67 matches
-
legate de polinoamele Hermite: și unde formula 39 sunt polinoamele Hermite bazate pe funcția pondere formula 40, așa-numita "versiunea fizicienilor". Din acest motiv, polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului cuantic armonic. Polinoamele Laguerre pot fi definite în termeni de funcții hipergeometrice, anume de funcții hipergeometrice confluente, ca unde formula 42 este simbolul Pochhammer (care în "acest" caz reprezintă "factorialul crescător").
Polinoamele lui Laguerre () [Corola-website/Science/309990_a_311319]
-
și unde formula 39 sunt polinoamele Hermite bazate pe funcția pondere formula 40, așa-numita "versiunea fizicienilor". Din acest motiv, polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului cuantic armonic. Polinoamele Laguerre pot fi definite în termeni de funcții hipergeometrice, anume de funcții hipergeometrice confluente, ca unde formula 42 este simbolul Pochhammer (care în "acest" caz reprezintă "factorialul crescător").
Polinoamele lui Laguerre () [Corola-website/Science/309990_a_311319]
-
ale funcției. Adăugând un termen suplimentar integralei de mai sus, definiția poate fi extinsă și pentru valori α diferite de întregi, reprezentarea ei fiind dată de: O altă reprezentare integrală este și: Funcția Bessel poate fi exprimată în termenii seriei hipergeometrice a lui Gauss astfel: Această expresie se referă la dezvoltarea funcției Bessel în termenii funcției Bessel-Clifford. În termenii polinoamelor Laguerre, pentru orice parametru t, funcția Bessel se poate exprima astfel: Funcțiile Bessel de speța a II-a, notate prin Y
Funcție Bessel () [Corola-website/Science/305359_a_306688]
-
distribuție normală cu deviație standard 1 și valoarea așteptată μ atunci Polinoamele Hermite pot fi exprimate sub formă de caz particular al polinoamelor Laguerre. Polinoamele Hermite pot fi exprimate drept caz particular al funcțiilor cilindrului parabolic. unde formulă 50 este funcția hipergeometrica confluenta a lui Whittaker. Analog, unde formulă 53 este funcția hipergeometrica confluenta a lui Kummer. Polinoamele Hermite din teoria probabilităților satisfac egalitatea unde " D" reprezintă derivarea în raport cu "x", iar exponențială este interpretată prin dezvoltarea în serie de puteri. Nu există chestiuni
Polinoame Hermite () [Corola-website/Science/316296_a_317625]
-
atunci Polinoamele Hermite pot fi exprimate sub formă de caz particular al polinoamelor Laguerre. Polinoamele Hermite pot fi exprimate drept caz particular al funcțiilor cilindrului parabolic. unde formulă 50 este funcția hipergeometrica confluenta a lui Whittaker. Analog, unde formulă 53 este funcția hipergeometrica confluenta a lui Kummer. Polinoamele Hermite din teoria probabilităților satisfac egalitatea unde " D" reprezintă derivarea în raport cu "x", iar exponențială este interpretată prin dezvoltarea în serie de puteri. Nu există chestiuni delicate de convergență a acestei serii când operează pe polinoame
Polinoame Hermite () [Corola-website/Science/316296_a_317625]
-
formula 7, iar formula 5 cu formula 9. unde J(z) este funcția Bessel de speța I-a, iar Y(z) funcția Bessel de speța a II-a. Funcțiile Lommel mai pot fi scrise sub forma: în care formula 14 și formula 15 sunt serii hipergeometrice generalizate. Funcția formula 19 este o soluție particulară a ecuației diferențiale: și este dată de relația: Funcția formula 22 este o soluție particulară a ecuației diferențiale: și este dată de relația:
Funcție Lommel () [Corola-website/Science/317602_a_318931]
-
În matematică, o serie hipergeometrică bilaterală este o serie formula 1, în care sumarea se face peste "toți" întregii "n", în așa fel încât raportul formula 2 este o funcție rațională de "n". Asemănător este definită seria hipergeometrică, exceptând faptul că, termenii care conțin întregii "n" negativi
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
În matematică, o serie hipergeometrică bilaterală este o serie formula 1, în care sumarea se face peste "toți" întregii "n", în așa fel încât raportul formula 2 este o funcție rațională de "n". Asemănător este definită seria hipergeometrică, exceptând faptul că, termenii care conțin întregii "n" negativi dispar. În consecință, seria bilaterală va avea un număr infinit de termeni diferiți de zero, indiferent dacă valorile lui "n" sunt pozitive sau negative. Seria hipergeometrică bilaterală nu este convergentă pentru
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
n". Asemănător este definită seria hipergeometrică, exceptând faptul că, termenii care conțin întregii "n" negativi dispar. În consecință, seria bilaterală va avea un număr infinit de termeni diferiți de zero, indiferent dacă valorile lui "n" sunt pozitive sau negative. Seria hipergeometrică bilaterală nu este convergentă pentru majoritatea funcțiilor raționale, deși ea poate fi prelungită analitic spre o funcție definită pentru majoritatea funcțiilor raționale. Există mai multe formule de sumare care dau valorile funcției pentru valori speciale ale ei, în cazul în
