3,116 matches
-
prin același punct deoarece o distanță radială negativă este măsurată ca o distanță pozitivă pe aceeași direcție în sens opus (direcția reflectată față de origine, care diferă de direcția originală cu 180°). Aceasta ilustrează un aspect important al sistemului de coordonate polare, aspect care lipsește la cel cartezian: un singur punct poate fi exprimat printr-o infinitate de coordonate diferite. În general, punctul (formula 1, θ) poate fi reprezentat ca (formula 1, θ ± formula 8×360°) sau ca (−formula 1, θ ± (2formula 8 + 1)180°), unde formula 8
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
Pentru a obține o reprezentare unică a unui punct, este uzual a limita formula 1 la numere nenegative formula 1 ≥ 0 și pe θ la intervalul [0, 360°) sau (−180°, 180°] (sau, în radiani, [0, 2π) sau (−π, π]). Unghiurile în notație polară sunt în general exprimate fie în grade, fie în radiani, utilizând conversia 2π rad = 360°. Alegerea depinde de context. Aplicațiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicații din fizică (mai ales mecanica rotației) și aproape toată literatura matematică legată de analiza
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
grade, fie în radiani, utilizând conversia 2π rad = 360°. Alegerea depinde de context. Aplicațiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicații din fizică (mai ales mecanica rotației) și aproape toată literatura matematică legată de analiza matematică folosesc radiani. Cele două coordonate polare formula 1 și θ pot fi convertite în coordonate carteziene formula 15 și formula 16 prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus: în timp ce două coordonate carteziene formula 15 și formula 16 pot fi transformate în coordonata polară formula 1 prin Pentru a determina coordonata polară θ
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
de analiza matematică folosesc radiani. Cele două coordonate polare formula 1 și θ pot fi convertite în coordonate carteziene formula 15 și formula 16 prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus: în timp ce două coordonate carteziene formula 15 și formula 16 pot fi transformate în coordonata polară formula 1 prin Pentru a determina coordonata polară θ, trebuie să fie luate în considerare următoarele două idei: Pentru a obține θ în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (formula 25 reprezintă inversa funcției tangentă): Pentru a obține θ în
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
coordonate polare formula 1 și θ pot fi convertite în coordonate carteziene formula 15 și formula 16 prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus: în timp ce două coordonate carteziene formula 15 și formula 16 pot fi transformate în coordonata polară formula 1 prin Pentru a determina coordonata polară θ, trebuie să fie luate în considerare următoarele două idei: Pentru a obține θ în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (formula 25 reprezintă inversa funcției tangentă): Pentru a obține θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
Pentru a obține θ în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (formula 25 reprezintă inversa funcției tangentă): Pentru a obține θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea expresie: Ecuațiile care definesc o curbă algebrică exprimată în coordonate polare este o "ecuație polară". În multe cazuri, o astfel de ecuație poate fi specificată doar prin definirea formula 1 ca funcție de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (formula 1(θ), θ) și poate fi privită ca graficul funcției polare
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (formula 25 reprezintă inversa funcției tangentă): Pentru a obține θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea expresie: Ecuațiile care definesc o curbă algebrică exprimată în coordonate polare este o "ecuație polară". În multe cazuri, o astfel de ecuație poate fi specificată doar prin definirea formula 1 ca funcție de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (formula 1(θ), θ) și poate fi privită ca graficul funcției polare formula 1. Diferite forme de
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
polare este o "ecuație polară". În multe cazuri, o astfel de ecuație poate fi specificată doar prin definirea formula 1 ca funcție de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (formula 1(θ), θ) și poate fi privită ca graficul funcției polare formula 1. Diferite forme de simetrie pot fi deduse din ecuația unei funcții polare formula 1. Dacă formula 1(−θ) = formula 1(θ) curba va fi simetrică față de direcția orizontală (0°/180°), dacă formula 1(π−θ) = formula 1(θ) ea va fi simetrică față de verticală
