42 matches
-
lui Cauchy. Teorema lui Darboux. Studiul monotoniei și al convexității cu ajutorul derivatelor. Teoremele lui l'Hospital. Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange. Dezvoltarea în serie Taylor pentru funcțiile sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x)^a, ex^. Integrabilitate Riemann, criteriul lui Darboux. Integrarea funcțiilor monotone și a funcțiilor continue. Teorema de medie. Primitive, teorema de existență a primitivelor funcțiilor continue. Formula Leibniz-Newton. Metode de calcul al integralelor. Aplicații ale calculului integral în geometrie. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile
EUR-Lex () [Corola-website/Law/235361_a_236690]
-
lui Cauchy. Teorema lui Darboux. Studiul monotoniei și al convexității cu ajutorul derivatelor. Teoremele lui l'Hospital. Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange. Dezvoltarea în serie Taylor pentru funcțiile sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x)^a, ex^. Integrabilitate Riemann, criteriul lui Darboux. Integrarea funcțiilor monotone și a funcțiilor continue. Teorema de medie. Primitive, teorema de existență a primitivelor funcțiilor continue. Formula Leibniz-Newton. Metode de calcul al integralelor. Aplicații ale calculului integral în geometrie. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile
EUR-Lex () [Corola-website/Law/228456_a_229785]
-
Teorema lui Frobenius stabilește condiții necesare și suficiente de integrabilitate pentru sisteme de forme diferențiale. Este o teoremă importantă a geometriei diferențiale, cu interpretare geometrică ușor de înțeles, legată de analiza vectorială obișnuită. Ea apare în fizică în legătură cu formularea lui Carathéodory a principiului al doilea al termodinamicii. O 1-formă diferențială
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
lungul liniei y=x pornind din origine cu condiția inițială z(0,0)=0 obținem z(1,1)=0; integrând de-a lungul parabolelor "y=ax+(1-a)x" obținem z(1,1)=a/3k (vezi Fig.2). Proprietatea de integrabilitate este invariantă atât la schimbări de coordonate (vezi §1.2.1) cât și la înmulțirea formei Ω cu o funcție oarecare de x."Integrarea" 1-formei Ω înseamnă găsirea unei schimbări "inteligente" de variabile x = x(x'...x'), i=1...,n
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
o suprafață:formula 22 Acestea sunt suprafețele de entropie constantă. După Carathéodory, acesta este modul natural de a introduce conceptul de entropie. Teorema lui Frobenius implică anumite constrângeri asupra parametrilor de forță Y(U,x,x..x) prin care se asigură integrabilitatea formei DQ. O formă diferențială care conține numai doi termeni:formula 23 este totdeauna integrabilă împrejurul unui punct (x,y), dacă cel puțin unul din coeficienți nu se anulează. Într-adevar, daca b(x,y) ≠ 0, ecuația:formula 24 are o soluție
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
este z(x,z)=z/x³ cu condiția la limită z(1,z)=z Deducem: z = z/(x³y²), deci o funcție F posibilă este:formula 44 Construcția de la paragraful precedent se poate generaliza pentru n oarecare. În loc de o singură condiție de integrabilitate, rezultând din egalitatea derivatelor parțiale, vom avea in general C = (n-1)(n-2)/2 condiții, toate însă având aceeași formă ca și (2.12) de mai sus: în loc de z(x,y) căutăm în general o soluție "x(x...,x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
2)/2 condiții, toate însă având aceeași formă ca și (2.12) de mai sus: în loc de z(x,y) căutăm în general o soluție "x(x...,x)" a ecuației Ω = 0. De asemenea forma simetrică (2.13) a condiției de integrabilitate nu poate fi generalizată, deoarece matricii antisimetrice asociată natural cu ∂a/∂x-∂a/∂x (aici am pus x ≡ z) nu îi corespunde un vector cu n componente, pentru n ≠ 3. Există însă un mod elegant, indicat de Frobenius , de a
