să-l privească mai degrabă ca pe o aberație decât ca pe, într-un anumit sens, o alternativă validă la geometria euclidiană" (Mykytiuk și
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
asumă că printr-un punct exterior unei drepte pot fi trasate mai multe paralele la acea dreaptă. Timp de aproape patruzeci de ani, lucrările celor doi nu au atras deloc atenția, unii matematicieni neștiind de existența lor, iar unii dintre "matematicienii care aflaseră de noul sistem geometric erau înclinați să-l privească mai degrabă ca pe o aberație decât ca pe, într-un anumit sens, o alternativă validă la geometria euclidiană" (Mykytiuk și Shenitzer 1995: 63). Lucrurile au început să se
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o lume" în care este valabilă o altă geometrie decât cea euclidiană. Cu ajutorul acestui model, Beltrami a reușit să facă trei lucruri: în primul rând să arate că geometria hiperbolică este consistentă, în al doilea rând să-i determine pe matematicienii vremurilor sale să ia în serios această geometrie 21, iar în ultimul rând să facă intuitive rezultatele ei. Geometria hiperbolică nu este singura geometrie neeuclidiană care a apărut în secolul nouăsprezece. Tot atunci a apărut și geometria eliptica, descoperită de
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
a geometriei Una dintre cele mai importante consecințe (atât pentru filosofia matematicii, cât și pentru matematica secolului nouăsprezece) ale apariției geometriilor neeuclidiene a fost reexaminarea fundamentelor geometriei euclidiene 27. Această reexaminare a avut două rezultate, ambele asociate cu numele marelui matematician David Hilbert: o nouă axiomatizare a geometriei euclidiene și o nouă viziune a supra axiomelor. În secolul nouăsprezece a apărut o cu totul altă atitudine față de axiomele unui sistem matematic. Dacă axiomele lui Euclid puteau fi privite ca fiind adevăruri
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
studiul mișcării planetelor, dar și în balistică; (d) ultima problemă apare tot în legătură cu mișcarea planetelor și privește aflarea distanței parcursă de o planetă într-un interval de timp dat39. Aceste probleme au fost abordate, la începutul secolului șaptesprezece, de mulți matematicieni care au avut contribuții importante, dar cel care a unit ideile disparate ale acestor matematicieni într-o metodă generală 40 a fost Newton 41. În mare și foarte pe scurt putem spune că noutatea introdusă de Newton (și Leibniz) constă
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
și privește aflarea distanței parcursă de o planetă într-un interval de timp dat39. Aceste probleme au fost abordate, la începutul secolului șaptesprezece, de mulți matematicieni care au avut contribuții importante, dar cel care a unit ideile disparate ale acestor matematicieni într-o metodă generală 40 a fost Newton 41. În mare și foarte pe scurt putem spune că noutatea introdusă de Newton (și Leibniz) constă în trei lucruri: inventarea conceptelor de fluxiune și fluent 42 (fluxiunea este rata de schimbare
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
să le înțeleagă într-un mod potrivit, ei s-au bazat pe coerența rezultatelor și pe fecunditatea metodelor pentru a înainta fără rigoare." (Kline 1972: 387). Această lipsă de rigoare a fost luată în serios în secolul nouăsprezece, iar principalii matematicieni care au conlucrat la găsirea unei baze riguroase pentru calcul au fost Cauchy, Riemann și Weierstrass. Cauchy distinge următoarele concepte fundamentale: limită, continuitate, convergență, derivată și integrală. El pune conceptul de limită la baza tuturor celorlalte și traduce acest concept
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
contradicție în termeni)" (Kleiner 1991: 304). Am văzut mai sus ce fel de transformări "revoluționare" s-au produs în geometrie, analiză și axiomatică. Un alt domeniu matematic în care au avut loc transformări a fost aritmetica. Spre sfârșitul secolului nouăsprezece, matematicienii au reușit să axiomatizeze și aritmetica. Primul care a produs un astfel de sistem a fost Dedekind în 1888, urmat la numai un an de Peano. Ca și în cazul celorlalte schimbări care au avut loc în matematică, nici aceasta
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
