9 matches
-
deja scrie și afirma că ambele părți sunt egale cu .” Pentru Cesàro, acestă ecuație rezulta prin aplicarea unei teoreme pe care o publicase cu un an mai devreme, și care poate fi socotită drept prima teoremă din istoria seriilor divergente sumabile. Detaliile metodei lui de însumare sunt arătate mai jos; ideea principală este că este produsul Cauchy al seriei lui Grandi, , cu ea însăși. Produsul Cauchy a două serii infinite poate fi definit independent de convergența lor, prin formula termenului general
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
pare converge la , în timp ce cel al mediilor impare este constant egal cu 0, de aceea șirul (H, 2) al mediilor aritmetice ale mediilor aritmetice (H, 1) / (C, 1) va converge către media aritmetică dintre 0 și , anume . Deci seria este sumabilă (H, 2) la . Notația prin «H» a acestor metode succesive provinde de la Otto Hölder, care a demonstrat pentru prima dată în anul 1882 ceea ce matematicienii acum consideră drept legătura dintre metoda lui Abel și sumările (H, n); iar seria a
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
o metodă care poate fi acum numită (C, "n"), dar care nu era justificată la momentul respectiv. El a definit apoi în mod formal metodele (C, "n") în 1890, pentru a formula teorema conform căreia produsul Cauchy între o serie sumabilă (C, "n") și una sumabilă (C, "m") este o serie sumabilă (C, "m" + "n" + 1). Într-un raport din anul 1749, Leonhard Euler admite că seria diverge, dar planifică să-i găsească suma: Euler a propus generalizări ale noțiunii de
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
nu era justificată la momentul respectiv. El a definit apoi în mod formal metodele (C, "n") în 1890, pentru a formula teorema conform căreia produsul Cauchy între o serie sumabilă (C, "n") și una sumabilă (C, "m") este o serie sumabilă (C, "m" + "n" + 1). Într-un raport din anul 1749, Leonhard Euler admite că seria diverge, dar planifică să-i găsească suma: Euler a propus generalizări ale noțiunii de „adunare” de mai multe ori. În cazul seriei ideile lui sunt
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
multe iterații), dar toate diferențele dintre termenii șirului sunt 0, și de asemenea cele ulterioare vor fi tot 0. Transformata Euler a seriei inițiale este calculată în acest caz ca fiind: Folosind terminologia modernă, se poate spune că seria este sumabilă Euler la . Sumabilitatea Euler implică și un alt tip de sumabilitate, astfel că reprezentând ca se obține seria de puteri (convergentă pe tot domeniul): Suma Borel a seriei este așadar: În înțeles modern, însumarea este un procedeu care asociază unei
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
convergentă (iar apoi, suma acesteia din urmă). Astfel, transformarea (însumarea) lui Euler se poate scrie ca produsul dintre o matrice (infinită) și șirul termenilor unei serii date. În cazul în care rezultatul este o serie convergentă, seria inițială se numește sumabilă Euler. În cazul în care transformarea este aplicată unui serii deja convergente, rezultatul este o serie (mai rapid) convergentă către aceeași sumă. Produsul Cauchy triplu al seriei (cu ea însăși) este seria alternată de numere triunghiulare, în cazul căreia sumele
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
seriei (cu ea însăși) este seria alternată de numere triunghiulare, în cazul căreia sumele (cel puțin conform metodelor de sumare ale lui Abel și Euler) sunt egale cu . Produsul Cauchy cvadruplu al aceleiași serii este seria alternată de numere tetraedrale, sumabilă Abel la . O altă generalizare a seriei într-o direcție puțin diferită este seria (seria studiată și cea a lui Grandi se obțin drept cazuri particulare, pentru "n" = 1 și respectiv 0). Când "n" este un număr întreg pozitiv, seria
1 − 2 + 3 − 4 + · · · () [Corola-website/Science/316973_a_318302]
-
Pentru funcția măsurabilă pozitivă formula 48, integrala iterată formula 49 este evident egală cu formula 50. Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular formula 48 este sumabilă ca funcție de formula 52, integrala sa este măsurabilă ca funcție de formula 53 și are integrala finită. Rezultă că formula 54 este absolut sumabilă și formula 55 ceea ce înseamnă formula 56 Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în
Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile () [Corola-website/Science/328926_a_330255]
-
măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular formula 48 este sumabilă ca funcție de formula 52, integrala sa este măsurabilă ca funcție de formula 53 și are integrala finită. Rezultă că formula 54 este absolut sumabilă și formula 55 ceea ce înseamnă formula 56 Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor formula 57 formula 58 formula 59 formula 60 În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de
Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile () [Corola-website/Science/328926_a_330255]