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
generalizată, deoarece matricii antisimetrice asociată natural cu ∂a/∂x-∂a/∂x (aici am pus x ≡ z) nu îi corespunde un vector cu n componente, pentru n ≠ 3. Există însă un mod elegant, indicat de Frobenius , de a formula condițiile de integrabilitate pentru un n oarecare într-un mod care este formal invariant, atât la schimbarea lui n, cât și la schimbări ale coordonatelor. Arătăm cum se face aceasta pentru n=3 și enunțăm rezultatul în cazul general. Folosind notațiile x=x
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
nici unul din ceilalți coeficienți ai formei nu mai depinde de x. Aceasta este o consecință a teoremei lui Frobenius (3.4) și permite construcția explicită a suprafeței integrale, iterând procedura de la sfârșitul paragrafului (începând de la ecuația (2.14)) Condițiile de integrabilitate ale lui Frobenius pot fi exprimate foarte elegant în limbajul modern al formelor diferențiale. Amintim aici numai strictul necesar: Produsul exterior a două 1-forme Ω si Ω este o formă biliniară antisimetrică asociată fiecărui punct x din U(o 2-formă
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
antisimetrice de 3 vectori :formula 55= volumul prismei determinate de "proiecțiile" vectorilor ξ, m=1,2,3, in subspațiul 3-dimensional generat de e, e, e. Cu aceasta, teorema lui Frobenius din paragraful precedent afirmă că "o condiție necesară și suficientă pentru integrabilitatea 1-formei Ω este ca 2-forma dΩ să se anuleze pe orice pereche de vectori pe care Ω se anulează. Evident, mulțimea vectorilor pe care Ω se anulează formează un subspațiu (n-1)-dimensional al lui R; să alegem o baza
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
n-1 ca functie de dx, ceea ce este echivalent cu un sistem de n-1 ecuații diferențiale. Acesta admite local n-1 integrale prime, care pot fi folosite drept funcțiile f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
f din (5.2). Se vede de aici că problema integrabilității pentru un sistem de 2 forme diferențiale se pune numai de la 4 variabile in sus. (În general pentru un sistem de p forme, de la p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
p+2 în sus). Geometric, integrabilitatea înseamnă că soluțiile tuturor ecuațiilor diferențiale reprezentate de sistemul:formula 61se găsesc pe o varietate n-p dimensională a lui R. Schițăm pentru p=2 și n=4 modul în care se obțin condițiile de integrabilitate; se vede ușor cum procedura este generalizabilă la p și n oarecare. Presupunem că cele două forme sunt independente, adică există un determinant de ordinul doi format din coeficienții a,a care nu se anulează. Putem atunci „rezolva“ sistemul față de
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
În limbajul formelor diferențiale, teorema lui Frobenius se exprimă pentru un sistem de p 1-forme prin p condiții, care, din cauza restricțiilor asupra vectorilor u,v se scriu acum:formula 69 pentru q=1..p. Un alt mod de a aborda problema integrabilității, complementar celui de mai sus, se bazează pe studiul unor sisteme de ecuații liniare cu derivate parțiale, legate în mod simplu de 1-forma (1.1), sau de sistemele (5.1) de 1-forme: în vecinătatea oricărui punct x, în care cel
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
Deoarece la x fixat nu pot fi mai mult de p soluții independente, deducem că aceștia sunt combinații liniare ale vectorilor ∂f/∂x;formula 74 cu coeficienți α depinzând de x. Deci sistemul de p 1-forme este integrabil. Deducem că problema integrabilității este aceeași cu a "completitudinii" (în sensul de mai sus) a sistemului liniar și omogen (5.15) de ecuații cu derivate parțiale. Discutând chestiunea din acest unghi, Alfred Clebsch a arătat în 1866 , folosind o metodă dezvoltată anterior de C.G.