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
fi specificată doar prin definirea formula 1 ca funcție de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (formula 1(θ), θ) și poate fi privită ca graficul funcției polare formula 1. Diferite forme de simetrie pot fi deduse din ecuația unei funcții polare formula 1. Dacă formula 1(−θ) = formula 1(θ) curba va fi simetrică față de direcția orizontală (0°/180°), dacă formula 1(π−θ) = formula 1(θ) ea va fi simetrică față de verticală (90°/270°), și dacă formula 1(θ−α°) = formula 1(θ) ea va avea simetrie
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
0°/180°), dacă formula 1(π−θ) = formula 1(θ) ea va fi simetrică față de verticală (90°/270°), și dacă formula 1(θ−α°) = formula 1(θ) ea va avea simetrie radială α° în sens trigonometric în jurul polului. Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuație polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, Spirala lui Arhimede, lemniscata, melcul, și cardioida. Ecuația generală a unui
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
va fi simetrică față de verticală (90°/270°), și dacă formula 1(θ−α°) = formula 1(θ) ea va avea simetrie radială α° în sens trigonometric în jurul polului. Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuație polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, Spirala lui Arhimede, lemniscata, melcul, și cardioida. Ecuația generală a unui cerc cu centrul în (formula 1, φ) și de rază
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
în sens trigonometric în jurul polului. Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuație polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, Spirala lui Arhimede, lemniscata, melcul, și cardioida. Ecuația generală a unui cerc cu centrul în (formula 1, φ) și de rază formula 39 este Aceasta poate fi simplificată în numeroase feluri, pentru a se conforma unor cazuri particulare, cum ar fi ecuația
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
pol) sunt reprezentate de ecuația unde φ este unghiul de înclinație a dreptei; adică, φ = arctan formula 44 unde formula 44 este panta dreptei în coordonate carteziene. Dreapta non-radială perpendiculară pe dreapta radială θ = φ în punctul (formula 1, φ) are ecuația Roza polară este o curbă matematică celebră care arată ca o floare cu petale și care poate fi exprimată ca o ecuație polară simplă, pentru orice constantă formula 49 (inclusiv 0). Dacă "n" este întreg, această ecuație produce o roză cu "n" petale
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
dreptei în coordonate carteziene. Dreapta non-radială perpendiculară pe dreapta radială θ = φ în punctul (formula 1, φ) are ecuația Roza polară este o curbă matematică celebră care arată ca o floare cu petale și care poate fi exprimată ca o ecuație polară simplă, pentru orice constantă formula 49 (inclusiv 0). Dacă "n" este întreg, această ecuație produce o roză cu "n" petale, dacă "n" este impar, sau cu 2"n" petale dacă este par. Dacă "n" este rațional dar nu întreg, o formă
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
că aceste ecuații nu definesc niciodată o roză cu 2, 6, 10, 14, etc. petale. Variabila "a" reprezintă lungimea petalelor rozei. Spirala lui Arhimede este o spirală celebră descoperită de Arhimede, spirală ce poate fi exprimată sub forma unei ecuații polare simple. Ea este reprezentată de ecuația: Schimbarea parametrului "a" va roti spirala, pe când b controlează distanța dintre brațe, care pentru o spirală dată este mereu constantă. Spirala lui Arhimede are două brațe, unul pentru θ > 0 și unul pentru θ
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
90°/270° se obține un alt braț. Această curbă este notabilă ca una din primele curbe, după secțiunile conice, care a fost descrisă într-un tratat matematic, și ca prim exemplu de curbă mai bine definită sub formă de ecuație polară. O secțiune conică cu un focar în origine și celălalt undeva pe semidreapta de 0° (astfel încât axa majoră este în lungul axei polare) este dată de: unde "e" este excentricitatea și formula 53 distanța perpendiculară la focar de la axa majoră la
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
într-un tratat matematic, și ca prim exemplu de curbă mai bine definită sub formă de ecuație polară. O secțiune conică cu un focar în origine și celălalt undeva pe semidreapta de 0° (astfel încât axa majoră este în lungul axei polare) este dată de: unde "e" este excentricitatea și formula 53 distanța perpendiculară la focar de la axa majoră la curbă. Dacă "e" > 1, această ecuație definește o hiperbolă; dacă "e" = 1, ea definește o parabolă; iar dacă "e" < 1, definește o elipsă
