28 matches
-
întregi. Teorema împărțirii cu rest. Divizibilitate. Criterii de divizibilitate. Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii. C.m.m.d.c., c.m.m.m.c a două sau mai multor numere întregi. Algoritmul lui Euclid pentru determinarea c.m.m.d.c. a două numere întregi. Ecuații diofantice: ax + by = c; x2 + y2 = z2. Probleme de numărare. Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Evenimente aleatoare, operații cu evenimente. Probabilitatea unui eveniment în cazul evenimentelor elementare egal probabile (cazul finit). Probabilități condiționate. Evenimente independente. Scheme clasice de probabilitate (Poisson
EUR-Lex () [Corola-website/Law/235361_a_236690]
-
întregi. Teorema împărțirii cu rest. Divizibilitate. Criterii de divizibilitate. Numere prime. Teorema fundamentală a aritmeticii. C.m.m.d.c., c.m.m.m.c a două sau mai multor numere întregi. Algoritmul lui Euclid pentru determinarea c.m.m.d.c. a două numere întregi. Ecuații diofantice: ax + by = c; x2 + y2 = z2. Probleme de numărare. Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Evenimente aleatoare, operații cu evenimente. Probabilitatea unui eveniment în cazul evenimentelor elementare egal probabile (cazul finit). Probabilități condiționate. Evenimente independente. Scheme clasice de probabilitate (Poisson
EUR-Lex () [Corola-website/Law/228456_a_229785]
-
menționează că vechii greci au rezolvat unele cazuri particulare și că indienii au dat ” o soluție genială”, dar fără justificarea teoretică necesară. Lucrurile păreau uitate, până când marele Euler, aproape opt decenii mai târziu, a început să se preocupe de ecuațiile diofantice, fiindcă putem considera ecuația lui Fermat drept diofantică de ordinul II. Euler arată ( în 1732) procedeul de deducere al unei infinități de soluții întregi ale ecuației ax2 +bx+c= y2 ( deci ecuația Fermat se obține pentru b=0 și c
Ecuația lui Pell () [Corola-website/Science/329245_a_330574]
-
particulare și că indienii au dat ” o soluție genială”, dar fără justificarea teoretică necesară. Lucrurile păreau uitate, până când marele Euler, aproape opt decenii mai târziu, a început să se preocupe de ecuațiile diofantice, fiindcă putem considera ecuația lui Fermat drept diofantică de ordinul II. Euler arată ( în 1732) procedeul de deducere al unei infinități de soluții întregi ale ecuației ax2 +bx+c= y2 ( deci ecuația Fermat se obține pentru b=0 și c=1) dacă se cunoaște o soluție a sa
Ecuația lui Pell () [Corola-website/Science/329245_a_330574]
-
după sfârșitul epocii de aur a matematicii grecești, Diofant a început să dezvolte regula de calcul algebric abstract. Astfel, a studiat rezolvarea sistemelor liniare prin eliminarea succesivă a necunoscutelor. Contribuția principală a sa în matematică o constituie așa-numita ecuație diofantică, pe care a prezentat-o sub forme diferite, fără a indica vreo metodă de rezolvare. Cercetarea ecuațiilor nedeterminate face parte din analiza nedeterminată sau "analiza diofantiană". Diofant s-a ocupat și de teoria numerelor. Știința calculului numeric a fost dezvoltată
Diofant () [Corola-website/Science/320278_a_321607]
-
sau "lema lui Bézout" este, în teoria numerelor, o ecuație diofantica liniară. Poartă numele matematicianului francez Étienne Bézout. Enunțul acesteia este următorul: Dacă "a" și "b" sunt două numere întregi nenule, iar " d" cel mai mare divizor comun al acestora, atunci există întregii "x" și "y" (numiți "numerele" sau "coeficienții lui
Identitatea lui Bézout () [Corola-website/Science/311127_a_312456]
-
liniare și ale ecuației de gradul al doilea, pe care matematicienii europeni au descoperit-o cu nouă secole mai târziu. Brahmagupta a operat fără dificultăți cu numere negative, considerând numerele ca având o existență independentă. Marele matematician tratează și ecuația diofantică, ecuația lui Pell. Brahmagupta definește pentru prima dată numărul "zero", adunarea și scăderea, stabilește regulile operațiilor elementare cu fracții. A contribuit la definitivarea sistemului zecimal pozițional de scriere a numerelor în India, așa cum este cunoscut astăzi. Una dintre cele mai
Brahmagupta () [Corola-website/Science/312200_a_313529]
-
social și științific. În ceea ce privește activitatea științifică, Mihail Ghermănescu a abordat cu o mare ușurință domeniul analizei matematice, dar și cel al altor discipline de matematică pure sau aplicate. Are referințe și în domeniul algebrei (teoria ecuațiilor), al teoriei numerelor (ecuații diofantice), geometrie, mecanică generală și balistică. A fost primul matemtician român care s-a ocupat de noțiunea derivatei areolare, care l-a condus la integrarea unor sisteme de ecuații cu derivate parțiale. Astfel a introdus noțiunea de derivată parțială și totală