universale despre lume la care se ajunge pe o cale inductivă. Philip Kitcher consideră că viziunea lui Mill are la bază luarea în serios a ideii că "acumularea cunoașterii matematice la copii este o parte indispensabilă chiar și a cunoașterii matematicianului sofisticat" (Kitcher 1998: 62), precum și angajamentul de a înțelege cunoașterea matematică ca fundamentată pe interacțiunile noastre cu lumea. Putem prezenta poziția lui Mill, cel mai bine, dacă luăm în considerarea răspunsurile date de el la următoarele trei întrebări: "(1) Ce
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
matematica pură și matematica aplicată și a identificării de către pozitiviștii logici a matematicii cu matematica pură. Această identificare lasă loc următoarei situații: "Dacă nu există nici un interes pentru aplicarea structurii, mulțimea particulară de axiome a sistemului își pierde importanța, iar matematicianul se poate distra introducând în el schimbări arbitrare. Asta a condus la inventarea geometriilor "neeuclidiene", care, la început, au fost privite drept creații goale ale minții omenești, până s-a întâmplat că au fost găsite aplicații fizice pentru unele dintre
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
aplicații fizice pentru unele dintre ele, de exemplu, în relație cu teoria relativității." (Schlick 2003: 151). Exact situația prezentată în această ultimă propoziție ne interesează pe noi în aceasta ultimă secțiune. Cum se face că aceste schimbări arbitrare introduse de matematician își găsesc uneori aplicații în fizică? Am văzut mai sus (în secțiunea 1.1.3.) cum răspundea Kant la o întrebare oarecum similară. La baza răspunsului său stătea ideea ca experiența noastră senzorială este făcută posibilă de o structură matematică
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
luat ca un răspuns și pentru problema aplicabilității. Pentru a se răspunde la această problemă ar trebui să se explice de ce, un sistem matematic axiomatic care primește o astfel de interpretare fizică, dar la care s-a ajuns datorită "amuzamentului" matematicianului care s-a gândit să introducă schimbări arbitrare în alt sistem, este atât de util fizicianului. Dar un astfel de răspuns nu este de găsit la pozitiviștii logici și nici perspectiva unui astfel de răspuns nu poate fi ușor întrezărită
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
diferite, atunci nu mai avem motive să ni se pară ceva problematic aici. Cineva poate atrage atenția asupra faptului că matematica și fizica au obiecte diferite de studiu. Plecând de aici, ne putem întreba ce face ca adevărurile descoperite de matematician să fie folositoare în fizică, unde sunt cercetate alte lucruri găsim astfel o cale de a ajunge la o problemă a aplicabilității și în contextul viziunii lui Quine. Quine preîntâmpină, însă, o astfel de mișcare, atrăgând atenția că "fizica cuantifică
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
prea multe probleme unui susținător al statutului special al matematicii. Ce ar fi, însă, dacă am lua în calcul cazul unei teoreme matematice care a fost demonstrată de un computer, dar a cărei demonstrație este imposibil de verificat de către un matematician? Ne-ar face apariția unui astfel de caz în cadrul matematicii și acceptarea lui de către matematicieni ca reprezentând o extindere veritabilă a cunoașterii matematicii pure, să ne revizuim poziția în legătură cu distincția dintre matematică și științele naturii? Thomas Tymoczko consideră că da
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
am lua în calcul cazul unei teoreme matematice care a fost demonstrată de un computer, dar a cărei demonstrație este imposibil de verificat de către un matematician? Ne-ar face apariția unui astfel de caz în cadrul matematicii și acceptarea lui de către matematicieni ca reprezentând o extindere veritabilă a cunoașterii matematicii pure, să ne revizuim poziția în legătură cu distincția dintre matematică și științele naturii? Thomas Tymoczko consideră că da, iar cazul pe care îl ia în discuție este cel al teoremei celor patru culori
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]
-
o sferă poate fi colorată doar cu ajutorul a patru culori în așa fel încât să nu existe regiuni învecinate care să fie colorate cu aceeași culoare. În ciuda aparentei simplități a acestei probleme, ea s-a dovedit foarte rezistentă la încercările matematicienilor de a o demonstra. Asta până în 1977, când K. Appel, W. Haken și J. Koch publică o demonstrație a ei. Până aici, nimic surprinzător; surpriza apare când aflăm că în unul dintre pașii esențiali pentru demonstrație, cei trei s-au
Aplicabilitatea matematicii ca problemă filosofică by Gabriel Târziu () [Corola-publishinghouse/Science/888_a_2396]