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
special "e" = 0 are ca rezultat un cerc de rază formula 53. Toate numerele complexe pot fi reprezentate ca un punct în planul complex, și pot astfel să fie exprimate specificând fie coordonatele carteziene ale punctului fie cele polare (numite formă polară). Numărul complex "z" poate fi reprezentat în formă carteziană ca unde "i" este unitatea imaginară, sau poate fi scris în formă polară și de aici ca unde "e" este numărul lui Euler. Acestea sunt echivalente conform formulei lui Euler. (De
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
complex, și pot astfel să fie exprimate specificând fie coordonatele carteziene ale punctului fie cele polare (numite formă polară). Numărul complex "z" poate fi reprezentat în formă carteziană ca unde "i" este unitatea imaginară, sau poate fi scris în formă polară și de aici ca unde "e" este numărul lui Euler. Acestea sunt echivalente conform formulei lui Euler. (De observat că această formulă, ca orice formulă care implică exponențialele unor unghiuri presupune că θ este exprimat în radiani.) Pentru a face
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
carteziană și cea polară a unui număr complex, se poate folosi formula de conversie dată mai sus. Pentru operațiile de înmulțire, împărțire, și exponențiere de numere complexe, este în general mai simplu de lucrat cu numere complexe exprimate în formă polară decât în formă carteziană. Din legile exponențierii: Se poate aplica analiză matematică pe ecuațiile exprimate în coordonate polare. Coordonata unghiulară θ este exprimată în radiani, alegere convențională în analiza matematică. Avem următoarele formule: Pentru a găsi panta carteziană a tangentei
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
operațiile de înmulțire, împărțire, și exponențiere de numere complexe, este în general mai simplu de lucrat cu numere complexe exprimate în formă polară decât în formă carteziană. Din legile exponențierii: Se poate aplica analiză matematică pe ecuațiile exprimate în coordonate polare. Coordonata unghiulară θ este exprimată în radiani, alegere convențională în analiza matematică. Avem următoarele formule: Pentru a găsi panta carteziană a tangentei la o curbă polară "r"(θ) în orice punct dat, curba este întâi exprimată ca sistem de ecuații
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
carteziană. Din legile exponențierii: Se poate aplica analiză matematică pe ecuațiile exprimate în coordonate polare. Coordonata unghiulară θ este exprimată în radiani, alegere convențională în analiza matematică. Avem următoarele formule: Pentru a găsi panta carteziană a tangentei la o curbă polară "r"(θ) în orice punct dat, curba este întâi exprimată ca sistem de ecuații parametrice. Derivând ambele ecuații în raport cu θ rezultă Împărțind a doua ecuație la prima, rezultă panta carteziană a tangentei la curbă în punctul ("r", "r"(θ)): Fie
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
arie infinitezimal poate fi calculat ca "dA" = "dx" "dy". Regula de substituție pentru integralele multiple afirmă că, la folosirea altor coordonate, trebuie să fie considerat determinantul Jacobian al formulei de conversie de coordonate: Astfle, un element de arie în coordonate polare poate fi scris sub forma Acum, o funcție dată în coordonate polare poate fi integrată după cum urmează: Aici, "R" este aceeași regiune ca și mai sus, și anume regiunea cuprinsă între o curbă "r"(θ) și razele θ = "a" și
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
pentru integralele multiple afirmă că, la folosirea altor coordonate, trebuie să fie considerat determinantul Jacobian al formulei de conversie de coordonate: Astfle, un element de arie în coordonate polare poate fi scris sub forma Acum, o funcție dată în coordonate polare poate fi integrată după cum urmează: Aici, "R" este aceeași regiune ca și mai sus, și anume regiunea cuprinsă între o curbă "r"(θ) și razele θ = "a" și θ = "b". Formula pentru aria lui "R" menționat mai sus este obținută
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]
-
razele θ = "a" și θ = "b". Formula pentru aria lui "R" menționat mai sus este obținută luând "f" identic egal cu 1. O aplicație surprinzătoare a acestui rezultat furnizează integrala gaussiană Calculul vectorial poate fi și el aplicat în coordonate polare. Fie formula 75 vectorul de poziție formula 76, cu "r" și formula 77 funcții de timpul "t", formula 78 vectorul unitate în direcția formula 75 și formula 80 vector unitate în unghi drept cu formula 75. Primele derivate ale poziției sunt Sistemul de coordonate polare este extins
Coordonate polare () [Corola-website/Science/299629_a_300958]