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
majoritatea funcțiilor raționale, deși ea poate fi prelungită analitic spre o funcție definită pentru majoritatea funcțiilor raționale. Există mai multe formule de sumare care dau valorile funcției pentru valori speciale ale ei, în cazul în care acestea nu converg. Seria hipergeometrică bilaterală formula 3 este definită de: unde este simbolul lui Pochhammer. În mod uzual variabila "z" este luată egală cu 1, caz în care este omisă din notație. De asemenea este posibil să definim o serie formula 6 cu "p" diferit de
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
este luată egală cu 1, caz în care este omisă din notație. De asemenea este posibil să definim o serie formula 6 cu "p" diferit de "q", dar aceasta nu va fi convergentă, sau va putea fi redusă la o serie hipergeometrică ordinară printr-o schimbare de variabilă. Să presupunem că nici o variabilă "a" sau "b" nu are valoare întreagă, astfel că toți termenii seriei sunt finiți și diferiți de zero. Atunci termenii cu "n" < 0 sunt divergenți dacă |"z"| < 1, termenii
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
finiți și diferiți de zero. Atunci termenii cu "n" < 0 sunt divergenți dacă |"z"| < 1, termenii "n" > 0 sunt divergenți dacă |"z"| > 1, iar seria nu va converge dacă nu avem |"z"| = 1. Când |"z"| = 1, seria converge dacă: Seria hipergeometrică bilaterală poate fi prelungită analitic la o funcție meromorfă cu valori multiple de mai multe variabile, ale cărei singularități sunt punctele de ramificație "z" = 0 și "z"=1 și polii simpli din "a" = −1, −2... și "b" = 0, 1, 2
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
o ecuație liniară neomogenă cu singularități la "z" = 0 și "z" = 1, astfel că ea poate fi prelungită la o funcție cu valori multiple, având aceste puncte ca puncte de ramificație. Suma acestor funcții duce la prelungirea analitică a seriei hipergeometrice bilaterale pentru toate valorile lui "z" diferite de 0 și 1, satisfăcând o ecuație diferențială liniară în "z" similară cu ecuația diferențială hipergeometrică. Câteodată această formulă este scrisă sub forma echivalentă: a dat următoarea generalizare a formulei lui Dougall: unde
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
multiple, având aceste puncte ca puncte de ramificație. Suma acestor funcții duce la prelungirea analitică a seriei hipergeometrice bilaterale pentru toate valorile lui "z" diferite de 0 și 1, satisfăcând o ecuație diferențială liniară în "z" similară cu ecuația diferențială hipergeometrică. Câteodată această formulă este scrisă sub forma echivalentă: a dat următoarea generalizare a formulei lui Dougall: unde
Serie hipergeometrică bilaterală () [Corola-website/Science/317638_a_318967]
-
rezolva probleme de teorie a numerelor. În acest sens, el a unit două domenii diferite ale matematicii (teoria numerelor și analiza), introducând un nou domeniu de studiu: teoria analitică a numerelor. În acest nou domeniu, Euler a creat teoria seriilor hipergeometrice, teoria funcțiilor trigonometrice hiperbolice și teoria analitică a fracțiilor continue. De exemplu, el a demonstrat infinitatea numerelor prime, utilizând divergența unor serii armonice, și a folosit metode analitice pentru a obține o înțelegere a modului în care sunt distribuite numerele
Leonhard Euler () [Corola-website/Science/303072_a_304401]
-
principiul Dirichlet din calculul variațional cu mult succes; aceasta a fost văzută însă mai mult ca o euristică puternică decât ca o metodă riguroasă. Justificarea acesteia a durat cel puțin o generație. Lucrările sale în domeniul monodromiei și al funcțiilor hipergeometrice în domeniul complex au făcut o impresie puternică, și au stabilit o metodă de lucru de bază cu funcțiile "luând în considerare doar singularitățile acestora". În 1853, Gauss i-a cerut lui Riemann, pe atunci student, să pregătească un privind
Bernhard Riemann () [Corola-website/Science/309980_a_311309]
-
1772. În ceea ce privește algebra, în teza sa de doctorat a demonstrat teorema fundamentală a algebrei, enunțată încă din 1629 de Albert Girard și demonstrată incomplet de D'Alembert și Euler. În 1801 a creat determinanții, iar în 1812 a introdus seria hipergeometrică. În teoria geometrie diferențiale, a obținut formulele fundamentale ale suprafețelor, curbura totală și reprezentarea sferică a acestora. În 1813 a studiat suprafețelor omofocale de ordinul al doilea. De asemenea, s-a ocupat de studiul triunghiurilor areolar-raționale, de problema Snellius-Pothenot și