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
pereche de combinații liniare ale lor; mai mult, putem să înlocuim coeficienții a și cu combinații liniare ale lor (față de r) cu coeficienți depinzând de x, fără să alterăm egalitatea. Acesta este însă exact criteriul lui Frobenius (5.19) pentru integrabilitatea sistemelor de 1-forme diferențiale. Concludem că integrarea unui astfel de sistem duce direct la soluția sistemului complet de ecuații (5.15). Ecuația Ω = 0 reprezintă pentru 2 variabile independente o ecuație diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
diferențială obișnuită, care are, în afară de cazuri speciale , o soluție, reprezentată printr-o curbă, determinată complet de condițiile inițiale; pentru n ≥ 3 variabile, soluția ar trebui să fie o (hiper)suprafață, dar aceasta nu este posibil decât dacă anumite condiții de integrabilitate sunt satisfăcute (vezi §2). Necesitatea (vezi §2)acestor condiții a fost recunoscută de la început, desigur de J.F.Pfaff (1765-1825) (după care 1-formele sunt adesea numite) dar suficiența lor a fost demonstrată pentru prima oară de F.Deahna în 1840, și
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
constă în determinarea, pentru o formă Ω dată, a numărului minim de diferențiale totale a căror sumă o poate reprezenta (cu coeficienți dependenți de x), și în determinarea transformărilor de coordonate care duc la această prezentare. Evident, stabilirea condițiilor de integrabilitate a formelor diferențiale este inclusă în această chestiune. Problema a fost lamurită prin lucrările lui C.G.Jacobi, L.Natani, A.Clebsch, G.F.Frobenius și G.Darboux. Lucrarea lui A.Clebsch din 1866 stabilește condiția de închidere (5.17) drept necesară
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
drept necesară și suficientă pentru ca sistemul de n-p ecuații cu derivate parțiale (5.15 ) să admită p soluții independente. Într-un articol amplu în 1877, Frobenius recapitulează (foarte clar de citit!) lucrările predecesorilor, stabilește echivalența lor, formuleaza condițiile de integrabilitate in forma prezentată aici (ecuațiile (3.4),(5.9)) și precizează cazurile posibile care apar în soluția problemei lui Pfaff. În același an, G.Darboux dă o soluție mai rapidă, dar similară ca spirit, problemei lui Pfaff. În prezentările moderne
Teorema de integrabilitate a lui Frobenius () [Corola-website/Science/318009_a_319338]
-
ale căror temperaturi variază continuu. În această limită egalitatea lui Clausius (18) devine unde integrala în spațiul variabilelor de stare se calculează de-a lungul unei curbe închise formula 12 care conține numai stări de echilibru. Rezultă atunci din teorema de integrabilitate că există o funcție de stare, definită până la o constantă aditivă, numită "entropie" și notată tradițional cu formula 82 a cărei diferențială totală este iar integrala acesteia de la o stare inițială formula 17 la o stare finală formula 24 este independentă de drumul urmat
Termodinamică () [Corola-website/Science/297677_a_299006]
-
F" nu este încă entropia "obișnuită", ci numai o funcție de ea, încă neprecizată. (vezi articolul principal) Argumentația de mai sus se sprijină pe expunerea din . În anii 1949 - 1953 H. A. Buchdahl a oferit alte demonstrații, sau folosind teoreme generale de integrabilitate, sau arătând că, dacă DQ nu este integrabilă, atunci (P2') este falsă și orice punct din vecinătatea lui "P" este accesibil adiabatic. Există și posibilitatea de a deduce direct din alte formulări ale principiului al doilea existența suprafețelor de entropie
Lema lui Carathéodory (termodinamică) () [Corola-website/Science/311275_a_312604]
-
două funcții și este funcția dată de și în mod similar pentru multiplicare. Astfel de apar în multe situații geometrice, atunci când este sau un interval, sau alte submulțimi ale lui . Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi continuitatea, integrabilitatea sau se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate și-o conservă. Prin urmare, mulțimea acestor funcții sunt spații vectoriale. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de , vezi
Spațiu vectorial () [Corola-website/Science/298212_a_299541]
-
de "G", și astfel ecuația de mișcare capătă forma simplă: pentru câteva funcții "F" (Arnol'd et al., 1988). De altfel, există o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile deviații față de sistemele integrabile guvernate de teorema KAM. Integrabilitatea câmpului vectorial Hamiltonian este încă o problemă deschisă. În general, sistemele Hamiltoniene sunt haotice, iar conceptele de măsură, de completitudine, de integrabilitate și stabilitate sunt slab definite. Un caz special important este acela în care Hamiltonianul are formă pătratică, adică
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
o serie întreagă de lucrări care se concentrează pe micile deviații față de sistemele integrabile guvernate de teorema KAM. Integrabilitatea câmpului vectorial Hamiltonian este încă o problemă deschisă. În general, sistemele Hamiltoniene sunt haotice, iar conceptele de măsură, de completitudine, de integrabilitate și stabilitate sunt slab definite. Un caz special important este acela în care Hamiltonianul are formă pătratică, adică poate fi scris sub forma: unde formula 37 este un produs scalar care variază lent pe spațiul fibrat formula 38, spațiul cotangent în punctul
Mecanică hamiltoniană () [Corola-website/Science/317831_a_319160]
-
Prima convenție este necesară dacă se consideră integralele pe subintervale ale lui ["a", "b"]; cea de-a doua spune că o integrală pe un interval degenerat, sau un punct, trebuie să fie zero. Un motiv pentru prima convenție este că integrabilitatea lui "f" e un interval ["a", "b"] înseamnă că "f" este integrabilă pe orice subinterval ["c", "d"], dar în particular integralele au proprietatea: Cu prima convenție, integrala rezultată este bine definită pentru orice permutare ciclică a lui "a", "b", și
Integrală () [Corola-website/Science/298291_a_299620]