Mihail Ghermănescu () [Corola-website/Science/326013_a_327342]
-
ar fi nodurile și polinoamele multivariate. Algoritmul lui Euclid are numeroase aplicații practice și teoretice. Este un element cheie al algoritmului RSA, o metodă de criptare cu chei publice des folosită în comerțul electronic. Este utilizat pentru a rezolva ecuațiile diofantice, cum ar fi calcularea numerelor care satisfac mai multe congruențe (Teorema chinezească a resturilor) sau inversul multiplicativ al unui corp. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat pentru a construi fracții continue, în metoda lanțului Sturm pentru găsirea rădăcinilor reale ale
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
după utilizarea termenului tehnic ἀνθυφαίρεσις ("anthyphairesis", scădere reciprocă) din lucrările lui Euclid și Aristotel. După mai multe secole, algoritmul lui Euclid a fost descoperit independent în India și în China, și a fost utilizat mai ales pentru rezolvarea de ecuații diofantice care apar în astronomie și la realizarea de calendare precise. Spre sfârșitul secolului al V-lea, matematicianul și astronomul indian Aryabhata a descris algoritmul sub numele de „pulverizatorul”, poate din cauza eficienței sale în rezolvarea de ecuațiilor diofantice. Deși un caz
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
rezolvarea de ecuații diofantice care apar în astronomie și la realizarea de calendare precise. Spre sfârșitul secolului al V-lea, matematicianul și astronomul indian Aryabhata a descris algoritmul sub numele de „pulverizatorul”, poate din cauza eficienței sale în rezolvarea de ecuațiilor diofantice. Deși un caz special al teoremei chinezești a resturilor fusese deja descris de matematicianul și astronomul chinez Sun Tzu, soluția generală a fost publicată de Qin Jiushao în cartea sa din 1247 intitulată "Shushu Jiuzhang" (數書九章 „Tratat matematic în nouă
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
nouă secțiuni”). Algoritmul lui Euclid a fost descris în Europa pentru prima dată în a doua ediție a lucrării lui Bachet "Problèmes plaisants et délectables" ("Probleme plăcute și delectabile", 1624). În Europa, a fost folosit tot pentru rezolvarea de ecuații diofantice, dar și la construcția fracțiilor continue. Algoritmul lui Euclid extins a fost publicat de matematicianul englez Nicholas Saunderson, care i l-a atribuit lui Roger Cotes ca metodă de calcul eficient a fracțiilor continue. În secolul al XIX-lea, algoritmul
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
q". Împărțind iterativ la factorii "p" rezultă că fiecare "p" are un corespondent "q"; cele două descompuneri în factori primi sunt identice cu excepția ordinii factorilor. Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. Ecuațiile diofantice sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Factorizarea unică a numerelor în factori primi are mai multe aplicații în demonstrațiile matematice. Ecuațiile diofantice sunt ecuații ale căror soluții sunt neapărat numere întregi; ele își trag numele de la matematicianul alexandrin din secolul al III-lea Diophantus. O ecuație diofantică liniară tipică în variabilele întregi "x" și "y" are forma unde "a", "b" și "c" sunt numere întregi date. Aceasta se poate scrie ca o ecuație în "x" de forma: Fie "g" cel mai mare divizor comun al lui "a
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
fie ecuația nu are soluții. Împărțind ambele părți ale ecuației la "c"/"g", ea poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x" = "s" ("c"/"g") și "y" = "t" ("c"/"g"). În general, o ecuație diofantică liniară fie nu are soluție, fie are un număr infinit de soluții. Pentru a demonstra cel de-al doilea caz, se consideră două soluții, ("x", "y
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
poate fi redusă la identitatea lui Bezout unde "s" și "t" se pot găsi prin algoritmul lui Euclid extins. Aceasta mai dă o soluție a ecuației diofantice, "x" = "s" ("c"/"g") și "y" = "t" ("c"/"g"). În general, o ecuație diofantică liniară fie nu are soluție, fie are un număr infinit de soluții. Pentru a demonstra cel de-al doilea caz, se consideră două soluții, ("x", "y") și ("x", "y") sau echivalent Astfel, cea mai mică diferență între două soluții "x
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
infinită de soluții dintr-una singură ("x", "y"). Dacă soluțiile trebuie să fie întregi pozitivi ("x" > 0, "y" > 0), este posibil să existe doar un număr finit de soluții. Această restricție asupra soluțiilor acceptabile permite rezolvarea de sisteme de ecuații diofantice cu un număr de ecuații mai mare decât cel de necunoscute; aceasta este imposibilă pentru un sistem de ecuații liniare ale cărui soluții pot fi orice număr real. Un corp finit este o mulțime de numere cu patru operații generice