Carl Friedrich Gauss () [Corola-website/Science/299817_a_301146]
-
funcții raționale, radicali, logaritmi, și funcții exponențiale. Unii integranzi apar suficient de des încât să impună studiu separat. În particular, poate fi utilă prezența, în mulțimea de primitive, a unor funcții speciale din fizică (cum ar fi funcțiile Legendre, funcțiile hipergeometrice, funcția Gamma). Extinderea algoritmului Risch-Norman pentru a include și aceste funcții este posibilă, dar dificilă. Integralele întâlnite într-un curs de inițiere în analiza matematică sunt alese intenționat pentru simplitatea lor; cele găsite în aplicațiile reale sunt adesea mult mai
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]
-
și de condiția formula 33 în care se ia valoarea formula 35 se obțin valorile proprii ale hamiltonianului oscilatorului: Relația de mai sus se poate găsi și prin aplicarea metodei analitice, datorată lui Schrödinger sau prin metoda polinomială care folosește teoria funcțiilor hipergeometrice confluente. Setul de valori pe care îl stabilește relația valorilor proprii reprezintă o limitare a valorilor esențial permise pentru energia totală pe care o poate avea un oscilator armonic cuantic. Fiecare valoare individuală din șirul infinit de valori posibile corespunde
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda algebrică) () [Corola-website/Science/326536_a_327865]
-
derivate parțiale, funcție des utilizată pentru rezolvarea unor probleme din mecanica cuantică. Pentru realizarea legăturii cu problema găsirii valorilor și funcțiilor proprii asociate hamiltonianului oscilatorului armonic cuantic, în această secțiune se prezintă într-o manieră simplificată, principalele caracteristici ai funcției hipergeometrice degenerate, urmănd ca apoi să se facă legătura cu relațiile ce rezultă din aplicarea metodei prezentate mai sus. Din motive particulare, se presupune că parametrul real b nu poate avea valori întregi negative sau nul. Fără această ipoteză, în unul
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
zero, ceea ce ar duce la imposibilitatea existenței funcției. Parametrul a din numărătorul termenilor din serie poate avea și valori întregi și negative sau nul, de aceea se poate lua formula 15,cu formula 16. Din acest motiv expresia seriei din definiția funcției hipergeometrice degenerate se reduce la un polinom de gradul n în variabila formula 17, se spune că are loc trunchierea seriei. Pentru a demonstra o proprietate remarcabilă a funcției formula 18 se face uz de o teoremă cunoscută din teoria seriilor de funcții
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
că are loc trunchierea seriei. Pentru a demonstra o proprietate remarcabilă a funcției formula 18 se face uz de o teoremă cunoscută din teoria seriilor de funcții: →(de aici voi continua cu demonstrarea suficienței)← Revenind la expresia de definiție a funcției hipergeometrice degenerate, dată prin relația (2.14), pentru demonstrarea certitudinii truncherii seriei, se presupune provizoriu că nici condiția formula 15,cu formula 16 nu este satisfăcută. Din această ipoteză rezultă că partea dreaptă a expresiei (2.14 ) ar fi o serie adevărată, adică
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
formula 17. Acest criteriu se poate verifica simplu prin scrierea limitei de mai jos în care variabila formula 17, parametrii a și b pot avea orice valoare dar sunt finite. În condițiile acestea, ținând seama de relația formula 33, demonstrată mai sus funcția hipergeometrică degenerată se supune relației relație care este adevărată oricare ar fi numărul k cuprins strict între 0 și unu. Ținând cont de soluțiile (2.9) (2.9.1) și definiția (2.14), soluțiile acceptabile ale ecuației (2.60 se pot
Oscilatorul armonic liniar cuantic (metoda polinomială) () [Corola-website/Science/326543_a_327872]
-
În matematică, în sensul cel mai general, o serie hipergeometrică este o serie de puteri în care raportul coeficienților succesivi indexați prin n, este o funcție rațională de n. Seriile, dacă sunt convergente, vor defini o funcție hipergeometrică, care poate fi extinsă în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]
-
În matematică, în sensul cel mai general, o serie hipergeometrică este o serie de puteri în care raportul coeficienților succesivi indexați prin n, este o funcție rațională de n. Seriile, dacă sunt convergente, vor defini o funcție hipergeometrică, care poate fi extinsă în afara domeniului de definiție prin prelungire analitică. Funcțiile hipergeometrice au drept cazuri particulare foarte multe funcții speciale, incluzând funcții elementare, funcția Bessel, funcția gamma incompletă, funcția eroare, integrale eliptice, polinoame ortogonale clasice, etc. Acest fenomen se
Serie hipergeometrică () [Corola-website/Science/317625_a_318954]