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
Într-un astfel de corp cu "m" numere, fiecare element nenul "a" are un invers multiplicativ unic modulo m, "a" astfel încât "aa" = "a""a" ≡ 1 mod "m". Acest invers se poate găsi rezolvând ecuația "ax" ≡ 1 mod "m", sau ecuația diofantică liniară echivalentă Această ecuație se poate rezolva cu ajutorul algoritmului lui Euclid, după cum s-a arătat mai sus. Găsirea inversului multiplicativ este un pas esențial în algoritmul RSA, folosit pe scară largă în comerțul electronic; anume, ecuația determină întregul utilizat pentru
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
codurile corectoare de erori; de exemplu, el se poate folosi ca alternativă la algoritmul Berlekamp-Massey pentru decodificarea codurilor BCH și Reed-Solomon, coduri bazate pe corpuri Galois. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru a rezolva și mai multe ecuații liniare diofantice. Astfel de ecuații apar în teorema chinezească a resturilor, care descrie o metodă nouă de reprezentare a unui întreg "x". În loc de a reprezenta un număr întreg prin cifrele sale, el se poate reprezenta prin resturile "x" ale împărțirii lui modulo
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
se poate reprezenta prin resturile "x" ale împărțirii lui modulo o mulțime de "N" numere prime între ele "m". Scopul este determinarea lui "x" din cele "N" resturi "x". Soluția se obține combinând mai multe ecuații într-o singură ecuație diofantică cu un modul "M" mult mai mare care este produsul tuturor modulelor individuale "m", și definind "M" Astfel, fiecare "M" este produsul tuturor modulelor "cu excepția" lui "m". Soluția depinde de gășirea a "N" noi numere "h" astfel încât Cu aceste numere
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
mai mare divizor comun al lui "a"("x") și "b"("x"), consistent cu factorizarea acestora. Multe dintre aplicațiile descrise mai sus pentru numere întregi sunt valabile și pentru polinoame. Algoritmul lui Euclid se poate folosi pentru rezolvarea de ecuații liniare diofantice și de probleme chinezești ale resturilor pentru polinoame; se pot defini și fracții continue de polinoame. Algoritmul lui Euclid polinomial are și alte aplicații proprii, cum ar fi lanțurile Sturm, o tehnică de numărare a rădăcinilor reale ale polinoamelor într-
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
la β; el rămâne aceleași și după înmulțirea numărului cu o unitate, ±1 sau ±"i". Multe dintre celelalte aplicații ale algoritmului lui Euclid sunt valabile și pentru întregii gaussieni. De exemplu, el se poate folosi pentru a rezolva ecuații liniare diofantice și probleme chinezești ale resturilor pentru aceste numere; se pot defini și fracții continue de întregi gaussieni. O mulțime de elemente împreună cu doi operatori binari, + și ·, se numește inel euclidian dacă formează un inel comutativ "R" și dacă pe această
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
poate exprima sub formă de combinație liniară de α și β. Cu alte cuvinte, există numerele σ și τ cu proprietatea că Identitatea analoagă pentru CMMDC la stânga este aproape similară: Identitatea lui Bézout se poate utiliza pentru rezolvarea de ecuații diofantice. Algoritmul lui Euclid are trei trăsături generale care împreună asigură faptul că nu se execută la infinit. Prima este că poate fi scris ca șir de operațiuni recursive în care fiecare rest este strict mai mic decât predecesorul său, |"r
Algoritmul lui Euclid () [Corola-website/Science/312202_a_313531]
-
acum s-a considerat calitatea aproximației q p a numărului α prin evaluarea diferenței q p −α . Se poate considera diferența q α − p și astfel se modifică corespunzător enunțurile teoremelor prezentate. În acest context formulăm problema astfel: Fie ecuația diofantică liniară omogenă: unde α este un număr real dat și ne interesează soluțiile În numere Întregi ale acestei ecuații. Evident, dacă α este irațional, singura soluție este soluția banală . Ne punem problema soluțiilor aproximative ale ecuației (Aproximări diofantice), , adică să
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]
-
Fie ecuația diofantică liniară omogenă: unde α este un număr real dat și ne interesează soluțiile În numere Întregi ale acestei ecuații. Evident, dacă α este irațional, singura soluție este soluția banală . Ne punem problema soluțiilor aproximative ale ecuației (Aproximări diofantice), , adică să găsim perechile de numere Întregi (x, y) pentru care diferența devine mai mică decât o valoare dată. Astfel teoremele anterioare pot fi interpretate ca dându-ne soluții aproximative ale ecuației 0=−⋅ yxα . Teorema lui Borel ne arată că
Creativitate şi modernitate în şcoala românească by Costică VOINEA-AXINTE () [Corola-publishinghouse/Science/91778_a_93108]